2020届二轮复习二项式定理的应用证明不等式教案（全国通用） 8页

证明不等式 知识内容 ‎1．二项式定理 ‎⑴二项式定理 这个公式表示的定理叫做二项式定理．‎ ‎⑵二项式系数、二项式的通项 叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：． ‎ ‎⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是 ‎①各项的次数都等于二项式的幂指数．‎ ‎②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．‎ ‎⑷几点注意 ‎①通项是的展开式的第项，这里．‎ ‎②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．‎ ‎③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．‎ ‎④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．‎ ‎⑤设，则得公式：． ‎ ‎⑥通项是中含有五个元素，‎ 只要知道其中四个即可求第五个元素．‎ ‎⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．‎ ‎2．二项式系数的性质 ‎⑴杨辉三角形：‎ 对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．‎ 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”‎ ‎⑵二项式系数的性质：‎ 展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．‎ 当时，的图象为下图：‎ 这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．‎ ‎①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．‎ 事实上，这一性质可直接由公式得到．‎ ‎②增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；‎ 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．‎ 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ‎，‎ ‎，．．．，‎ ‎，，．．．，‎ ‎．‎ 其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．‎ 当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．‎ 当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．‎ 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．‎ ‎③二项式系数的和为，即．‎ ‎④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 ‎．‎ 常见题型有：‎ 求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．‎ 典例分析 二项式定理的应用2证明不等式 【例1】 已知：，求证：，‎ ‎【考点】证明不等式 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】设，，则 ‎．‎ 【例2】 ‎，求证：‎ ‎【考点】证明不等式 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】设，则．于是：‎ ‎．‎ 【例3】 且，求证：‎ ‎【考点】证明不等式 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】‎ 【例4】 求证：‎ ‎【考点】证明不等式 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】‎ 【例1】 求证：‎ ‎【考点】证明不等式 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】‎ 所以．‎ 【例2】 ‎，求证：．‎ ‎【考点】证明不等式 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】显然时，原不等式成立．‎ 时，将原不等式变为 设，则，于是：‎ ‎．‎ 【例3】 求证：‎ ‎【考点】证明不等式 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】（至少有4项）．‎ ‎．‎ 【例1】 对于，．‎ ‎【考点】证明不等式 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】展开式的通项 ‎．‎ 展开式的通项 ‎．‎ 由二项式展开式的通项明显看出，‎ 所以．‎ 【例2】 求证：‎ ‎【考点】证明不等式 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】首先显然．其次 【例1】 已知是正整数，且，⑴证明；⑵证明．‎ ‎【考点】证明不等式 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴对于，有，‎ 同理，‎ 由于，故对整数，有，‎ 所以，即．‎ ‎⑵由二项式定理得：，，‎ 由⑴知（），‎ 而，，所以．因此．‎ 又，（）．‎ ‎∴，即．‎ 【例2】 已知函数满足（），，并且使成立的实数有且只有一个．‎ ‎⑴求的解析式；‎ ‎⑵若数列的前项和为，满足，当时，，‎ 求数列的通项公式．‎ ‎⑶在⑵的条件下，令（），‎ 求证：当时，有．‎ ‎【考点】证明不等式 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴令，由得．‎ 即只有一根，又，故．‎ 联立解得，，则，．‎ ‎⑵当时，，∴．‎ ‎∵当时，，∴．‎ 当时，，则（），‎ 两式相减得（），‎ ‎∴，即，‎ 从而数列是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎∴，∴．‎ ‎⑶∵，‎ ‎∴（）．‎ ‎∴．‎ 当时，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎