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- 2021-06-16 发布
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1.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( )
解析:选A.将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)=1-e|x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A满足上述两个性质.
2.化简4a·b÷的结果为( )
A.- B.-
C.- D.-6ab
解析:选C.原式=a-b=-6ab-1=-,故选C.
3.2019·福建质检)已知a=0.40.3,b=0.30.4,c=0.3-0.2,则( )
A.b0,a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析:选B.由f(1)=得a2=,所以a=或a=-(舍去),即f(x)=.
由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减,故选B.
5.若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A.(-∞,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,+∞)
解析:选C.因为f(x)为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
即=-,
整理得(a-1)(2x+1)=0,
所以a=1,
所以f(x)>3即为>3,
当x>0时,2x-1>0,
所以2x+1>3·2x-3,
解得00,所以16-4x<16,
所以0≤16-4x<16,
即0≤y<4.
答案:[0,4)
7.若函数f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a=________.
解析:当a>1时,f(x)=ax-1在[0,2]上为增函数,
则a2-1=2,所以a=±,
又因为a>1,所以a=.
当00,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
解:把A(1,6),B(3,24)代入f(x)=b·ax,
得
结合a>0,且a≠1,解得
所以f(x)=3·2x.
要使+≥m在x∈(-∞,1]上恒成立,只需保证函数y=+在(-∞,1]上的最小值不小于m即可.
因为函数y=+在(-∞,1]上为减函数,
所以当x=1时,y=+有最小值.
所以只需m≤即可.
即m的取值范围为.
10.已知函数f(x)=.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有最大值3,求a的值.
解:(1)当a=-1时,f(x)=,
令g(x)=-x2-4x+3,
由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,
所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),
单调递减区间是(-∞,-2).
(2)令g(x)=ax2-4x+3,f(x)=,
由于f(x)有最大值3,
所以g(x)应有最小值-1,
因此必有解得a=1,
即当f(x)有最大值3时,a的值为1.
1.已知实数a,b满足等式=,下列五个关系式:
①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.
其中不可能成立的关系式有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:选B.函数y1=与y2=的图象如图所示.
由=得,a<b<0或0<b<a或a=b=0.
故①②⑤可能成立,③④不可能成立.
2.已知函数f(x)=|2x-1|,af(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( )
A.a<0,b<0,c<0
B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2c
D.2a+2c<2
解析:选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图,
因为af(c)>f(b),
结合图象知,00,
所以0<2a<1.
所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,
所以f(c)<1,所以0f(c),
所以1-2a>2c-1,
所以2a+2c<2,故选D.
3.若函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是________.
解析:依题意,a应满足解得0,
等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解,
记g(m)=2am2-m-1,
当a=0时,解为m=-1<0,不成立.
当a<0时,开口向下,对称轴m=<0,
过点(0,-1),不成立.
当a>0时,开口向上,
对称轴m=>0,过点(0,-1),必有一个根为正,综上得a>0.
6.已知定义在R上的函数f(x)=2x-,
(1)若f(x)=,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)当x<0时,f(x)=0,无解;
当x≥0时,f(x)=2x-,
由2x-=,得2·22x-3·2x-2=0,
将上式看成关于2x的一元二次方程,
解得2x=2或2x=-(舍去),
因为2x>0,所以x=1.
(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,
即m(22t-1)≥-(24t-1),
因为22t-1>0,所以m≥-(22t+1),
因为t∈[1,2],所以-(22t+1)∈[-17,-5],
故实数m的取值范围是[-5,+∞).