【数学】2020届一轮复习人教A版基本不等式习题作业 7页

‎2020届一轮复习人教A版 基本不等式习题 作业 一、选择题 ‎1.下列不等式一定成立的是(　　)‎ A.lg>lg x(x>0)‎ B.sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C.x2＋1≥2|x|(x∈R)‎ D.＜1(x∈R)‎ 解析　当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；显然选项C正确；当x＝0时，有＝1，选项D不正确.‎ 答案　C ‎2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)‎ A.[0，2] B.[－2，0]‎ C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]‎ 解析　2≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤，所以x＋y ‎≤－2.‎ 答案　D ‎3.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)‎ A. B. ‎ C.2 D. 解析　由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，当且仅当x＝，y＝时取等号，∴xy的最大值为2.‎ 答案　C ‎4.已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　)‎ A.4 B.2 ‎ C.8 D.16‎ 解析　由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，‎ 则＋≥2＝2.当且仅当＝，‎ 即a＝，b＝时等号成立.故选B.‎ 答案　B ‎5.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)‎ A.≤ B.＋≤1‎ C.≥2 D.a2＋b2≥8‎ 解析　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立.‎ 答案　D ‎6.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A. B.2 ‎ C.2 D.4‎ 解析　依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立.因为＋＝，所以≥，即ab≥2(当且仅当a＝2，b＝2时等号成立)，所以ab的最小值为2，故选C.‎ 答案　C ‎7.已知a，b，c，d≥0，a＋b＝c＋d＝2，则(a2＋c2)(b2＋d2)的最大值是(　　)‎ A.4 B.8 ‎ C.16 D.32‎ 解析　∵≤≤＝4，‎ ‎∴(a2＋c2)(b2＋d2)≤16，当a＝d＝2，b＝c＝0或b＝c＝2，a＝d＝0时取到等号，故选C.‎ 答案　C ‎8.(2019·杭州高级中学测试)若正数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则2x＋y的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由x2＋2xy－1＝0，得y＝－，所以2x＋y＝2x＋－＝x＋＝×≥＝，当且仅当3x＝，即x＝时等号成立，此时y＝，符合题意，所以2x＋y的最小值为，故选D.‎ 答案　D ‎9.(2019·丽水测试)已知x＋y＝＋＋8(x，y>0)，则x＋y的最小值为(　　)‎ A.5 B.9‎ C.4＋ D.10‎ 解析　由x＋y＝＋＋8得x＋y－8＝＋，则(x＋y－8)(x＋y)＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即y＝2x时，等号成立，令t＝x＋y，所以(t－8)·t≥9，解得t≤－1或t≥9，因为x＋y>0，所以x＋y≥9，所以x＋y的最小值为9，故选B.‎ 答案　B 二、填空题 ‎10.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.‎ 解析　由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，当且仅当23b－6＝，即a＝－3，b＝1时等号成立.‎ 答案　 ‎11.已知两个正数x，y满足x＋4y＋5＝xy，则xy取最小值时，x的值为__________，y的值为__________.‎ 解析　∵x＞0，y＞0，∴x＋4y＋5＝xy≥2＋5，‎ 即xy－4－5≥0，可求得xy≥25，‎ 当且仅当x＝4y时取等号，即x＝10，y＝.‎ 答案　10　 ‎12.(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.‎ 解析　因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD ‎＝60°，由三角形的面积公式可得acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，化简得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以＋＝1，则4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9.‎ 答案　9‎ ‎13.(2019·镇海中学模拟)若实数x，y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则S＝2x＋2y的取值范围是________.‎ 解析　因为4x＋4y＝(2x＋2y)2－2·2x·2y，2x＋1＋2y＋1＝2(2x＋2y)，设2x＋2y＝t(t>0)，则由题意得t2－2·2x·2y＝2t，即2·2x·2y＝t2－2t.因为0<2·2x·2y≤2·，即00，且x＋y＋＋＝，则－的最小值是________.‎ 解析　因为x＋y＋＋＝，所以－＝－＋x＋y＋＋－＝x＋＋y＋－≥－＝－，当且仅当x＝，y＝，即x＝2，y＝时，取等号.‎ 答案　－ ‎19.设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值为________.‎ 解析　由于a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋，由于b>0，|a|>0，所以＋≥2＝1，因此当a>0时，＋的最小值是＋1＝.当a<0时，＋的最小值是－＋1＝.故＋的最小值为，此时即a＝－2.‎ 答案　－2　 ‎20.已知a，b，c>0，且a2＋b2＋c2＝10，则ab＋ac＋bc的最大值是________，ab＋ac＋2bc的最大值是________.‎ 解析　因为ab＋ac＋bc≤＝10，当且仅当a＝b＝c时取等号，又因为a2＋xb2≥ab(0≤x≤1)，a2＋yc2≥ac(0≤y≤1)，(1－x)b2＋(1－y)c2≥2bc，令＝＝，即x＝y＝2－，故此时有a2＋b2＋c2≥(－1)(ab＋ac＋2bc)，即ab＋ac＋2bc≤5＋5，当且仅当a＝()b＝()c时取等号.‎ 答案　10　5＋5‎