【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试28平面向量的数量积及应用作业 25页

考点测试 28　平面向量的数量积及应用 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值 5 分，中、低等难度 考纲研读 1．理解平面向量数量积的含义及其几何意义 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂 直关系 一、基础小题 1．已知向量 a＝(－2，－1)，b＝(m，1)，m∈R，若 a⊥b，则 m 的值为(　　) A．－1 2 B．1 2 C．2 D．－2 答案　A 解析　由 a⊥b，得 a·b＝0，即－2m－1＝0，则 m＝－1 2 ．故选 A． 2．在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，设BC→ ＝a，CA→ ＝b，AB→ ＝c，则 a·b＋ b·c＋c·a＝(　　) A．－3 2 B．0 C．3 2 D．3 答案　A 解析　依题意有 a·b＋b·c＋c·a＝1×1×－ 1 2 ＋1×1×－1 2 ＋1×1×－1 2 ＝－ 3 2 ．故选 A． 3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→ ·AC→ 等于(　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 答案　D 解析　因为 cosA＝ |AC→ | |AB→ | ，故AB→ ·AC→ ＝|AB→ ||AC→ |cosA＝|AC→ |2＝16．故选 D． 4．已知|a|＝6，|b|＝3，向量 a 在 b 方向上的投影是 4，则 a·b 为(　　) A．12 B．8 C．－8 D．2 答案　A 解析　∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3， ∴a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12．故选 A． 5．平面四边形 ABCD 中，AB→ ＋CD→ ＝0，(AB→ －AD→ )·AC→ ＝0，则四边形 ABCD 是(　　) A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形 答案　C 解析　因为AB→ ＋CD→ ＝0，所以AB→ ＝－CD→ ＝DC→ ，所以四边形 ABCD 是平行 四边形．又(AB→ －AD→ )·AC→ ＝DB→ ·AC→ ＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边 形 ABCD 是菱形．故选 C． 6．已知向量 a＝(2，7)，b＝(x，－3)，且 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 x 的 取值范围为(　　) A．x<21 2 B．－6 70，∴|a＋b|＝2cosx． (2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1 ＝2(cosx－1 2)2－3 2 ． ∵x∈[－π 3，π 4]，∴1 2 ≤cosx≤1， ∴当 cosx＝1 2 时，f(x)取得最小值－3 2 ； 当 cosx＝1 时，f(x)取得最大值－1． 单元质量测试(三) 　　时间：120 分钟　 　　满分：150 分 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第Ⅰ卷　(选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．函数 f(x)＝1－2sin2 x 2 的最小正周期为(　　) A．2π B．π C．π 2 D．4π 答案　A 解析　f(x)＝1－2sin2x 2 ＝cosx，最小正周期 T＝2π，故选 A． 2．已知 sinθ<0，tanθ>0，则 1－sin2θ 化简的结果为(　　) A．cosθ B．－cosθ C．±cosθ D．以上都不对 答案　B 解析　由已知可判断出 θ 是第三象限角，所以 1－sin2θ＝|cosθ|＝－cosθ．故 选 B． 3．(2018·福建 4 月质检)已知向量AB→ ＝(1，1)，AC→ ＝(2，3)，则下列向量与BC→ 垂直的是(　　) A．a＝(3，6) B．b＝(8，－6) C．c＝(6，8) D．d＝(－6，3) 答案　D 解析　BC→ ＝AC→ －AB→ ＝(1，2)，因为(1，2)·(－6，3)＝1×(－6)＋2×3＝0．故 选 D． 4．(2018·长沙统考)已知 a，b 为单位向量，且 a⊥(a＋2b)，则向量 a 与 b 的 夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　由题意，a·(a＋2b)＝a 2＋2a·b＝|a| 2＋2|a||b|·cos〈a，b〉＝1＋2cos 〈a，b〉＝0，所以 cos〈a，b〉＝－1 2 ，又 0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝ 120°．故选 C． 5．(2018·长春调研)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosC －2ccosB＝a，且 B＝2C，则△ABC 的形状是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案　B 解析　∵2bcosC－2ccosB＝a，∴2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)， 即 sinBcosC＝3cosBsinC，∴tanB＝3tanC，又 B＝2C，∴2tanC 1－tan2C ＝3tanC，得 tanC ＝ 3 3 ，C＝π 6 ，B＝2C＝π 3 ，A＝π 2 ，故△ABC 为直角三角形．故选 B． 6．(2018·广东广州调研)如图所示，在△ABC 中， AN→ ＝1 3AC→ ，P 是 BN 上的 一点，若AP→ ＝mAB→ ＋ 2 11AC→ ，则实数 m 的值为(　　) A． 9 11 B． 5 11 C． 3 11 D． 2 11 答案　B 解析　因为 N，P，B 三点共线，所以AP→ ＝mAB→ ＋ 2 11AC→ ＝mAB→ ＋ 6 11AN→ ，从而 m＋ 6 11 ＝1⇒m＝ 5 11 ．故选 B． 7．(2018·湖南长郡中学调研)若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c，已知 2bsin2A＝asinB，且 c＝2b，则a b 等于(　　) A．2 B．3 C． 2 D． 3 答案　A 解 析 　 由 2bsin2A ＝ asinB ， 得 4bsinAcosA ＝ asinB ， 由 正 弦 定 理 得 4sinBsinAcosA＝sinAsinB，∵sinA≠0，且 sinB≠0，∴cosA＝1 4 ，由余弦定理，得 a2＝b2＋4b2－b2， ∴a2＝4b2，∴a b ＝2．故选 A． 8．(2018·江西九校联考)已知 5sin2α＝6cosα，α∈(0，π 2)，则 tanα 2 ＝(　　) A．－2 3 B．1 3 C．3 5 D．2 3 答案　B 解析　由题意知 10sinαcosα＝6cosα，又 α∈(0，π 2)， ∴sinα＝3 5 ，cosα＝4 5 ，tanα 2 ＝ sin α 2 cos α 2 ＝ 2sin2α 2 2sin α 2cos α 2 ＝1－cosα sinα ＝ 1－4 5 3 5 ＝1 3 ． 9．(2018·东北三省四市二联)将函数 f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|＜π 2 的图象向右平移 π 12 个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则函数 f(x)在 0，π 2 上的最小值为(　　) A． 3 2 B．1 2 C．－1 2 D．－ 3 2 答案　D 解析　f(x)＝sin(2x＋φ)向右平移 π 12 个单位得到函数 g(x)＝sin2x－ π 12 ＋φ＝ sin2x－π 6 ＋φ，此函数图象关于 y 轴对称，即函数 g(x)为偶函数，则－π 6 ＋φ＝π 2 ＋ kπ，k∈Z，由|φ|＜π 2 ，可得 φ＝－π 3 ，所以 f(x)＝sin2x－π 3 ，因为 0≤x≤π 2 ，所以－ π 3 ≤2x－π 3 ≤2π 3 ，所以 f(x)的最小值为 sin－π 3 ＝－ 3 2 ．故选 D． 10．(2018·湖北宜昌二模)已知△ABC 中，∠A＝120°，且 AB＝3，AC＝4， 若AP→ ＝λAB→ ＋AC→ ，且AP→ ⊥BC→ ，则实数 λ 的值为(　　) A．22 15 B．10 3 C．6 D．12 7 答案　A 解析　因为AP→ ＝λAB→ ＋AC→ ，且AP→ ⊥BC→ ，所以有AP→ ·BC→ ＝(λAB→ ＋AC→ )·(AC→ － AB→ )＝λAB→ ·AC→ －λAB→ 2＋AC→ 2－AB→ ·AC→ ＝(λ－1)AB→ ·AC→ －λAB→ 2＋AC→ 2＝0，整理可得(λ －1)×3×4×cos120°－9λ＋16＝0，解得 λ＝22 15 ，故选 A． 11．(2018·湖南长沙长郡中学摸底)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π 2 的最 小正周期为 π，且其图象向左平移π 3 个单位长度后得到函数 g(x)＝cosωx 的图象， 则函数 f(x)的图象(　　) A．关于直线 x＝ π 12 对称 B．关于直线 x＝5π 12 对称 C．关于点 π 12 ，0 对称 D．关于点5π 12 ，0 对称 答案　C 解析　由题意 T＝2π ω ＝π，得 ω＝2，把 g(x)＝cos2x 的图象向右平移π 3 个单位 长度得 f(x)＝cos2x－π 3 ＝cos2x－2π 3 ＝sinπ 2 －2x＋2π 3 ＝sin－2x＋7π 6 ＝sin2x－π 6 的图 象，f π 12 ＝0，f5π 12 ＝ 3 2 ，因此函数 f(x)的图象关于点 π 12 ，0 对称．故选 C． 12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，动点 P 在以点 C 为 圆心且与 BD 相切的圆上．若AP→ ＝λAB→ ＋μAD→ ，则 λ＋μ 的最大值为(　　) A．3 B．2 2 C． 5 D．2 答案　A 解析　分别以 CB，CD 所在的直线为 x 轴、y 轴建立直角坐标系，则 A(2， 1)，B(2，0)，D(0，1)． ∵点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上， ∴可设 P 2 5 cosθ， 2 5 sinθ． 则AB→ ＝(0，－1)，AD→ ＝(－2，0)， AP→ ＝ 2 5 cosθ－2， 2 5 sinθ－1． 又AP→ ＝λAB→ ＋μAD→ ， ∴λ＝－ 2 5 sinθ＋1，μ＝－ 1 5 cosθ＋1， ∴λ＋μ＝2－ 2 5 sinθ－ 1 5 cosθ＝2－sin(θ＋φ)， 其中 tanφ＝1 2 ，∴(λ＋μ)max＝3．故选 A． 第Ⅱ卷　(非选择题，共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．(2018·合肥质检一)已知平面向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝ 3， 则 a 在 b 方向上的投影等于________． 答案　－1 2 解析　依题意，有|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2cos〈a，b〉＋ 4＝3，解得 cos〈a，b〉＝－1 2 ，则 a 在 b 方向上的投影等于|a|cos〈a，b〉＝－ 1 2 ． 14．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 C ＝60°，b＝ 6，c＝3，则 A＝________． 答案　75° 解析　由正弦定理得 3 sin60° ＝ 6 sinB ，∴sinB＝ 2 2 ． 又∵c＞b，∴B＝45°，∴A＝75°． 15．(2018·河北石家庄质检)已知AB→ 与AC→ 的夹角为 90°，|AB→ |＝2，|AC→ |＝1，AM→ ＝λAB→ ＋μAC→ (λ，μ∈R)，且AM→ ·BC→ ＝0，则λ μ 的值为________． 答案　1 4 解析　 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(0，2)，C(1， 0)，所以AB→ ＝(0，2)，AC→ ＝(1，0)，BC→ ＝(1，－2)．设 M(x，y)，则AM→ ＝(x，y)， 所以AM→ ·BC→ ＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，即 x＝2y，又 AM→ ＝λAB→ ＋μAC→ ，即(x， y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以 x＝μ，y＝2λ，所以λ μ ＝ 1 2y x ＝1 4 ． 16．(2018·广州调研) 如图所示，某炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别 位于地面 C 处和 D 处，已知 CD＝6000 m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出 现于地面 B 处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，则炮兵阵地到目标的距离是 ________ m．(结果保留根号) 答案　1000 42 解析　在△ACD 中，∵∠ACD＝45°，∠ADC＝75°， ∴∠CAD＝60°， 由正弦定理可得 AD sin45° ＝ CD sin60° ， ∴AD＝6000× 2 2 3 2 ＝2000 6(m)． 在△BCD 中，由正弦定理得 BD sin30° ＝ CD sin135° ， ∴BD＝ 1 2 × 6000 2 2 ＝3000 2(m)， 在 Rt△ABD 中，由勾股定理可得 AB2＝BD2＋AD2， ∴AB＝ (3000 2)2＋(2000 6)2＝1000 42(m)． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)已知 α∈(π 2，π)，sinα＝ 5 5 ． (1)求 sin (π 4 ＋α)的值； (2)求 cos (5π 6 －2α)的值． 解　(1)因为 α∈(π 2，π)，sinα＝ 5 5 ， 所以 cosα＝－ 1－sin2α＝－2 5 5 ． 故 sin(π 4 ＋α)＝sinπ 4cosα＋cosπ 4sinα ＝ 2 2 ×(－2 5 5 )＋ 2 2 × 5 5 ＝－ 10 10 ． (2)由(1)知 sin2α＝2sinαcosα ＝2× 5 5 ×(－2 5 5 )＝－4 5 ， cos2α＝1－2sin2α＝1－2×( 5 5 )2＝3 5 ， 所以 cos(5π 6 －2α)＝cos5π 6 cos2α＋sin5π 6 sin2α ＝(－ 3 2 )×3 5 ＋1 2 ×(－4 5 )＝－4＋3 3 10 ． 18．(2018·浙江温州统考)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ 1 2sinωx＋ 3 2 cosωx(ω>0)的最小正周期为 π． (1)求 ω 的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数 y＝f(x)在区间[0，π] 上的图象； (2)函数 y＝f(x)的图象可由函数 y＝sinx 的图象经过怎样的变换得到？ 解　(1)函数可化为 f(x)＝sin(ωx＋π 3)， 因为 T＝π，所以2π ω ＝π，即 ω＝2， 所以 f(x)＝sin(2x＋π 3)． 列表如下： x 0 π 12 π 3 7π 12 5π 6 π y 3 2 1 0 －1 0 3 2 画出图象如图所示： (2)将函数 y＝sinx(x∈R)图象上的所有点向左平移π 3 个单位长度，得到函数 y ＝sin(x＋π 3)(x∈R)的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的1 2(纵 坐标不变)，可得函数 f(x)＝sin(2x＋π 3)(x∈R)的图象． 19．(2018·河南洛阳二模)(本小题满分 12 分)如图，已知扇形的圆心角∠AOB ＝2π 3 ，半径为 4 2，若点 C 是AB上的一动点(不与点 A，B 重合)． (1)若弦 BC＝4( 3－1)，求BC的长； (2)求四边形 OACB 面积的最大值． 解　(1)在△OBC 中，BC＝4( 3－1)，OB＝OC＝4 2， 所以由余弦定理得 cos∠BOC＝OB2＋OC2－BC2 2OB·OC ＝ 3 2 ， 所以∠BOC＝π 6 ，于是BC的长为π 6 ×4 2＝2 2π 3 ． (2)设∠AOC＝θ，θ∈0，2π 3 ，则∠BOC＝2π 3 －θ， S 四边形 OACB＝S△AOC＋S△BOC ＝1 2 ×4 2×4 2sinθ＋1 2 ×4 2×4 2sin2π 3 －θ＝24sinθ＋8 3cosθ＝16 3 sinθ＋π 6 ， 由于 θ∈0，2π 3 ，所以 θ＋π 6 ∈π 6 ，5π 6 ， 当 θ＝π 3 时，四边形 OACB 的面积取得最大值 16 3． 20．(2018·河南濮阳三模)(本小题满分 12 分)△ABC 内接于半径为 R 的圆， a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且 2R(sin 2B－sin2A)＝(b－c)sinC，c＝3． (1)求角 A 的大小； (2)若 AD 是 BC 边上的中线，AD＝ 19 2 ，求△ABC 的面积． 解　(1)因为 2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，所以 2RsinBsinB－2RsinAsinA＝(b －c)sinC， 所以 bsinB－asinA＝bsinC－csinC， 即 b2－a2＝bc－c2，即 b2＋c2－a2＝bc， 所以 cosA＝b2＋c2－a2 2bc ＝1 2 ，A＝60°． (2)以 AB，AC 为邻边作平行四边形 ABEC， 在△ABE 中，∠ABE＝120°，AE＝ 19， 由余弦定理得 AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos120°， 即 19＝9＋BE2－2×3×BE×－1 2 ， 解得 BE＝2(负值舍去)，所以 AC＝2． 故 S△ABC＝1 2AB·ACsin∠BAC ＝1 2 ×3×2× 3 2 ＝3 3 2 ． 21．(2018·荆门调研)(本小题满分 12 分)已知向量 m＝(3sinx，cosx)，n＝(－ cosx， 3cosx)，f(x)＝m·n－ 3 2 ． (1)求函数 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值； (2)若方程 f(x)＝a 在区间[0，π 2]上有两个不同的实数根，求实数 a 的取值范 围． 解　(1)f(x)＝m·n－ 3 2 ＝－3sinxcosx＋ 3cos2x－ 3 2 ＝－3 2sin2x＋ 3 2 (1＋ cos2x)－ 3 2 ＝－3 2sin2x＋ 3 2 cos2x＝ 3sin(2x＋5π 6 )． 当 2x＋5π 6 ＝2kπ＋π 2 ，k∈Z，即 x＝kπ－π 6 ，k∈Z 时， 函数 f(x)取得最大值 3． (2)由于 x∈[0，π 2]时，2x＋5π 6 ∈[5π 6 ，11π 6 ]． 而函数 g(x)＝ 3sinx 在区间[5π 6 ，3π 2 ]上单调递减，在区间[3π 2 ，11π 6 ]上单调 递增． 又 g(11π 6 )＝－ 3 2 ，g(3π 2 )＝－ 3，g(5π 6 )＝ 3 2 ． 结合图象(如图)，所以方程 f(x)＝a 在区间[0，π 2]上有两个不同的实数根时，a ∈(－ 3，－ 3 2 ]． 22．(2018·广东茂名二模)(本小题满分 12 分)已知△ABC 的内角 A，B，C 的 对边分别为 a，b，c，sinA＝2sinC，2b＝3c． (1)求 cosC； (2)若∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，且△ABC 的面积为3 15 4 ，求 BD 的长． 解　(1)∵sinA＝2sinC，∴a＝2c． 于是，cosC＝a2＋b2－c2 2ab ＝ (2c)2＋3 2c2－c2 2 × 2c × 3 2c ＝7 8 ． (2)由(1)知 cosC＝7 8 ，∴sinC＝ 15 8 ． ∵S△ABC＝1 2·2c· 3 2c· 15 8 ＝3 15 4 ， ∴c2＝4，c＝2，则 a＝4，b＝3． ∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴a c ＝CD AD ＝2，∴CD＝2AD． 又 CD＋AD＝3，∴CD＝2，AD＝1． 在△BCD 中，由余弦定理可得 BD2＝42＋22－2×4×2×7 8 ＝6， ∴BD＝ 6．