2020届二轮复习平面向量教案（全国通用） 11页

‎2020届二轮复习 平面向量 教案（全国通用）‎ ‎1．向量的基本概念 ‎(1)既有大小又有方向的量叫做向量．‎ ‎(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.‎ ‎(3)长度等于1的向量叫单位向量．‎ ‎(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．‎ ‎(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行．‎ ‎2．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.‎ ‎3．平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. ‎ ‎4．两向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．‎ ‎5．向量的坐标表示及运算 ‎(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)．‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．‎ ‎6．平面向量共线的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，‎ 当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线．‎ ‎7．平面向量的数量积 设θ为a与b的夹角．‎ ‎(1)定义：a·b＝|a||b|cosθ.‎ ‎(2)投影：＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．‎ ‎8．数量积的性质 ‎(1)a⊥b⇔a·b＝0；‎ ‎(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2；‎ ‎(3)|a·b|≤|a|·|b|；‎ ‎(4)cosθ＝.‎ ‎9．数量积的坐标表示、模、夹角 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)‎ ‎(1)a·b＝x1x2＋y1y2；‎ ‎(2)|a|＝；‎ ‎(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；‎ ‎(4)cosθ＝.‎ ‎【误区警示】‎ ‎1．两向量夹角的范围是[0，π]， a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．‎ ‎2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．‎ ‎3．a在b方向上的投影为，而不是.‎ ‎4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0⇔a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0.‎ 高频考点一　平面向量的概念及运算 例1．【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，‎ 所以.‎ ‎【变式探究】已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.‎ 解析：基本法：∵a∥b，∴a＝λb 即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ)‎ ‎∴故m＝－6.‎ 速解法：根据向量平行的坐标运算求解：‎ ‎∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b ‎∴m×(－2)－4×3＝0‎ ‎∴－2m－12＝0，∴m＝－6.‎ 答案：－6‎ ‎【变式探究】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A．(－7，－4)　　　　　　　　B．(7,4)‎ C．(－1,4) D．(1,4)‎ ‎【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．‎ ‎(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：基本法一：设＝a，＝b，则＝－b＋a，＝－a＋b，从而＋＝＋＝(a＋b)＝，故选A.‎ 基本法二：如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)‎ ‎＝·2＝.‎ 答案：A 高频考点二　平面向量数量积的计算与应用 例2．（2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.‎ ‎【变式探究】已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．120°‎ 解析：基本法：根据向量的夹角公式求解．‎ ‎∵＝，＝，∴||＝1，||＝1，·＝×＋×＝，‎ ‎∴cos∠ABC＝cos〈，〉＝＝.‎ ‎∵0°≤〈，〉≤180°，∴∠ABC＝〈，〉＝30°.‎ 速解法：如图，B为原点，则A ‎∴∠ABx＝60°，C∠CBx＝30°，∴∠ABC＝30°.‎ 答案：A ‎【变式探究】(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ ‎【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单． ‎ ‎【考点定位】平面向量的应用、线性规划.‎ ‎7. 【2014高考北京卷理第10题】已知向量、满足，，且（），则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当，则，于是，因为，所以，‎ 又因为，所以.‎ ‎【考点定位】平面向量的模 ‎8. 【2014高考湖北卷理第11题】设向量，，若，则实数 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为，，‎ 因为，所以，解得.‎ ‎【考点定位】平面向量的坐标运算、数量积 ‎10. 【2014江西高考理第15题】已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为所以 ‎【考点定位】向量数量积及夹角 ‎11. 【2014辽宁高考理第5题】设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知，命题P是假命题；命题q是真命题，故为真命题.‎ ‎【考点定位】命题的真假 ‎12. 【2014全国1高考理第15题】已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】由，故三点共线，且是线段中点，故是圆的直径，从而，因此与的夹角为 ‎【考点定位】平面向量基本定理 ‎13. 【2014全国2高考理第3题】设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为=10，，两式相加得：，所以，故选A.‎ ‎【考点定位】本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量 ‎14. 【2014高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.‎ ‎①有5个不同的值.‎ ‎②若则与无关.‎ ‎③若则与无关.‎ ‎④若，则.‎ ‎⑤若，则与的夹角为 ‎，∴，∴，故⑤错误.所以正确的编号为②④ ‎ ‎【考点定位】平面向量的运算、平面向量的数量积.‎ ‎15. 【2014四川高考理第7题】平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】 D.‎ ‎【解析】 由题意得：，选D.‎ 法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得 ‎【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.‎ ‎16. 【2014浙江高考理第8题】记，，设为平面向量，则（ ）‎ ‎ A.‎ ‎ B.‎ ‎ C.‎ ‎ D.‎ ‎【答案】Ｄ ‎【解析】根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知与的大小不确定，由平行四边形法则及余弦定理可知，所对的角大于或等于，故，故选Ｄ ‎【考点定位】向量运算的几何意义.‎ ‎17. 【2014重庆高考理第4题】已知向量，且，则实数=（ ）‎ ‎ D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为所以 又因为，所以，，所以，，解得：‎ 故选C.‎ ‎【考点定位】平面向量的坐标运算、平面向量的数量积.‎ ‎19. 【2014大纲高考理第4题】若向量满足：则 （ ） ‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】把①代入②得故选B．‎ ‎【考点定位】1.向量垂直的充要条件；2. 平面向量的数量积运算．‎ ‎20. 【2014高考陕西第18题】在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上 ‎ （1）若，求；‎ ‎ （2）设，用表示，并求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2），1.‎ ‎【解析】（1）因为 所以 即得 所以 ‎（2）‎ 即 两式相减得：‎ 令，由图可知，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1.‎ ‎【考点定位】平面向量的线性运算、线性规划.学+科网 ‎21.【2014高考上海理科第16题】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）‎ ‎（A）1 (B)2 (C)4 (D)8‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，与上底面垂直，因此，‎ ‎．‎ ‎【考点定位】数量积的定义与几何意义．‎ ‎22.【2014高考上海理科第14题】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．‎ ‎【考点定位】向量的坐标运算．‎