【数学】2020届一轮复习人教B版直线的参数方程的应用作业 5页

‎2020届一轮复习人教B版 直线的参数方程的应用 作业 ‎1．直线(t为参数)的倾斜角为(　　)‎ A．70° B．10°‎ C．160° D．140°‎ 解析：选B　将直线的参数方程化为(t为参数)，故其倾斜角为10°，故选B.‎ ‎2．直线(t为参数)的斜率为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：选A　直线的参数方程(t为参数)化为普通方程为y－1＝－(x－3)，则直线的斜率k＝－.‎ ‎3．若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为(　　)‎ A. B. C. D.或 解析：选D　直线可化为＝tan α，即y＝tan α·x，‎ 圆方程可化为(x－4)2＋y2＝4，‎ ‎∴由＝2⇒tan2α＝，‎ ‎∴tan α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或.‎ ‎4．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是(　　)‎ A.(t为参数) B.(t为参数)‎ C.(t为参数) D.(t为参数)‎ 解析：选C　直线2x－y＋1＝0经过点(1,3)，斜率k＝2，可得直线的参数方程是(t为参数)．直线还经过点(2,5)，相应的参数方程为(t为参数)．‎ ‎5．已知直线l经过点P(1，－3)，倾斜角为，求直线l与直线l′：y＝x－2的交点Q与点P的距离|PQ|.‎ ‎【解】　∵l过点P(1，－3)，倾斜角为，‎ ‎∴l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．‎ 代入y＝x－2，得－3＋t＝1＋t－2，‎ 解得t＝4＋2，‎ 即t＝2＋4为直线l与l′的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几何意义，可知|t|＝PQ，∴PQ＝4＋2.‎ ‎6．求直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长．‎ ‎【解】　将代入圆的方程x2＋y2＝9，得5t2＋8t－4＝0，t1＋t2＝－，t1t2＝－.‎ ‎|t1－t2|2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝＋＝，‎ 所以弦长＝|t1－t2|＝·＝.‎ ‎7．已知椭圆＋＝1和点P(2,1)，过P作椭圆的弦，并使点P为弦的中点，求弦所在的直线方程．‎ ‎【解】　设弦所在直线的参数方程为(t为参数)，代入椭圆方程＋＝1，得(cos2α＋4sin2α)·t2＋4(cosα＋2sin α)t－8＝0，所以t1＋t2＝－，因为P是弦的中点，所以t1＋t2＝0，‎ 即－＝0，所以cos α＋2sin α＝0，tan α＝－.又P(2,1)在椭圆内，所以弦所在的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.‎ ‎8．过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点作两条互相垂直的弦OA，OB，求线段AB中点M的轨迹的普通方程．‎ ‎【解】　由题意知，两弦所在直线的斜率存在且不为0，所以设直线OA的方程为y＝kx，‎ 则OB的方程为y＝－x，解得或所以A点坐标为(，)．同理可求得B点坐标为(2pk2‎ ‎，－2pk)．设AB中点M的坐标为(x，y)，‎ 则消去k得y2＝px－2p2.所以点M的轨迹方程为y2＝px－2p2.‎ ‎9．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，试求a的值．‎ ‎【导学号：98990034】‎ ‎【解】　∵消去参数t得2x＋y－3＝0.‎ 又消去参数θ得＋＝1.‎ 方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝，将(，0)代入＋＝1，得＝1.又a>0，∴a＝.‎ ‎10．已知直线l经过点P(1,0)，倾斜角为α＝.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程；‎ ‎(2)设直线l与椭圆x2＋4y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．‎ ‎【解】　(1)直线l的参数方程为 即(t为参数)．‎ ‎(2)联立直线与圆的方程得 ‎(1＋t)2＋4()2＝4，∴t2＋t－3＝0，‎ 所以t1t2＝－，即|t1||t2|＝.‎ 所以P到A、B两点的距离之积为.‎ ‎11．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点．‎ ‎(1)求AB；(2)求AB的中点M的坐标及FM.‎ ‎【解】　抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，‎ 依题意，设直线AB的参数方程为 (t为参数)，‎ 其中tan α＝2，cos α＝，sin α＝，α为直线AB的倾斜角，代入y2＝8x整理得t2－2t－20＝0.‎ 则t1＋t2＝2，t1t2＝－20.‎ ‎(1)AB＝|t2－t1|＝ ‎＝＝10.‎ ‎(2)由于AB的中点为M，‎ 故点M对应的参数为＝，‎ ‎∴M(3,2)，FM＝||＝.‎ ‎[能力提升]‎ ‎12．如图446所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：‎ 图446‎ ‎(1)P，M间的距离PM；‎ ‎(2)点M的坐标；‎ ‎(3)线段AB的长．‎ ‎【解】　(1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线l的倾斜角为α，则 tan α＝，cos α＝，sin α＝，‎ ‎∴直线l的参数方程的标准形式为 (t为参数)．(*)‎ ‎∵直线l和抛物线相交，∴将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，‎ 整理得 ‎8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0.‎ 设这个二次方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝，t1t2＝－.‎ 由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得 PM＝＝.‎ ‎(2)因为中点M所对应的参数为tM＝，‎ 将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)，‎ 得 即M(，)．‎ ‎(3)AB＝|t1－t2|＝ ‎＝.‎