【数学】2020届一轮复习人教A版第55课向量的数量积作业（江苏专用） 5页

随堂巩固训练(55)‎ ‎ 1. 已知a＝(，1)，b＝(－2，2)，则a与b的夹角为　　.‎ 解析：由题意得|a|＝＝2，|b|＝＝4，a·b＝(，1)·(－2，2)＝－4，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，所以a与b的夹角为.‎ ‎ 2. 已知a＝(2，1)，b＝(0，－1)，若(a＋λb)⊥a ，则实数λ＝　5　.‎ 解析：由题意得a＋λb＝(2，1)＋λ(0，－1)＝(2，1－λ).因为(a＋λb)⊥a，所以(2，1－λ)·(2，1)＝0，即4＋1－λ＝0，解得λ＝5.‎ ‎ 3. 在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，CA＝，则·＋·＋·的值是　－5　.‎ 解析：由题意得AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，所以·＝0，所以·＋·＋·＝·(＋)＝－||2＝－5.‎ ‎ 4. 在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝4，P是DC边的中点，则· 的值为　7　.‎ 解析：‎ 如图，·＝(＋)·(＋)＝·＝－||2＋||2＝－×62＋42＝7.‎ ‎ 5. 在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·的值为　－2　Ｗ.‎ 解析：因为＝－，＝＋，所以·＝(＋)·(－)＝·(－)＝·(－)＝(·－2||2＋||2)＝×(3×3×－2×32＋32)＝－2.‎ ‎ 6. 已知向量a，b满足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝，则a，b的夹角为　　. ‎ 解析：由题意得|a|＝＝5.因为|a－b|＝，所以a2－2a·b＋b2＝21，所以a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为.‎ ‎ 7. 在平行四边形ABCD中， E为DC的中点，AE与BD交于点M，AB＝，AD＝1且·＝－，则·＝　　.‎ 解析：易知＝＝(＋)＝－－，＝＝(－)，所以·＝·(‎ －)＝－||2＋||2－·＝－·＝－，所以·＝.‎ ‎ 8. 已知平面向量a与b的夹角为，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝　　.‎ 解析：由题意可得a·b＝|a|·|b|cos ＝3，所以|2a－3b|＝＝＝＝.‎ ‎ 9. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若·＝－3，则·＝　　.‎ 解析：因为·＝(＋)·(－)＝·＝||2－·－||2＝－3，所以×32－×·－×42＝－3，所以·＝.‎ ‎10. 已知边长为6的正三角形ABC，＝，＝，AD与BE交于点P，则·的值为　3　Ｗ.‎ 解析：由题意得，D，E分别为线段BC，AC的中点，所以P是正三角形ABC的重心，所以||＝||＝××6＝2，||＝||＝.又∠BPD＝60°，所以·＝||·||·cos60°＝2××＝3.‎ ‎11. 如图，在△ABC中，＝2.‎ ‎(1) 若＝x＋y(x，y为实数)，求x，y的值；‎ ‎(2) 若AB＝3，AC＝4，∠BAC＝60°，求·的值.‎ 解析：(1) 因为＝2，所以－＝2(－)，‎ 所以＝＋.‎ 又因为＝x＋y＝(x－y)＋y，‎ 所以＋＝(x－y)＋y.‎ 因为与不共线，‎ 所以解得 ‎(2) ·＝·(－)＝·－||2＋||2＝.‎ ‎12. 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，求·的最小值.‎ 解析：因为＝，＝，＝λ，‎ 所以＝－＝－＝，＝＋＝＋λ，‎ 所以＝＋＋＝＋＋＝＋，‎ 所以·＝(＋λ)·＝||2＋λ||2＋·＝×4＋λ＋×2×1×cos120°＝＋＋≥2＋＝，‎ 当且仅当＝，即λ＝时，·取得最小值. ‎ ‎13. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(1，0)，b＝(0，2).设向量x＝a＋(1－cosθ)b，y＝－ka＋ b，其中0<θ<π.‎ ‎(1) 若k＝4，θ＝，求x·y的值；‎ ‎(2) 若x∥y，求实数k的最大值，并求取得最大值时θ的值.‎ 解析：(1) 方法一：当k＝4，θ＝时，x＝(1，2－)，y＝(－4，4)，‎ 则x·y＝1×(－4)＋(2－)×4＝4－4.‎ 方法二：依题意得a·b＝0， ‎ 则x·y＝·(－4a＋2b)＝－4a2＋2×b2＝－4＋2××4＝4－4.‎ ‎(2) 依题意得，x＝(1，2－2cosθ)，y＝.‎ 因为x∥y，所以＝－k(2－2cosθ)，整理得＝sinθ(cosθ－1).‎ 令f(θ)＝sinθ(cosθ－1)，‎ 则f′(θ)＝cosθ(cosθ－1)＋sinθ(－sinθ)＝2cos2θ－cosθ－1＝(2cosθ＋1)(cosθ－1). ‎ 令f′(θ)＝0，得cosθ＝－或cosθ＝1，‎ 又0<θ<π，故θ＝，‎ 列表：‎ 故当θ＝时，f(θ)min＝－，此时实数k取得最大值－. ‎