【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试54抛物线作业 14页

考点测试54　抛物线 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 高考概览 本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度 考纲研读 ‎1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)‎ ‎2．理解数形结合的思想 ‎3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用 一、基础小题 ‎1．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)‎ A．y＝－1 B．y＝－‎2 C．x＝－1 D．x＝－2‎ 答案　A 解析　依题意，抛物线x2＝4y的准线方程是y＝－1，故选A．‎ ‎2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线准线的距离为(　　)‎ A．4 B．‎6 C．8 D．12‎ 答案　B 解析　依题意得，抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，因此点P到该抛物线准线的距离为4＋2＝6，故选B．‎ ‎3．到定点A(2，0)与定直线l：x＝－2的距离相等的点的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y 答案　A 解析　由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p＝4，焦点在x轴正半轴上，故选A．‎ ‎4．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于(　　)‎ A． B．‎1 C． D．2‎ 答案　D 解析　由题意3x0＝x0＋，x0＝，则＝2，∵p>0，∴p＝2，故选D．‎ ‎5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|等于(　　)‎ A．4 B．‎6 C．8 D．10‎ 答案　C 解析　由抛物线y2＝4x得p＝2，由抛物线定义可得|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，又因为x1＋x2＝6，所以|AB|＝8，故选C．‎ ‎6．若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点为(　　)‎ A．(1，2) B．(0，0) C．，1 D．(1，4)‎ 答案　C 解析　解法一：根据题意，直线y＝4x－5必然与抛物线y＝4x2相离，抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线y＝4x－5平行的抛物线的切线的切点．由y′＝8x＝4得x＝，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是，1，该点到直线y＝4x－5的距离最短．故选C．‎ 解法二：抛物线上的点(x，y)到直线y＝4x－5的距离是d＝＝＝，显然当x＝时，d取得最小值，此时y＝1．故选C．‎ ‎7．已知动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，‎ 则动圆的圆心的轨迹方程为________．‎ 答案　y2＝4x 解析　设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x．‎ ‎8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________．‎ 答案　 解析　过N作准线的垂线，垂足是P，则有|PN|＝|NF|，‎ ‎∴|PN|＝|MN|，∠NMF＝∠MNP．又cos∠MNP＝，∴∠MNP＝，即∠NMF＝．‎ 二、高考小题 ‎9．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ 答案　D 解析　根据题意，过点(－2，0)且斜率为的直线方程为y＝(x＋2)，与抛物线方程联立消去x并整理，得y2－6y＋8＝0，解得M(1，2)，N(4，4)，又F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，从而可以求得·＝0×3＋2×4＝8，故选D．‎ ‎10．(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)‎ A．16 B．‎14 C．12 D．10‎ 答案　A 解析　因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1，0)．‎ 由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，‎ y＝－(x－1)．‎ 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝1，‎ 所以|AB|＝·|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝·＝．‎ 同理可得|DE|＝4(1＋k2)．‎ 所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)＝4＋1＋1＋k2＝8＋4k2＋≥8＋4×2＝16，‎ 当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．故选A．‎ ‎11．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．‎ 答案　2‎ 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 所以y－y＝4x1－4x2，‎ 所以k＝＝．‎ 取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1 的垂线，‎ 垂足分别为A′，B′．‎ 因为∠AMB＝90°，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．‎ 因为M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴．‎ 因为M(－1，1)，所以y0＝1，则y1＋y2＝2，所以k＝2．‎ ‎12．(2018·北京高考)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．‎ 答案　(1，0)‎ 解析　由题意得a>0，设直线l与抛物线的两交点分别为A，B，不妨令A在B的上方，则A(1，2)，B(1，－2)，故|AB|＝4＝4，得a＝1，故抛物线方程为y2＝4x，其焦点坐标为(1，0)．‎ ‎13．(2017·天津高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．‎ 答案　(x＋1)2＋(y－)2＝1‎ 解析　由y2＝4x可得点F的坐标为(1，0)，准线l的方程为x＝－1．‎ 由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°．又因为∠FAC＝120°，‎ 所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以点C的纵坐标为．‎ 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1．‎ 三、模拟小题 ‎14．(2018·沈阳监测)抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是(　　)‎ A．(0，a) B．(a，0) C． D． 答案　C 解析　将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝y(a≠0)，所以焦点坐标为，故选C．‎ ‎15．(2018·太原三模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若＝3，则|MN|＝(　　)‎ A． B．‎8 C．16 D． 答案　A 解析　由题意F(1，0)，设直线PF的方程为y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．因为准线方程为x＝－1，所以得P(－1，－2k)．所以＝(2，2k)，＝(1－x1，－y1)，因为＝3，所以2＝3(1－x1)，解得x1＝．把y＝k(x－1)代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1x2＝1，所以x2＝3，从而得|MN|＝|MF|＋|NF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝．故选A．‎ ‎16．(2018·豫南九校联考)已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8，7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为(　　)‎ A．7 B．‎8 C．9 D．10‎ 答案　C 解析　延长PQ与准线交于M点，抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1．∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9．‎ 当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9．‎ 故选C．‎ ‎17．(2018·青岛质检)已知点A是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则实数p的值为(　　)‎ A． B．‎1 C． D．2‎ 答案　D 解析　解法一：设过点A且与抛物线C相切的直线为y＝kx－．由得x2－2pkx＋p2＝0．由 Δ＝4p2k2－4p2＝0，得k＝±1，所以得点P－p，，‎ Qp，，所以△APQ的面积为S＝×2p×p＝4，解得p＝2．故选D．‎ 解法二：如图，设点P(x1，y1)，‎ Q(x2，y2)．由题意得点A0，－．y＝x2，求导得y′＝x，所以切线PA的方程为y－y1＝x1(x－x1)，即y＝x1x－x，切线PB的方程为y－y2＝x2(x－x2)，即y＝x2x－x，代入A0，－，得点P－p，，Qp，，所以△APQ的面积为S＝×2p×p＝4，解得p＝2．故选D．‎ ‎18．(2018·沈阳质检一)已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1，1)为中点，则弦AB所在直线的方程是________．‎ 答案　2x－y－1＝0‎ 解析　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B都在抛物线上，可得作差得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．因为AB中点为P(1，1)，所以y1＋y2＝2，则有2·＝‎ ‎4，所以kAB＝＝2，从而直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．‎ 一、高考大题 ‎1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．‎ ‎(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；‎ ‎(2)证明：∠ABM＝∠ABN．‎ 解　(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2，2)或(2，－2)．‎ 所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1．‎ ‎(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN．‎ 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0．‎ 由得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝，y1y2＝－4．‎ 直线BM，BN的斜率之和为 kBM＋kBN＝＋＝．①‎ 将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得 x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝ ‎＝＝0．所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN．‎ 综上，∠ABM＝∠ABN．‎ ‎2．(2018·浙江高考)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．‎ ‎(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；‎ ‎(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．‎ 解　(1)证明：设P(x0，y0)，Ay，y1，By，y2．‎ 因为PA，PB的中点在抛物线上，‎ 所以y1，y2为方程2＝4·即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．‎ 所以y1＋y2＝2y0，‎ 因此，PM垂直于y轴．‎ ‎(2)由(1)可知 所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，‎ ‎|y1－y2|＝2．‎ 因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|‎ ‎＝(y－4x0)．‎ 因为x＋＝1(x0<0)，‎ 所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]．‎ 因此，△PAB面积的取值范围是6，．‎ ‎3．(2018·北京高考)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2)．过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．‎ ‎(1)求直线l的斜率的取值范围；‎ ‎(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．‎ 解　(1)因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，‎ 所以2p＝4，即p＝2．‎ 故抛物线C的方程为y2＝4x，‎ 由题意知，直线l的斜率存在且不为0．‎ 设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．‎ 由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0．‎ 依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，‎ 解得k<0或0b>0)，‎ 把点(－2，0)，，代入可得a2＝4，b2＝1，‎ 所以椭圆C1的标准方程为＋y2＝1．‎ ‎(2)由抛物线的标准方程可得C2的焦点F(1，0)，‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1．‎ 直线l交椭圆C1于点M1，，N1，－，‎ ·≠0，不满足题意．‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，并设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由消去y，得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，于是x1＋x2＝，‎ x1x2＝．　①‎ 则y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)‎ ‎＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]‎ ‎＝k2－＋1‎ ‎＝．　②‎ 由⊥得x1x2＋y1y2＝0．　③‎ 将①②代入③式，得＋＝＝0，‎ 解得k＝±2，所以存在直线l满足条件，且l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0．‎ ‎6．(2018·石家庄质检二)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝的圆心C在抛物线x2＝2py(p＞0)上，圆C过原点且与抛物线的准线相切．‎ ‎(1)求该抛物线的方程；‎ ‎(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在A，B处作抛物线的两条切线交于点P，求△PAB面积的最小值及此时直线l的方程．‎ 解　(1)由已知可得圆心C(a，b)，‎ 半径r＝，焦点F0，，准线y＝－，因为圆C与抛物线F的准线相切，所以b＝－．又因为圆C过原点，且圆C过焦点F，所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上，即b＝，所以－＝，解得p＝2，‎ 所以抛物线的方程为x2＝4y．‎ ‎(2)易得焦点F(0，1)，直线l的斜率必存在，设为k，即直线l的方程为y＝kx＋1，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得x2－4kx－4＝0，Δ>0，‎ 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，‎ 对y＝求导得y′＝，即kAP＝．‎ 直线AP的方程为y－y1＝(x－x1)，‎ 即y＝x－x，‎ 同理得直线BP的方程为y＝x－x．‎ 设点P(x0，y0)，联立直线AP与BP的方程，‎ 解得即P(2k，－1)，所以|AB|＝|x1－x2|＝4(1＋k2)，点P到直线AB的距离d＝＝2，所以△PAB的面积S＝·4(1＋k2)·2＝4(1＋k2)≥4，‎ 当且仅当k＝0时取等号．‎ 综上，△PAB面积的最小值为4，此时直线l的方程为y＝1．‎