【数学】2020届一轮复习人教B版空间位置关系的判断与证明课时作业 5页

一、选择题 ‎1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的(　　)‎ A．必要不充分条件　　　 　B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EF∥GH，故甲是乙成立的充分不必要条件．‎ ‎2．关于直线a，b及平面α，β，下列命题中正确的是(　　)‎ A．若a∥α，α∩β＝b，则a∥b B．若α⊥β，m∥α，则m⊥β C．若a⊥α，a∥β，则α⊥β D．若a∥α，b⊥a，则b⊥α 解析：选C　A是错误的，因为a不一定在平面β内，所以a，b有可能是异面直线；B是错误的，若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故B错误；C是正确的，由直线与平面垂直的判断定理能得到C正确；D是错误的，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．‎ ‎3．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是(　　)‎ A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n 解析：选D　若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n平行或异面，即A错误；若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m与n相交或平行或异面，即B错误；若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，即C错误，故选D.‎ ‎4.如图，在三棱锥PABC中，不能证明AP⊥BC的条件是(　　)‎ A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC 解析：选B　A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC.又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.‎ ‎5．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：‎ ‎①BD⊥AC；‎ ‎②△BAC是等边三角形；‎ ‎③三棱锥DABC是正三棱锥；‎ ‎④平面ADC⊥平面ABC.‎ 其中正确的结论是(　　)‎ A．①②④ B．①②③‎ C．②③④ D．①③④‎ 解析：选B　由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，结合②知③正确；由①知④不正确．故选B.‎ ‎6．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　如图所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，平面AB1D1与棱A‎1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A‎1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCDA1B‎1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．如图所示，取棱AB，BB1，B‎1C1，C1D1，D1D，DA的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6××××sin 60°＝.故选A.‎ 二、填空题 ‎7．(2018·天津六校联考)设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：‎ ‎①若a∥α且b∥α，则a∥b；‎ ‎②若a⊥α且a⊥β，则α∥β；‎ ‎③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；‎ ‎④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.‎ 其中真命题的序号是________．‎ 解析：①中a与b也可能相交或异面，故不正确．‎ ‎②垂直于同一直线的两平面平行，正确．‎ ‎③中存在γ，使得γ与α，β都垂直，正确．‎ ‎④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以，正确．‎ 答案：②③④‎ ‎8．若P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下四个命题：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正确的个数是________．‎ 解析：由已知可得OM∥PD，∴OM∥平面PCD且OM∥平面PAD.故正确的只有①③.‎ 答案：①③‎ ‎9.如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥DAEF 体积的最大值为________．‎ 解析：因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF.又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB.又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥DAEF的高．因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE＝，设AF＝a，FE＝b，则△AEF的面积S＝ab≤×＝×＝(当且仅当a＝b＝1时等号成立)，所以(VDAEF)max＝××＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎10.(2018·长春质检)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎(1)证明：PB∥平面ACE；‎ ‎(2)设PA＝1，AD＝，PC＝PD，求三棱锥PACE的体积．‎ 解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE.‎ 在△PBD中，PE＝DE，‎ BO＝DO，所以PB∥OE.‎ 又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，‎ 所以PB∥平面ACE.‎ ‎(2)由题意得AC＝AD，‎ 所以VPACE＝VPACD＝VPABCD ‎＝×S▱ABCD·PA ‎＝××2××()2×1＝.‎ ‎11.如图，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点．‎ ‎(1)当CF＝2时，证明：B‎1F⊥平面ADF；‎ ‎(2)若FD⊥B1D，求三棱锥B1ADF的体积．‎ 解：(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，‎ 所以AD⊥BC.‎ 在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，所以AD⊥B1B.‎ 因为BC∩B1B＝B，所以AD⊥平面B1BCC1.‎ 因为B‎1F⊂平面B1BCC1，所以AD⊥B‎1F.‎ 在矩形B1BCC1中，因为C‎1F＝CD＝1，B‎1C1＝CF＝2，‎ 所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，‎ 所以∠CFD＝∠C1B‎1F，所以∠B1FD＝90°，‎ 所以B‎1F⊥FD.‎ 因为AD∩FD＝D，所以B‎1F⊥平面ADF.‎ ‎(2)由(1)知AD⊥平面B1DF，CD＝1，AD＝2，‎ 在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，‎ 所以B1D＝＝.‎ 因为FD⊥B1D，‎ 所以Rt△CDF∽Rt△BB1D，‎ 所以＝，即DF＝×＝，‎ 所以VB1ADF＝VAB1DF＝S△B1DF×AD＝××××2＝.‎ ‎12．(2018·石家庄摸底)如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点．‎ ‎(1)求证：BF∥平面ADP；‎ ‎(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.‎ 证明：(1)取PD的中点为G，连接FG，AG，‎ ‎∵F是CE的中点，‎ ‎∴FG是梯形CDPE的中位线，‎ ‎∵CD＝3PE，‎ ‎∴FG＝2PE，FG∥CD，‎ ‎∵CD∥AB，AB＝2PE，‎ ‎∴AB∥FG，AB＝FG，‎ 即四边形ABFG是平行四边形，‎ ‎∴BF∥AG，‎ 又BF⊄平面ADP，AG⊂平面ADP，‎ ‎∴BF∥平面ADP.‎ ‎(2)延长AO交CD于M，连接BM，FM，‎ ‎∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，‎ ‎∴四边形ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE.‎ ‎∴MD綊FG.∴四边形DMFG为平行四边形．‎ ‎∴FM∥PD，‎ ‎∵PD⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，‎ ‎∴FM⊥BD，‎ ‎∵AM∩FM＝M，∴BD⊥平面AMF，‎ 即BD⊥平面AOF.‎