2020届二轮复习高考解题的数学思想学案 35页

函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到，几乎大多数年份高考中大题都会涉及到．因此认真体会函数与方程思想是成功高考的关键．‎ 在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。‎ 因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。‎ 分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点和热点，也是高考的考点，高考中经常会有一道解答题，解题思路直接依赖于分类讨论．‎ 预测以后的高考，将会一如既往地考查分类讨论思想，特别在解答题中(尤其导数与函数)，将有一道进行分类、求解的把关题，选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论求解题．‎ 化归与转化的思想在高考中必然考到，主要可能出现在立体几何的大题中，将空间立体几何的问题转化为平面几何问题，解析几何大题中求范围问题的题转化为求函数值域范围问题等，总之将复杂问题转化为简单问题是高考中解决问题的重要思想方法．‎ 一、函数与方程思想 一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．‎ ‎1．方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决．‎ ‎2．方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要．‎ 可用函数与方程思想解决的相关问题．‎ ‎1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：‎ ‎(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；‎ ‎(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．‎ ‎2．方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：‎ ‎(1)解方程或解不等式；‎ ‎(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；‎ ‎(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；‎ ‎(4)构造方程或不等式求解问题．‎ 二、数形结合的数学思想 数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．。‎ 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：‎ 数形结合思想解决的问题常有以下几种：学-科网 ‎(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；‎ ‎(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；‎ ‎(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；‎ ‎(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；‎ ‎(5)构建立体几何模型研究代数问题；‎ ‎(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；‎ ‎(7)构建方程模型，求根的个数；‎ ‎(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．‎ 常见适用数形结合的两个着力点是：‎ 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.‎ 以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。‎ 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)‎ ‎，然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。‎ ‎1．数形结合的途径 ‎（1）通过坐标系形题数解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）‎ 实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。。‎ 常见方法有：‎ ‎①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。‎ ‎②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。学+科网 ‎③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。‎ ‎（2）通过转化构造数题形解 许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a＞0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2－2与余弦定理沟通，将a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。‎ 常见的转换途径为：‎ ‎①方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。‎ ‎②利用平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式性质。‎ ‎（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将与正方形的面积互化，将与体积互化，将与勾股定理沟通等等。‎ ‎（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离 ‎，点到直线的距离，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。‎ ‎2．数形结合的原则 ‎（1）等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。‎ ‎（2）双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。‎ 例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。‎ ‎（3）简单性原则 就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。‎ 三、分类讨论的思想 分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．‎ ‎1．由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．‎ ‎2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．‎ ‎3．由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．‎ ‎4．由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．‎ ‎5．由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．‎ ‎6．由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．‎ 四、化归与转化的思想 ‎1、化归与转化的思想方法 解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换， 将原问题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”．‎ ‎2 、化归与转化的思想方法应用的主要方向 化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．‎ ‎3、等价转化和非等价转化 转化有等价转化和非等价转化之分．等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证．‎ 高频考点一、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用 例1．(1)若方程cos2x－sin x＋a＝0在上有解，则a的取值范围是________．‎ ‎【解析】法一：把方程变形为a＝－cos2x＋sin x，‎ 设f(x)＝－cos2x＋sin x，x∈，‎ 显然，当且仅当a属于f(x)的值域时有解．‎ 因为f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝2－，且由x∈知sin x∈(0,1]，易求得f(x)的值域为(－1,1]，故a的取值范围是(－1,1]．‎ 法二：令t＝sin x，‎ 由x∈，可得t∈(0,1]．‎ 将方程变为t2＋t－1－a＝0.‎ 依题意，该方程在(0,1]上有解，‎ 设f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－，如图所示．‎ 因此，f(t)＝0在(0,1]上有解等价于 即所以－10恒成立，‎ 所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，‎ 故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，‎ 即当n＝1时，(bn)max＝，‎ 要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，‎ 则须使k≥(bn)max＝，‎ 所以实数k的最小值为.‎ ‎【规律方法】‎ 本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出bn的表达式，说明要求bn≤k恒成立时k的最小值，只需求bn的最大值，从而构造函数f(x)＝2x＋(x≥1)，利用函数求解．‎ ‎【变式探究】设数列{an}，{bn}满足a1＝a>0，an＋1＝an，且bn＝ln(1＋an)＋a，n∈N*，‎ 证明：<<1.‎ 证明：由a1＝a>0，an＋1＝an知，an>0(n∈N*)，‎ 故bn>0(n∈N*)．‎ 因为<1，所以bn－an>0，‎ 构造函数f(x)＝ln(1＋x)＋x2－x(x>0)，‎ 则其导数f′(x)＝＋x－1＝，‎ 当x>0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)>f(0)＝0，即bn－an>0，所以<1.‎ 因为<，所以ln(1＋an)－an<0，‎ 构造函数g(x)＝ln(1＋x)－x(x>0)，‎ 则导函数g′(x)＝－1＝，‎ 当x>0时，g′(x)<0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，‎ 故g(x)，所以<<1.‎ 高频考点三、运用函数与方程思想解决不等式问题 例3．已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．‎ 解析　若0≤a≤1时，函数f(x)＝在R上递增，若a＞1或a＜0时，‎ 由图象知y＝f(x)－b存在b使之有两个零点，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．‎ 答案　(－∞，0)∪(1，＋∞)‎ ‎【规律方法】‎ ‎(1)在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法． ‎ ‎(2)在解决不等式恒成立问题时，一种重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数． ‎ ‎(3)在解决不等式证明问题时，构造适当的函数，利用函数方法解题是近几年各省市高考的一个热点．用导数来解决不等式问题时，一般都要先根据欲证的不等式构造函数，然后借助导数研究函数的单调性情况，再结合在一些特殊点处的函数值得到欲证的不等式．‎ ‎【变式探究】设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取到极值．‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)若对于任意的x∈[0，3]都有f(x)0；‎ 当12时，f′(x)>0.‎ 所以此时1与2都是极值点，‎ 因此a＝－3，b＝4，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c.‎ ‎(2)由(1)知函数y＝f(x)在x＝1处取到极大值f(1)＝5＋8c，在x＝2处取到极小值f(2)＝4＋8c.‎ 因为f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，‎ 所以当x∈[0，3]时，函数y＝f(x)的最大值是f(3)＝9＋8c，所以要使对于任意的x∈[0，3]都有f(x)0，解得c<－1或c>9.‎ ‎(3)由(1)(2)知函数y＝f(x)在区间(－∞，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，‎ y＝f(x)在x＝1处取到极大值f(1)＝5＋8c，‎ 在x＝2处取到极小值f(2)＝4＋8c，f(1)>f(2)．‎ 所以要使方程f(x)＝c2有三个根，‎ 需要f(2)0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．‎ ‎【解析】因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)，由f(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2，0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.‎ ‎【答案】－8.‎ 高频考点七、用数形结合思想解决参数、代数式的最值、取值范围问题 例7、 (1)已知x，y满足条件＋＝1，求y－3x的最大值与最小值．‎ ‎(2)已知实数x，y满足不等式组求函数z＝的值域．‎ 思路点拨：(1)令b＝y－3x，即y＝3x＋b，视b为直线y＝3x＋b的截距，而直线与椭圆必有公共点，故相切时，b有最值．‎ ‎(2)此题可转化成过点(－1，－3)与不等式组表示区域的点的连线的斜率的范围．‎ ‎【解析】(1)令y－3x＝b，则y＝3x＋b，原问题转化为在椭圆＋＝1上找一点，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上有最大截距或最小截距．‎ 由图可知，当直线y＝3x＋b与椭圆＋＝1相切时，有最大或最小的截距．‎ 将y＝3x＋b代入＋＝1，‎ 得169x2＋96bx＋16b2－400＝0，‎ 令Δ＝0，解得b＝±13. ‎ 故y－3x的最大值为13，最小值为－13.‎ ‎(2)由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x2＋y2＝4的右半圆域(含边界)， z＝可改写为y＋3＝‎ z(x＋1)，‎ 把z看作参数，则此方程表示过定点P(－1，－3)，斜率为z 的直线系．‎ 那么所求问题的几何意义是：求过半圆域x2＋y2≤4(x≥0)内或边界上任一点与过点P(－1，－3)的直线斜率的最大、最小值．‎ 由图显见，过点P和点A(0，2)的直线斜率最大，‎ zmax＝＝5.‎ 过点P向半圆作切线，切线的斜率最小．‎ 设切点为B(a，b)，则过点B的切线方程为ax＋by＝4.又B在半圆周上，P在切线上，则有又a＞0，‎ 解得因此zmin＝.‎ 综上可知函数的值域为.‎ 误区警示：此题很容易犯的错误是由z＝得到点(－1，－3)的坐标时，很容易写成(1，3)，所以做题时要看清顺序．‎ ‎【规律方法】‎ 如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：‎ ‎(1)y＝kx＋b中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距．‎ ‎(2)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率．‎ ‎(3)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离．‎ ‎(4)导函数f′(x0)表示曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率．‎ 只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．‎ ‎【变式探究】已知x，y满足条件＋＝1，求5x＋4y的最大值与最小值．‎ 高频考点八、数形结合思想在立体几何中的应用 例8、如图所示，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ.‎ ‎(1)求证：平面VAB⊥平面VCD；‎ ‎(2)当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．‎ 思路点拨：以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直线坐标系，用空间向量的坐标运算来证明面面垂直，及将线面角正弦值表示角θ的函数；再利用函数思想求解．‎ ‎【解析】(1)以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直线坐标系．‎ 则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D，V.‎ 于是，＝，[来源:Z+xx+k.Com]‎ ＝，＝(－a，a，0)．‎ 从而·＝(－a，a，0)·＝－a2＋a2＋0＝0，‎ 同理·＝(－a，a，0)·＝－a2＋a2＋0＝0，‎ 即AB⊥VD.又CD∩VD＝D，‎ ‎∴AB⊥平面VCD.‎ 又AB平面VAB.‎ ‎∴平面VAB⊥平面VCD.‎ ‎(2)设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则得 可取n＝，‎ 又∵＝(0，－a，0)，‎ 于是sin φ＝|cos〈n，〉|＝＝‎ ＝|sin θ|.‎ ‎∵0＜θ＜，‎ ‎∴0＜sin θ＜1，0＜sin φ＜.‎ 又∵0≤φ≤，∴0＜φ＜.‎ 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为.‎ ‎【规律方法】‎ ‎(1)应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置．其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算． ‎ ‎(2)解析几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口．‎ ‎【变式探究】学-科网 如图，‎ 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.‎ ‎(1)试确定m，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；‎ ‎(2)在线段A1C1上是否存在一定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并证明你的结论．‎ ‎【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)．‎ 所以＝(－1，－1，0)，‎ ＝(0，0，1)，‎ ＝(－1，1，m)，‎ ＝(－1，1，0)．‎ 又由·＝0，·＝0，知为平面BB1D1D的一个法向量．‎ 设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，则 sin θ＝cos＝＝.‎ 依题意有＝，‎ 解得m＝.‎ 故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.‎ ‎(2)若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则Q(x，1－x，1)，＝(x，1－x，0)．‎ 依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于 D1Q⊥AP·＝0－x＋(1－x)＝0x＝.‎ 即Q为A1C1的中点时，满足题设要求．‎ ‎【感悟提升】‎ ‎1．数形结合是解决许多数学问题的重要方法，它可以将抽象数学问题具体化、准确化、形象化．我们用好数形结合可以使我们更深入准确的理解数学问题．‎ ‎2．数形结合主要应用于：函数、三角、集合、立体几何、解几、向量、不等式等．‎ ‎3．是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题为最终目的．‎ 高频考点九、数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用 例9、若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为________．‎ ‎【解析】当x＝0时，显然是方程的一个实数解；‎ 当x≠0时，方程＝kx2可化为 ＝(x＋4)|x|(x≠－4)，‎ 设f(x)＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，y＝，原题可以转化为两函数有三个非零交点．‎ 则f(x)＝(x＋4)|x|＝的大致图象如图所示，‎ 由图，易得0<<4，‎ 解得k>.‎ 所以k的取值范围为.‎ ‎【答案】 ‎【感悟提升】‎ 用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．‎ ‎【变式探究】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为________．‎ ‎【解析】因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2.‎ 又当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|cos πx|的图象如图所示．‎ 由图象知关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的实数解有7个．‎ 不妨设x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，‎ 则由图得x1＋x2＝－4，x3＋x5＝－2，x4＝－1，x6＋x7＝0，‎ 所以方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.‎ ‎【答案】－7‎ 高频考点十 数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用 例10、设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(0,1)　 　 　B．(－1,0)∪(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】设y＝g(x)＝(x≠0)，‎ 则g′(x)＝，‎ 当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，‎ ‎∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.‎ ‎∵f(x)为奇函数，‎ ‎∴g(x)为偶函数，‎ ‎∴g(x)的图象的示意图如图所示．‎ 当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知00，得g(x)<0，由图知x<－1，‎ ‎∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．‎ ‎【感悟提升】‎ ‎(1)本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f(－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x的取值范围．‎ ‎(2)求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．‎ ‎【变式探究】‎ 设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是________．‎ ‎【解析】集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有＝1，又m＞0，所以m＝－1，故m的取值范围是[－1，＋∞)．‎ ‎【答案】 高频考点十一 数形结合思想在解析几何中的应用 例11、设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为(　　)‎ A． B． C．2 D． ‎【解析】如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|＝2|OQ|＝2A．又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4A．在Rt△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2⇒4a2＋16a2＝20a2＝4c2⇒e＝＝.‎ ‎【答案】D　‎ ‎【感悟提升】‎ ‎(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．‎ ‎(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．‎ ‎【变式探究】已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．‎ ‎【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，‎ 如图，设抛物线的准线为l，‎ 过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，‎ 由抛物线的定义可知△APF的周长为 ‎|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，‎ 当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.‎ 因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，‎ 代入x2＝8y，得y0＝，‎ 故使△APF的周长最小的点P的坐标为.‎ ‎【答案】 ‎【总结升华】运用数形结合思想分析解决问题的3个原则 ‎(1)等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．‎ ‎(2)双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．‎ ‎(3)简单性原则 找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．　　　　 ‎ 高频考点十二、根据数学的概念分类讨论 例12、(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.‎ ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，则 解得 则a8＝a1q7＝×27＝32.‎ ‎【答案】32‎ ‎【变式探究】设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．‎ 思路点拨：先利用0＜x＜1确定1－x与1＋x的范围，再利用绝对值及对数函数的概念分类讨论两式差与0的大小关系，从而比较出大小．‎ ‎②当a＞1时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0.‎ 所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|‎ ‎＝－loga(1－x)－loga(1＋x)‎ ‎＝－loga(1－x2)＞0.‎ 由①②可知，|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.‎ ‎【规律方法】‎ 本题是由对数函数的概念内涵引起的分类讨论，我们称为概念分类型．由概念内涵引起的分类还有很多：如绝对值|a|分a＞0，a＝0，a＜0三种情况；直线的斜率分倾斜角θ≠90°，斜率k存在，倾斜角θ＝90°，斜率不存在；指数、对数函数[y＝ax(a＞0且a≠1)与y＝logax(a＞0且a≠1)]可分为a＞1，0＜a＜1两种类型；直线的截距式分直线过原点时[为y＝kx]，不过原点时等．‎ 高频考点十三、根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论 例13、一条直线过点(5,2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为(　　)‎ A．x＋y－7＝0‎ B．2x－5y＝0‎ C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0‎ D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，则求得a＝7，直线方程为x＋y－7＝0.‎ ‎【变式探究】在等差数列{an}中，a1＝1，满足a2n＝2an，n＝1，2，…‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝anpan(p＞0)，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 思路点拨：(1)由a2n＝2an，n＝1，2，…求出公差d，即得{an}的通项公式．‎ ‎(2)先求{bn}的通项公式，然后用错位相减可求Tn，但由于公比q不确定，故用等比数列前n项和公式求Tn时要分类讨论．‎ ‎【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 由a2n＝2an得a2＝2a1＝2，所以d＝a2－a1＝1.‎ 又a2n＝an＋nd＝an＋n＝2an，‎ 所以an＝n.‎ ‎(2)由bn＝anpan得bn＝npn，‎ 所以Tn＝p＋2p2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1＋npn.①‎ 当p＝1时，Tn＝.‎ 当p≠1时，pTn＝p2＋2p3＋…＋(n－1)pn＋npn＋1，②‎ ‎①－②得，(1－p)Tn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－npn＋1＝－npn＋1，‎ ‎∴Tn＝－.‎ 综上所述，Tn＝ ‎【规律方法】‎ ‎(1)一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理，等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论． ‎ ‎(2)分类讨论的有些问题是由运算的需要引发的．比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题；差值比较中的差的正负的讨论；有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等．‎ 高频考点十四、根据字母的取值情况分类讨论 例14、已知函数f(x)＝2x3－3x.‎ ‎(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；‎ ‎(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；‎ ‎(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切(只需写出结论)?‎ ‎【解析】(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝，因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1，‎ 所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f＝.‎ ‎(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，[来源:Z*xx*k.Com]‎ 则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，‎ 因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)，整理得：4x－6x＋t＋3＝0，‎ 设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”，g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，g(x)与g′(x)的情况如下：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎(0，1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ g′(x)[来源:Zxxk.Com]‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎ ‎↗ t＋3‎ ↘‎ t＋1‎ ‎↗ 所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值，‎ 当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点，‎ 当g(1)＝t＋1≥0，t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点． ‎ 当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，‎ 所以g(x)分别为区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点． ‎ 综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．‎ ‎ (3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切； ‎ 过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切； ‎ 过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．‎ ‎【规律方法】‎ 题目中含有参数的问题(含参型)，主要包括：含有参数的不等式的求解；含有参数的方程的求解；对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题；二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论．讨论时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想．‎ 高频考点十五、根据图形位置或形状变动分类讨论 例15、设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求的值．‎ ‎【解析】①若∠PF2F1＝90°.‎ 则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，‎ 又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，‎ 解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.‎ ‎②若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，‎ ‎∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，‎ ‎∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴＝2.‎ 综上知，＝或2.‎ ‎【感悟提升】‎ ‎(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．‎ ‎(2)破解此类题的关键点：‎ ‎①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．‎ ‎②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．‎ ‎③得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．‎ ‎【变式探究】‎ 长方形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝8，在BC边上取一点P，使|BP|＝t，线段AP的垂直平分线与长方形的边的交点为Q，R时，用t表示|QR|.‎ 思路点拨：建立平面直角坐标系，设法求出点Q，R的坐标，利用两点间的距离公式建模．‎ ‎【解析】如图所示，分别以BC，AB所在的边为x，y轴建立平面直角坐标系．‎ ‎∵kAP＝－，‎ ‎∴kQR＝.‎ 又AP的中点的坐标为，‎ ‎∴QR所在的直线方程为y－2＝.①‎ 由于t的取值范围的不同会导致Q，R落在长方形ABCD的不同边上，故需分类讨论： ‎ 当|PD|＝|AD|＝8时，‎ 易知|PC|＝＝4.‎ ‎∴当0≤t≤8－4时，Q，R两点分别在AB，CD上，对方程①，分别令x＝0和x＝8，‎ 可得Q，R，‎ 这时|QR|＝2；当8－4＜t≤4时，Q，R两点分别在AB，AD上，对方程①，分别令x＝0和y＝4，‎ 可得Q，R，‎ 这时|QR|＝ ；‎ 当4＜t≤8时，Q，R两点分别在BC，AD上，‎ 对方程①分别令y＝0和y＝4，‎ 可得Q，R，‎ 这时|QR|＝.‎ 综上所述：当0≤t≤8－4时，|QR|＝2；‎ 当8－4＜t≤4时，|QR|＝ ；‎ 当4＜t≤8时，|QR|＝.‎ ‎【规律方法】‎ 一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等．‎ 高频考点十六 由参数变化引起的分类讨论 例16、设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R，求f(x)的单调区间．‎ ‎【解析】由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－A．‎ 下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x ‎)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．‎ ‎②当a＞0时，令f′(x)＝0，‎ 解得x＝或x＝－.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎（－∞，－）‎ ‎－ ‎（－，）‎ ‎（，＋∞）‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以f(x)的单调递减区间为－，，单调递增区间为－∞，－，，＋∞.‎ ‎【感悟提升】‎ ‎(1)本题研究函数性质对参数a进行分类讨论，分为a≤0和a>0两种情况．‎ ‎(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏．‎ ‎【变式探究】(2017·山东高考)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，‎ 解得a＝或a＝0(舍去)．‎ ‎∴f ＝f(4)＝2×(4－1)＝6.‎ 当a≥1时，a＋1≥2，‎ ‎∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，‎ ‎∴2(a－1)＝2a，无解．‎ 综上，f＝6.‎ ‎【总结升华】‎ ‎1．分类讨论的原则 ‎(1)不重不漏；‎ ‎(2)标准要统一，层次要分明；‎ ‎(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．‎ ‎2．分类讨论的本质与思维流程 ‎(1)分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．‎ ‎(2)分类讨论的思维流程：‎ 明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．‎ 高频考点十七、 数列问题化归为函数问题解决 例17、某厂2017年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1月份投入资金建设恰好与1月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，则全年总利润M与全年总投入N的大小关系是(　　)‎ A．M>N　　　　　　　　B．M