【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(7) 8页

‎(六十四)‎ ‎1．已知对任意k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(0，1)　　　　　　　　 B．(0，5)‎ C．[1，5)∪(5，＋∞) D．[1，5)‎ 思路　该题有两种解题思路，一是根据直线和圆锥曲线位置关系的讨论方法，由直线方程和椭圆方程联立组成的方程组必有解，通过消元，进一步转化为方程恒有解的问题，利用判别式Δ≥0求解参数的取值范围；二是由直线系方程得到直线所过的定点，由直线和椭圆恒有公共点可得，定点在椭圆上或在椭圆内，这样便可得到关于参数m的不等式，解之即可．‎ 答案　C 解析　方法一：由椭圆的方程，可知m>0，且m≠5.‎ 将直线与椭圆的方程联立方程组，得由①，得y＝kx＋1.‎ 代入②，得＋＝1.‎ 整理，得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.‎ 因为直线与椭圆恒有公共点，故Δ＝(10k)2－4×(5k2＋m)×5(1－m)＝20(5k2m－m＋m2)≥0.‎ 因为m>0，所以不等式等价于5k2－1＋m≥0，即k2≥，由题意，可知不等式恒成立，则≤0，解得m≥1.‎ 综上m的取值范围为m≥1且m≠5.‎ 方法二：因为直线y－kx－1＝0过定点P(0，1)，‎ 要使直线和椭圆恒有公共点，则该点在椭圆上或椭圆内，即＋≤1，整理，得≤1，解得m≥1.‎ 又方程＋＝1表示椭圆，所以m>0且m≠5.‎ 综上m的取值范围为m≥1且m≠5.‎ ‎2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则E的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 答案　D 解析　kAB＝＝，kOM＝－1，由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎3．(2019·南昌二模)已知椭圆C：＋x2＝1，过点P(，)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)‎ A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0‎ C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0‎ 答案　B 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，所以两式相减得＋x12－x22＝0，得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点P(，)平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得＋x1－x2＝0，得＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－＝－9(x－)，即9x＋y－5＝0.‎ ‎4．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是(　　)‎ A．3 B. C．2 D. 答案　D 解析　设椭圆＋＝1上的点P(4cosθ，2sinθ)，则点P到直线x＋2y－＝0的距离为d＝＝，∴dmax＝＝.‎ ‎5．(2019·广东梅州阶段测评)已知椭圆E：＋＝1的一个顶点C(0，－2)，直线l与椭圆E交于A，B两点，若E的左焦点F1为△ABC的重心，则直线l的方程为(　　)‎ A．6x－5y－14＝0 B．6x－5y＋14＝0‎ C．6x＋5y＋14＝0 D．6x＋5y－14＝0‎ 答案　B 解析　由题意知F1(－1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则∴①‎ 设M为AB的中点，则M(－，1)．‎ 由作差得＋＝0，‎ 将①代入上式得＝.‎ 即k＝，由点斜式，得直线方程为y－1＝(x＋)，即6x－5y＋14＝0.‎ ‎6．(2019·江西南昌一模)椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax12＋by12＝1，ax22＋by22＝1，‎ 即ax12－ax22＝－(by12－by22)，则＝－1，＝－1，‎ ‎∴×(－1)×＝－1，∴＝，故选B.‎ 方法二：由消去y，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，‎ 可得AB中点P的坐标为(，)，∴kOP＝＝，∴＝.‎ ‎7．(2017·课标全国Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　∵点A1，A2是椭圆的左、右顶点，∴|A1A2|＝2a，∴以线段A1A2为直径的圆可表示为x2＋y2＝a2，该圆的圆心为(0，0)，半径为a.又∵该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，‎ ‎∴圆心(0，0)到直线bx－ay＋2ab＝0的距离等于半径，‎ 即＝a，整理得a2＝3b2.‎ 又∵在椭圆中，a2＝b2＋c2，∴e＝＝＝，故选A.‎ ‎8．(2019·山西八校联考)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝4，所以c＝3.‎ 故椭圆左、右焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)．‎ 由△ABF2的内切圆周长为π，可得内切圆的半径为r＝.‎ ‎△ABF2的面积＝△AF1F2的面积＋△BF1F2的面积＝×|y1|×|F1F2|＋×|y2|×|F1F2|＝×(|y1|＋|y2|)×|F1F2|＝3|y1－y2|(A，B在x轴的上下两侧)，‎ 又△ABF2的面积＝×r(|AB|＋|BF2|＋|F2A|)＝×(2a＋2a)＝a＝5，所以3|y1－y2|＝5，即|y1－y2|＝.‎ ‎9．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆在其上一点A(x0，y0)处的切线方程为＋＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，其焦距为2，且过点(1，)，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 答案　B 解析　由题意可得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，将点(1，)代入椭圆方程，可得＋＝1，解得a＝，b＝1，即椭圆的方程为＋y2＝1，设B(x2，y2)，则椭圆C1在点B处的切线方程为 eq f(x2,2)x＋y2y＝1，令x＝0，得yD＝，令y＝0，可得xC＝，所以S△OCD＝··＝，又点B为椭圆在第一象限上的点，所以x2>0，y2>0，＋y22＝1，即有＝＝＋≥2＝，即S△OCD≥，当且仅当＝y22＝，即点B的坐标为(1，)时，△OCD面积取得最小值，故选B.‎ ‎10．直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．‎ 答案　－ 解析　由点差法可求出k1＝－·，∴k1·＝－，即k1k2＝－.‎ ‎11．(2019·河北唐山期末)设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为________．‎ 答案　＋＝1‎ 解析　由△F2AB是面积为4的等边三角形知AB垂直x轴，得＝×2c，×2c×＝4，a2＝b2＋c2，解得a2＝9，b2＝6，c2＝3.所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎12．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．‎ 答案　－1‎ 解析　由直线y＝(x＋c)知其倾斜角为60°，‎ 由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.‎ 故|MF1|＝c，|MF2|＝c.‎ 又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(＋1)c＝2a.‎ 即e＝＝－1.‎ ‎13．已知椭圆＋＝1(01)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．‎ 答案　5‎ 解析　由题意知A，B，P三点共线．①当AB所在直线斜率不存在时，点B的横坐标为0，显然此时点B的横坐标的绝对值不是最大值．②当AB所在直线斜率存在时，设斜率为k，则直线AB的方程y＝kx＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立消去y，得(1＋4k2)x2＋8kx＋4－4m＝0，‎ 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.①‎ 又＝2，即x1＝－2x2.②‎ 将②代入①得，x2＝，x22＝，‎ 两式相除，整理得kx2＝.由x22＝得2m－2＝x22＋4(kx2)2＝x22＋，∴x22＝2m－2－＝－(m2－10m＋9)＝－(m－5)2＋4.‎ 即当m＝5时，x22有最大值4，此时点B横坐标的绝对值最大．‎ ‎15．已知椭圆C：＋＝1，过椭圆C上一点P(1，)作倾斜角互补的两条直线PA，PB，分别交椭圆C于A，B两点，求直线AB的斜率．‎ 答案　 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设PA的方程为y－＝k(x－1)，代入椭圆方程化简得(k2＋2)x2－2k(k－)x＋k2－2k－2＝0，显然1和x1是这个方程的两解．因此x1＝，y1＝，由－k代替x1，y1中的k，得x2＝，y2＝，所以＝.‎ ‎16．(2019·陕西西安模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.‎ ‎(1)若e＝，求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，‎ 若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且b>0)，‎ 由题意可得解得 故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)直线OP的方程为y＝x，设直线AB的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋mx＋m2－1＝0，由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m2<4，由OA⊥OB，得·＝0，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)‎ ‎＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝(m2－1)＋m·(－m)＋m2＝m2－＝0，得m2＝.‎ 又|AB|＝＝·，‎ O到直线AB的距离d＝＝.所以S△AOB＝|AB|·d＝×××＝.‎