【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第3章第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式作业 6页

对应学生用书[练案 21 理][练案 20 文] 第二讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 A 组基础巩固 一、选择题 1．tan 390°＝(　C　) A．－ 3　 B． 3　 C． 3 3 　 D．－ 3 3 [解析]　tan 390°＝tan (360°＋30°)＝tan 30°＝ 3 3 . 2．(2020·新疆普通高中学业水平考试)已知 x∈(－ π 2，0)，cos x＝ 4 5，则 tan x 的值为 (　B　) A．3 4　 B．－3 4　 C．4 3　 D．－4 3 [解析]　因为 x∈(－π 2，0)，所以 sin x＝－ 1－cos2x＝－3 5，所以 tan x＝sin x cos x＝－3 4.故 选 B． 3．(2020·福建泉州第一次检测)已知 α 为第二象限角，则 2sin α 1－cos2α ＋ 1－sin2α cos α 的值是 (　B　) A．－1　 B．1　 C．－3　 D．3 [解析]　∵α 为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴ 2sin α 1－cos2α ＋ 1－sin2α cos α ＝2sin α |sin α|＋|cos α| cos α ＝2sin α sin α ＋ －cos α cos α ＝1.选 B． 4．(2019·贵州贵阳十二中期中)已知 sin α 1＋cos α＝－2 3，则 sin α 1－cos α的值是(　D　) A．2 3　 B．－2 3 C．3 2　 D．－3 2 [解析]　∵ sin α 1＋cos α× sin α 1－cos α＝ sin2α 1－cos2α＝sin2α sin2α＝1， ∴ sin α 1－cos α＝－3 2，故选 D． 5．(2019·湖北宜昌联考)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的终边经过点 P(3,4)，则 sin (α－ 2 017π 2 )＝(　B　) A．－4 5　 B．－3 5　 C．3 5　 D．4 5 [解析]　角 α 的终边经过点 P(3,4)，根据三角函数的定义得到 sin α＝4 5，cos α＝3 5，所以 sin (α－2 017π 2 )＝－sin (α－2 017π 2 ＋2 018π 2 )＝－sin (α＋π 2)＝－cos α＝－3 5.故选 B． 6．(文)已知 tan θ＝2，则 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝(　D　) A．－4 3　 B．5 4　 C．－3 4　 D．4 5 (理)(2016·全国Ⅲ)若 tan α＝3 4，则 cos2α＋2sin 2α＝(　A　) A．64 25　 B．48 25　 C．1　 D．16 25 [解析]　(文)sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ ＝sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ sin2θ＋cos2θ ＝tan2θ＋tan θ－2 tan2θ＋1 ＝4＋2－2 4＋1 ＝4 5.故选 D． (理)cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋4sin αcos α sin2α＋cos2α ＝4tan α＋1 tan2α＋1 ＝64 25，故选 A． 7．已知 cos (θ＋π 2)＝4 5，－π 2<θ<π 2，则 sin 2θ 的值等于(　A　) A．－24 25　 B．24 25　 C．－12 25　 D．12 25 [解析]　由 cos (θ＋π 2)＝4 5，－π 2<θ<π 2，得 sin θ＝－4 5，cos θ＝3 5，则 sin 2θ＝2sin θcos θ＝－ 24 25.故选 A． 8．已知 sin θ＝m－3 m＋5，cos θ＝4－2m m＋5 ，其中 θ∈[π 2，π]，则下列结论正确的是(　D　) A．m≤－5　 B．3≤m<5 C．m＝0 或 m＝8　 D．m＝8 [解析]　因为 θ∈[π 2，π]，所以 sin θ＝m－3 m＋5≥0　①，cos θ＝4－2m m＋5 ≤0　②，且(m－3 m＋5)2＋ (4－2m m＋5 )2＝1，整理得m2－6m＋9＋16－16m＋4m2 (m＋5)2 ＝1，即 5m2－22m＋25＝m 2＋10m＋25， 即 4m(m－8)＝0，解得 m＝0 或 m＝8，又 m＝0 不满足①②两式，m＝8 满足①②两式，故 m ＝8.故选 D． 9．(2020·广西玉林月考)设 f(x)＝asin (πx＋α)＋bcos (πx＋β)，其中 a，b，α，β 都是实数， 若 f(2 019)＝－1，那么 f(2 020)＝(　A　) A．1　 B．2　 C．0　 D．－1 [解析]　由 f(2 019)＝asin (2 019π＋α)＋bcos (2 019π＋β)＝－asin α－bcos β＝－1，f(2 020)＝asin (2 020π＋α)＋bcos (2 020π＋β)＝asin α＋bcos β＝1.故选 A． 10．(2019·山东日照模拟)已知倾斜角为 θ 的直线 l 与直线 x＋2y－3＝0 垂直，则 sin 2θ 的值为(　B　) A．3 5　 B．4 5　 C．1 5　 D．－1 5 [解析]　由已知得 tan θ＝2，所以 sin 2θ＝2sin θcos θ＝ 2sin θcos θ sin2θ＋cos2θ＝ 2tan θ tan2θ＋1＝4 5. 二、填空题 11．(2019·广西玉林模拟)化简：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝1 . [解析]　(1＋tan2α)(1－sin2α)＝(1＋sin2α cos2α)·cos2α＝cos2α＋sin2α cos2α ·cos2α＝1. 12．(2019·山东枣庄调研二)已知 α 是第二象限角，cos (π 2－α)＝4 5，则 tan α＝－4 3　. [解析]　∵cos (π 2－α)＝4 5，∴sin α＝4 5，又 α 为第二象限角，∴cos α＝－ 1－sin2α＝－ 3 5， ∴tan α＝sin α cos α＝－4 3. 13．(2019·江西九江一中月考)已知 cos ( π 6－α)＝ 3 3 ，则 cos (5π 6 ＋α)－sin 2(α－π 6)＝－ 2＋ 3 3 　. [解析]　cos (5π 6 ＋α)－sin2(α－π 6)＝cos [π－(π 6－α)]－sin2(π 6－α)＝－cos (π 6－α)－sin2(π 6－α) ＝cos2(π 6－α)－cos (π 6－α)－1＝－2＋ 3 3 . 14．(2020·山西太原一中月考)已知 sin (3π＋α)＝2sin (3π 2 ＋α)，则 sin α－4cos α 5sin α＋2cos α的值为－ 1 6　. [解析]　∵sin (3π＋α)＝2sin (3π 2 ＋α)，∴－sin α＝－2cos α，即 sin α＝2cos α，∴tan α＝ 2，∴ sin α－4cos α 5sin α＋2cos α＝ tan α－4 5tan α＋2＝－1 6. B 组能力提升 1．(2019·重庆一中月考)已知 α∈(3π 2 ，2π)，且满足 cos (α＋2 017π 2 )＝3 5，则 sin α＋cos α ＝(　C　) A．－7 5　 B．－1 5　 C．1 5　 D．7 5 [解析]　因为 cos (α＋2 017π 2 )＝cos (α＋1 008π＋π 2)＝－sin α＝3 5，所以 sin α＝－3 5.又 α∈ (3π 2 ，2π)，所以 cos α＝ 1－sin2α＝4 5，则 sin α＋cos α＝－3 5＋4 5＝1 5，故选 C． 2．(2019·湖北武汉部分重点中学第一次联考)已知角 θ 与角 φ 的终边关于直线 y＝x 对称， 且 θ＝－π 3，则 sin φ＝(　D　) A．－ 3 2 　 B． 3 2 　 C．－1 2　 D．1 2 [解析]　因为角 θ 与角 φ 的终边关于直线 y＝x 对称，所以 θ＋φ＝2kπ＋π 2(k∈Z)，又 θ＝ －π 3，所以 φ＝2kπ＋5π 6 (k∈Z)．于是 sin φ＝sin (2kπ＋5π 6 )＝sin 5π 6 ＝sin π 6＝1 2.故选 D． 3．(文)(2019·雅安模拟)已知 sin α＋ 2cos α＝ 3，则 tan α＝(　A　) A． 2 2 　 B． 2　 C．－ 2 2 　 D．－ 2 (理)(2020·辽宁沈阳模拟)若1＋cos α sin α ＝2，则 cos α－3sin α＝(　C　) A．－3　 B．3　 C．－9 5　 D．9 5 [解析]　(文)∵sin α＋ 2cos α＝ 3， ∴(sin α＋ 2cos α)2＝3， ∴sin2α＋2 2sin αcos α＋2cos2α＝3， ∴sin2α＋2 2sin αcos α＋2cos2α sin2α＋cos2α ＝3， ∴tan2α＋2 2tan α＋2 tan2α＋1 ＝3. ∴2tan2α－2 2tan α＋1＝0， 即( 2tan α－1)2＝0，∴tan α＝ 2 2 . (理)∵1＋cos α sin α ＝2，∴cos α＝2sin α－1，又 sin 2α＋cos2α＝1，∴sin 2α＋(2sin α－1) 2＝ 1,5sin2α－4sin α＝0，解得 sin α＝4 5或 sin α＝0(舍去)，∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－9 5.故选 C． 4．(2016·课标全国Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且 sin (θ＋π 4)＝3 5，则 tan (θ－π 4)＝－4 3　. [解析]　sin (θ＋π 4)＝sin [π 2＋(θ－π 4)]＝cos (θ－π 4)＝3 5. 又 θ 是第四象限角，∴－π 2＋2kπ<θ<2kπ(k∈Z)， ∴－3π 4 ＋2kπ<θ－π 4<－π 4＋2kπ(k∈Z)， ∴sin (θ－π 4)＝－ 1－cos2(θ－π 4 )＝－4 5， ∴tan (θ－π 4)＝ sin (θ－π 4 ) cos (θ－π 4 ) ＝－4 3. 5．(文)(2020·山东济南月考)已知π 2<α<π，tan α－ 1 tan α＝－3 2. (1)求 tan α 的值； (2)求 cos (3π 2 ＋α)－cos (π－α) sin (π 2－α) 的值． (理)(2020·吉林长春月考)已知关于 x 的方程 2x 2－( 3＋1)x＋m＝0 的两个根为 sin θ 和 cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1) sin θ 1－ 1 tan θ ＋ cos θ 1－tan θ的值； (2)m 的值； (3)方程的两根及 θ 的值． [解析]　(文)(1)令 tan α＝x，则 x－1 x＝－3 2，2x2＋3x－2＝0， 解得 x＝1 2或 x＝－2，因为π 2<α<π， 所以 tan α<0，故 tan α＝－2. (2) cos (3π 2 ＋α)－cos (π－α) sin (π 2－α) ＝sin α＋cos α cos α ＝tan α＋1＝－2＋1＝－1. (理)(1)由已知得Error! 则 sin θ 1－ 1 tan θ ＋ cos θ 1－tan θ＝ sin2θ sin θ－cos θ＋ cos2θ cos θ－sin θ＝sin2θ－cos2θ sin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝ 3＋1 2 . (2)将①式两边平方得 1＋2sin θcos θ＝2＋ 3 2 . 所以 sin θcos θ＝ 3 4 . 由②式得m 2＝ 3 4 ，所以 m＝ 3 2 . (3)由(2)可知原方程变为 2x2－( 3＋1)x＋ 3 2 ＝0，解得 x1＝ 3 2 ，x2＝1 2. 所以Error!或Error! 又 θ∈(0,2π)，所以 θ＝π 3或 θ＝π 6.