【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第十章第三讲　抛物线作业 12页

第三讲　抛物线 ‎1.[2020福州质检]设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为该抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率为 - ‎3‎,则△PAF的面积为(　　)‎ A.2‎3‎ B.4‎3‎ C.8 D.8‎‎3‎ ‎2.[2020合肥市调研检测]设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F的坐标为(1,0).若该抛物线上两点A,B的横坐标之和为5,则弦AB的长的最大值为(　　)‎ A.8 B.7 C.6 D.5‎ ‎3.[2020长春市第一次质量监测]已知椭圆x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A,B(A在x轴上方)两点,则‎|AF|‎‎|BF|‎的值为(　　)‎ A.‎3‎ B.2 C.3 D.4‎ ‎4.[2019东北三省四市一模]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A,B两点,若AF,BF的中点在y轴上的射影分别为M,N,且|MN|=4‎3‎,则抛物线C的准线方程为(　　)‎ A.x= - 1 B.x= - 2 C.x= - ‎3‎‎2‎ D.x= - 3‎ ‎5.[2019湖南省邵阳市高三大联考]已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,|AF|·|BF|=8,则p=(　　)‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎6.[2019广东六校第一次联考]抛物线y=2x2上有一动弦AB,中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为(　　)‎ A.‎11‎‎8‎ B.‎5‎‎4‎ C.‎3‎‎2‎ D.1‎ ‎7.[2019安徽示范高中高三测试]设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的焦点到准线的距离为 (　　)‎ A.4或8 B.2或4 C.2或8 D.4或16‎ ‎8.[2020武汉高三测试]已知过点M(1,0)的直线AB与抛物线y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若OA,OB的斜率之和为1,则直线AB的方程为　　　　　　　　. ‎ ‎9.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知点A(0,1),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F,连接FA,与抛物线C相交于点M,延长FA,与抛物线C的准线相交于点N,若|FM|∶|MN|=1∶2,则实数a的值为　　　　. ‎ ‎10.[2019山西八校高三第一次联考]已知A是抛物线y2= - 4x上的动点,点A在y轴上的射影是点C,B是圆D:(x - 3)2+(y - 2)2=1上的动点,则|AB|+|AC|的最小值是　　　　. ‎ ‎11.[2019太原高三二模]已知直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)相交于两个不同的点A,B,点M是抛物线C在点A,B处的切线的交点.‎ ‎(1)若直线l经过抛物线C的焦点F,求证:FM⊥AB;‎ ‎(2)若点M的坐标为(2, - 2p),且|AB|=4‎10‎,求抛物线C的方程.‎ ‎12.[2019广东七校第二次联考]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)已知点P在抛物线C上且异于原点,点Q为直线x= - 1上的点,且FP⊥FQ,求直线PQ与抛物线C的交点个数,并说明理由.‎ ‎13.[2020绵阳高三模拟]已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A(1,0),直线FA与抛物线C交于点P(P在第一象限内),与其准线交于点Q,若PQ‎=‎‎2‎ FP,则点P到y轴的距离为(　　)‎ A.2‎2‎ - 1 B.2‎2‎ - 2 C.3‎2‎ - 1 D.3‎2‎ - 2‎ ‎14.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,P为抛物线C的准线l上一点,直线PF与抛物线C相交于M,N两点,若PF=3MF,则|MN|=(　　)‎ A.10 B.‎21‎‎2‎ C.‎32‎‎3‎ D.11‎ ‎15.[2019郑州市第二次质量预测]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过焦点F且与抛物线C交于A,B两点,且直线l不与x轴垂直,线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0),O为坐标原点,则S△AOB=(　　)‎ A.2‎2‎ B.‎3‎ C.‎6‎ D.3‎‎6‎ ‎16.[2019石家庄高三一模]已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点P为抛物线上异于原点的任意一点,若∠KPF的平分线与x轴交于点(m,0),则m的最大值为(　　)‎ A.3 - 2‎2‎ B.2‎3‎ - 3 C.2 - ‎3‎ D.2 - ‎‎2‎ ‎17.[2019福建五校第二次联考]已知以圆C:(x - 1)2+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于点A,点B是抛物线C2:x2=8y上任意一点,BM与直线y= - 2垂直,垂足为M,则|BM| - |AB|的最大值为(　　)‎ A.1 B.2 C. - 1 D.8‎ ‎18.[2019江西红色七校第一次联考]设抛物线y2=8x的焦点为F,过点M(4,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=4,则△BCF与△ACF的面积之比S‎△BCFS‎△ACF=(　　)‎ A.‎3‎‎4‎ B.‎4‎‎5‎ C.‎5‎‎6‎ D.‎‎2‎‎5‎ ‎19.[2019武汉市高三调研测试]如图10 - 3 - 1,抛物线E:x2=4y与圆M:x2+(y - 1)2=16交于A,B两点,点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N,则△PMN的周长的取值范围是(　　)‎ 图10 - 3 - 1‎ A.(6,12) B.(8,10) C.(6,10) D.(8,12)‎ ‎20.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]已知点E在y轴上,点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,直线EF与抛物线交于M,N两点,若点M为线段EF的中点,且|NF|=12,则p=　　　　. ‎ ‎21.[2020成都市高三摸底测试]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F作倾斜角为120°的直线与准线l相交于点A,线段AF与抛物线C相交于点B,且|AB|=‎4‎‎3‎,则抛物线C的标准方程为　　　　　. ‎ ‎22.[2020唐山市摸底考试]已知F为抛物线T:x2=4y的焦点,直线l:y=kx+2与T相交于A,B两点.‎ ‎(1)若k=1,求|FA|+|FB|的值;‎ ‎(2)点C( - 3, - 2),若∠CFA=∠CFB,求直线l的方程.‎ ‎23.[2020合肥市调研检测]已知抛物线E:y2=2px(p>2)的焦点为F,准线l与x轴交于点M,P(x0,4)为抛物线上一点,过P作PN⊥l,垂足为N,若四边形MFPN的周长为16.‎ ‎(1)求p的值;‎ ‎(2)过点M作直线交抛物线于点A,B,设直线FA,FB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值.‎ ‎24.[新角度题]已知抛物线Γ:y2=tx(t>0)的焦点为F,直线l与Γ交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点F在曲线C:(x - x1)(x - x2)+(y - y1)(y - y2)=0上.若线段AB的中点M与点F的距离为3,则点M到Γ的准线的距离的最大值为(　　)‎ A.18 B.6 C.3‎2‎ D.2‎‎2‎ ‎25.[2020山东省统考][双空题]直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与抛物线C交于A,B两点,则p=　　　　,‎1‎‎|AF|‎‎+‎‎1‎‎|BF|‎=　　　　. ‎ 第三讲　抛物线 ‎1.B　解法一　设准线与x轴交于点Q,因为直线AF的斜率为 - ‎3‎, |FQ|=2,所以∠AFQ=60°,|FA|=4,易知|PA|=|PF|,∠PAF=60°,所以△PAF是边长为4的等边三角形,所以△PAF的面积为‎3‎‎4‎×|FA|2=‎3‎‎4‎×42=4‎3‎.故选B.‎ 解法二　设准线与x轴交于点Q,P(m,n),因为直线AF的斜率为 - ‎3‎,|FQ|=2,所以∠AFQ=60°,|AQ|=2‎3‎,所以n=±2‎3‎,又n2=4m,所以m=3,‎ 则|PA|=4, 所以△PAF的面积为‎1‎‎2‎×|PA|×|n|=‎1‎‎2‎×4×2‎3‎=4‎3‎.故选B.‎ ‎2.B　因为抛物线的顶点为坐标原点,焦点为F(1,0),所以p‎2‎=1,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则由题意知x1+x2=5.连接AF,BF,则由抛物线的定义知|AF|=x1+p‎2‎=x1+1,|BF|=x2+p‎2‎=x2+1,则|AB|≤|AF|+|BF|=x1+x2+2=7,所以弦AB的长的最大值为7,故选B.‎ ‎【方法总结】　求解与抛物线焦点有关的最值问题时,通常将所涉及的距离进行转化,即可将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,或将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离.距离的最值问题通常要结合平面几何知识来求解,如两点之间线段最短等.‎ ‎ 3.C　设A(xA,yA),B(xB,yB),由题意知F(1,0),所以p‎2‎=1,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.过F且倾斜角为60°的直线的方程为y=‎3‎(x - 1),代入抛物线方程,得3x2 - 10x+3=0,解得xA=3,xB=‎1‎‎3‎.‎ 解法一　易得yA‎2‎=12,yB‎2‎‎=‎‎4‎‎3‎,所以‎|AF|‎‎|BF|‎‎=‎‎(3 - 1‎)‎‎2‎+12‎‎(‎1‎‎3‎ - 1‎)‎‎2‎+‎‎4‎‎3‎=3,故选C.‎ 解法二　由抛物线的定义,得|AF|=xA+p‎2‎=4,|BF|=xB+p‎2‎‎=‎‎4‎‎3‎,所以‎|AF|‎‎|BF|‎=3,故选C.‎ ‎ 4.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线C的焦点为(p‎2‎,0),知AF,BF的中点的纵坐标分别为y‎1‎‎2‎,y‎2‎‎2‎,则|MN|=|y‎2‎‎2‎‎ - ‎y‎1‎‎2‎|=‎1‎‎2‎|y2 - y1|=4‎3‎,所以|y2 - y1|=8‎3‎.由题意知直线AB的方程为y= - ‎3‎(x - p‎2‎),由y= - ‎3‎(x - p‎2‎),‎y‎2‎‎=2px消去x得y= - ‎3‎(y‎2‎‎2p‎ - ‎p‎2‎),即‎3‎y2+2py - ‎3‎p2=0,所以y1+y2= - ‎2‎‎3‎p,y1y2= - p2,由|y2 - y1|=8‎3‎,得‎(y‎2‎+y‎1‎)‎‎2‎ - 4y1y2=192,所以( - ‎2‎‎3‎p)2+4p2=192,解得p=6,则p‎2‎=3,所以抛物线C的准线方程为x= - 3,故选D.‎ ‎5.B　设直线方程为y=x - p‎2‎,与抛物线方程联立,消去x,得y2 - 2py - p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2= - p2,则|AF|·|BF|=‎2‎|y1|·‎2‎|y2|=8,所以p=2.故选B.‎ ‎6.A　由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),直线AB的方程为y=kx+b.由题意知y0≥b>0.由y=kx+b,‎y=2x‎2‎,‎消去y并整理得2x2 - kx - b=0,Δ=k2+8b>0,x1+x2=k‎2‎,x1x2= - b‎2‎,则|AB|=‎1+‎k‎2‎·k‎2‎‎4‎‎+2b,点M的纵坐标y0=y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎‎=x‎1‎‎2‎+x‎2‎‎2‎=‎k‎2‎‎4‎+b.因为弦AB的长为3,所以‎1+‎k‎2‎k‎2‎‎4‎‎+2b=3,即(1+k2)(k‎2‎‎4‎+2b)=9,故(1+4y0 - 4b)(y0+b)=9,即(1+4y0 - 4b)(4y0+4b)=36.由基本不等式得,(1+4y0 - 4b)+(4y0+4b)≥2‎(1+4y‎0‎ - 4b)(4y‎0‎+4b)‎=12(当且仅当b=‎1‎‎8‎,‎y‎0‎‎=‎‎11‎‎8‎时取等号),即1+8y0≥12,所以y0≥‎11‎‎8‎,所以点M的纵坐标的最小值为‎11‎‎8‎.故选A.‎ ‎7.C　易知抛物线C的焦点为F(p‎2‎,0),准线方程为x= - p‎2‎.如图D 10 - 3 - 3,设准线与x轴的交点为K,则|KF|=p.过点M作MP平行于x轴交准线于点P,则|MP|=|MF|=5.取MF的中点N,过点N作NQ平行于x轴交准线于点Q,交y轴于点A,则|NQ|=‎|MP|+|FK|‎‎2‎‎=‎5‎‎2‎+‎p‎2‎,|AN|=|NQ| - p‎2‎‎=‎5‎‎2‎=‎‎|MF|‎‎2‎,∴以MF为直径的圆与y轴相切,A为切点,A(0,2),∴N(‎5‎‎2‎,2),故M(5 - p‎2‎,4),把(5 - p‎2‎,4)代入抛物线方程,得 ‎16=2p(5 - p‎2‎),整理得p2 - 10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线C的焦点到准线的距离为2或8.故选C.‎ 图D 10 - 3 - 3‎ ‎【解题关键】　解决本题的关键是得出以MF为直径的圆与y轴相切这一结论.‎ ‎8.2x+y - 2=0　设A(x1,y1),B(x2,y2),∵直线AB过点M(1,0),∴可设直线AB的方程为x=ty+1.‎ 由y‎2‎‎=2x,‎x=ty+1,‎消去x得y2 - 2ty - 2=0,则y1+y2=2t,y1y2= - 2.又kOA=y‎1‎x‎1‎,kOB=y‎2‎x‎2‎,∴y‎1‎x‎1‎‎+‎y‎2‎x‎2‎=1,于是x2y1+x1y2=x1x2.‎ ‎∵x1=ty1+1,x2=ty2+1,∴(ty2+1)y1+(ty1+1)y2=(ty1+1)(ty2+1),‎ ‎∴2ty1y2+(y1+y2)=t2y1y2+t(y1+y2)+1,‎ ‎∴(t2 - 2t)y1y2+(t - 1)(y1+y2)+1=0,‎ ‎∴(t2 - 2t)( - 2)+(t - 1)·2t+1=0,∴2t= - 1,t= - ‎1‎‎2‎.‎ 故直线AB的方程为2x+y - 2=0.‎ ‎9.‎4‎‎3‎‎3‎　解法一　依题意得抛物线的焦点F的坐标为(a‎4‎,0),过M作抛物线的准线的垂线,垂足为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|.因为|FM|∶|MN|=1∶2,所以|KN|∶|KM|=‎3‎∶1,又kFN=‎0 - 1‎a‎4‎‎ - 0‎= - ‎4‎a,kFN= - ‎|KN|‎‎|KM|‎= - ‎3‎,所以 - ‎4‎a= - ‎3‎,解得a=‎4‎‎3‎‎3‎.‎ 解法二　设M(xM,yM),因为A(0,1),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F(a‎4‎,0),准线方程为x= - a‎4‎,所以直线AF的方程为4x+ay - a=0,所以N( - a‎4‎,2).因为|FM|∶|MN|=1∶2,所以|FM|=‎1‎‎3‎|FN|,所以xM=a‎12‎,yM=‎2‎‎3‎.因为点M(xM,yM)在抛物线上,所以‎4‎‎9‎‎=‎a‎2‎‎12‎,解得a=‎4‎‎3‎‎3‎.‎ ‎10.2‎5‎ - 2 　圆D:(x - 3)2+(y - 2)2=1的圆心为D(3,2),半径r=1.设抛物线y2= - 4x的焦点为F,则F( - 1,0),易知抛物线的准线方程为x=1.如图D 10 - 3 - 4,设点A在抛物线的准线上的射影为点H,连接CH,则A,C,H三点共线,则|AB|+|AC|=|AB|+|AH| - 1.连接AF,由抛物线的定义可知|AH|=|AF|,∴|AB|+|AC|=|AB|+|AF| - 1.易知当D,B,A,F四点共线时,|AB|+|AF|取得最小值,连接DF,则(|AB|+|AF|)min=|DF| - r=‎(3+1‎)‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎ - 1=2‎5‎ - 1,∴(|AB|+|AC|)min=2‎5‎ - 2.‎ 图D 10 - 3 - 4‎ ‎【素养落地】　试题的命制立足于圆与抛物线的几何性质,引导考生通过分析几何图形,依托“形”的直观得到数量关系,突出对数学运算、直观想象等核心素养的考查.‎ ‎11.设直线l的斜率为k,设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).‎ ‎(1)由题意可得F(0,p‎2‎).‎ ‎①当k≠0时,直线l:y=kx+p‎2‎,‎ 由y=kx+p‎2‎,‎x‎2‎‎=2py,‎得x2 - 2pkx - p2=0,∴‎x‎1‎‎+x‎2‎=2pk,‎x‎1‎x‎2‎‎= - p‎2‎,‎ 易得抛物线C在点A处的切线方程为y - y1=x‎1‎p(x - x1),即y=x‎1‎px - x‎1‎‎2‎‎2p,‎ 在点B处的切线方程为y=x‎2‎px - x‎2‎‎2‎‎2p.‎ 由y=x‎1‎px - x‎1‎‎2‎‎2p,‎y=x‎2‎px - x‎2‎‎2‎‎2p,‎得x=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=pk,‎y=x‎1‎x‎2‎‎2p= - p‎2‎,‎∴M(pk, - p‎2‎),‎ ‎∵kFM·kAB=‎ - p‎2‎ - ‎p‎2‎pk·k= - 1,∴FM⊥AB.‎ ‎②当k=0时,直线l:y=p‎2‎,M(0, - p‎2‎),∴FM⊥AB.‎ 综上,FM⊥AB.‎ ‎(2)由题意知k≠0,设直线l:y=kx+m,‎ 由y=kx+m,‎x‎2‎‎=2py,‎得x2 - 2pkx - 2pm=0,Δ=4p2k2+16p2>0,‎ ‎∴x‎1‎‎+x‎2‎=2pk,‎x‎1‎x‎2‎‎= - 2pm,‎易得抛物线C在点A处的切线方程为y - y1=x‎1‎p(x - x1),即y=x‎1‎px - x‎1‎‎2‎‎2p,‎ 在点B处的切线方程为y=x‎2‎px - x‎2‎‎2‎‎2p,由y=x‎1‎px - x‎1‎‎2‎‎2p,‎y=x‎2‎px - x‎2‎‎2‎‎2p,‎得x=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=pk=2,‎y=x‎1‎x‎2‎‎2p= - m= - 2p,‎ ‎∴|AB|=‎1+‎k‎2‎|x1 - x2|=‎1+‎k‎2‎‎4k‎2‎p‎2‎+8pm=4‎1+‎k‎2‎·‎1+‎p‎2‎=4‎(1+‎4‎p‎2‎)(1+p‎2‎)‎=4‎10‎,‎ 解得p=1或p=2,∴抛物线C的方程为x2=2y或x2=4y.‎ ‎12.(1)由题意知,抛物线C的准线方程为x= - p‎2‎,‎ 所以点E(2,t)到焦点F的距离为2+p‎2‎=3,解得p=2.‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)直线PQ与抛物线C只有一个交点.‎ 理由如下:‎ 设P(y‎0‎‎2‎‎4‎,y‎0‎),y0≠0,Q( - 1,m).‎ 由(1)得焦点F(1,0),‎ 则FP=(y‎0‎‎2‎‎4‎ - 1,y‎0‎),FQ=( - 2,m),由题意可得FP·FQ=0,‎ 故 - 2(y‎0‎‎2‎‎4‎ - 1)+my‎0‎=0,从而m=y‎0‎‎2‎‎ - 4‎‎2‎y‎0‎.‎ 故直线PQ的斜率kPQ=y‎0‎‎ - my‎0‎‎2‎‎4‎‎+1‎‎=‎‎2‎y‎0‎.‎ 故直线PQ的方程为y - y0=‎2‎y‎0‎(x - y‎0‎‎2‎‎4‎),得x=y‎0‎y‎2‎‎ - ‎y‎0‎‎2‎‎4‎　①.‎ 又抛物线C的方程为y2=4x　②,‎ 所以由①②得‎(y - y‎0‎)‎‎2‎=0,故y=y0,x=y‎0‎‎2‎‎4‎.‎ 故直线PQ与抛物线C只有一个交点.‎ ‎13.B　由题意知抛物线的焦点为F(0,p‎2‎),准线方程为y= - p‎2‎.设抛物线的准线与y轴交于点F1.如图D 10 - 3 - 5,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为P1,‎ 图D 10 - 3 - 5‎ 则|PF|=|PP1|,所以‎|QP|‎‎|FP|‎‎=‎|QP|‎‎|PP‎1‎|‎=‎‎2‎,所以∠PQP1=45°,所以直线FA的倾斜角为135°,所以kFA=p‎2‎‎ - 0‎‎0 - 1‎= - 1,解得p=2.又PP1∥FF1,所以‎|QP|‎‎|FQ|‎‎=‎|PP‎1‎|‎‎|FF‎1‎|‎=‎‎2‎‎2‎‎+1‎,即‎|PP‎1‎|‎‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎‎+1‎,解得|PP1|=4 - 2‎2‎.设P(x,y),则由抛物线的定义,知|PP1|=y+1=4 - 2‎2‎,所以y=3 - 2‎2‎,所以x2=4×(3 - 2‎2‎)=‎[2(‎2‎ - 1)]‎‎2‎,又点P在第一象限,所以x=2‎2‎ - 2,即点P到y轴的距离为2‎2‎ - 2,故选B.‎ ‎14.C　解法一　如图D 10 - 3 - 6,过点M作准线l的垂线,垂足为M',则|MM'|=|MF|.由已知得F(2,0),准线l的方程为x= - 2.‎ 图D 10 - 3 - 6‎ ‎ 因为PF=3MF,所以|MF|=|MM'|=‎1‎‎2‎|PM|,所以∠PMM'=60°,故直线PF的斜率为 - ‎3‎,所以直 线PF的方程为y= - ‎3‎x+2‎3‎.由y= - ‎3‎x+2‎3‎,‎y‎2‎‎=8x,‎消去y得3x2 - 20x+12=0,设M,N的横坐标分别为xM,xN,则xM+xN=‎20‎‎3‎,所以|MN|=xM+xN+p=‎20‎‎3‎+4=‎32‎‎3‎,故选C.‎ 解法二　由已知得F(2,0),设M(xM,yM),N(xN,yN),不妨设P( - 2,m)(m>0).‎ 因为PF=3MF,所以(4, - m)=3(2 - xM, - yM),所以xM=‎2‎‎3‎,yM=m‎3‎,因为点M在抛物线上,所以(m‎3‎)2=8×‎2‎‎3‎,解得m=4‎3‎,所以直线PF的斜率为 - ‎3‎,故直线PF的方程为y= - ‎3‎x+2‎3‎,由y= - ‎3‎x+2‎3‎,‎y‎2‎‎=8x,‎消去y得3x2 - 20x+12=0,所以|MN|=xM+xN+p=‎20‎‎3‎+4=‎32‎‎3‎,故选C.‎ ‎15.A　由题意知抛物线的焦点为F(1,0),设直线l:y=k(x - 1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由y=k(x - 1),‎y‎2‎‎=4x,‎消去y得k2x2 - (2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=2+‎4‎k‎2‎,x1x2=1,y1+y2=k(x1+x2) - 2k=2k+‎4‎k - 2k=‎4‎k,所以线段AB的中点为(1+‎2‎k‎2‎,‎2‎k),线段AB的垂直平分线的方程为y - ‎2‎k= - ‎1‎k(x - 1 - ‎2‎k‎2‎),因为线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0),所以0 - ‎2‎k= - ‎1‎k(5 - 1 - ‎2‎k‎2‎),解得k=±1,所以直线AB的方程为y=±(x - 1),即x - y - 1=0或x+y - 1=0,所以点O到直线AB的距离d=‎| - 1|‎‎1+1‎‎=‎‎2‎‎2‎,又|AB|=‎1+‎k‎2‎|x1 - x2|=‎1+1‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎ - 4‎x‎1‎x‎2‎‎=‎2‎×‎‎36 - 4‎=8,所以S△AOB=‎1‎‎2‎‎×‎‎2‎‎2‎×8=2‎2‎,故选A.‎ ‎16.A　由题意得F(1,0),K( - 1,0).由角平分线的性质可知,‎|PF|‎‎|PK|‎‎=‎1 - mm+1‎=‎‎2‎m+1‎ - 1.作PP'垂直于准线,垂足为P',则|PP'|=|PF|,∴‎|PP’ |‎‎|PK|‎ =‎2‎m+1‎ - 1,∴sin∠PKP'=‎|PP’ |‎‎|PK|‎‎=‎‎2‎m+1‎ - 1,又∠PKP'∈(0,π‎2‎),∴若m最大,则∠PKP'最小,∠PKF最大.易知当PK与抛物线相切时∠PKF最大,设此时lPK:y=k(x+1),由y=k(x+1),‎y‎2‎‎=4x,‎消去y得k2x2+(2k2 - 4)x+k2=0,Δ= - 16k2+16=0,∴k=±1,此时sin∠PKP' =‎2‎‎2‎‎=‎‎2‎m+1‎ - 1,解得m=3 - 2‎2‎.∴m的最大值为3 - 2‎2‎,故选A.‎ ‎17.A　易知抛物线C1的焦点为(1,0),所以抛物线C1的方程为y2=4x.由y‎2‎‎=4x,‎‎(x - 1‎)‎‎2‎+y‎2‎=4‎及点A位于第一象限可得点A(1,2).因为抛物线C2:x2=8y的焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y= - 2,所以由抛物线的定义得|BM|=|BF|.如图D 10 - 3 - 7,在平面直角坐标系中画出抛物线C2及相应的图形,可得|BM| - |AB|=|BF| - |AB|≤|AF|(当且仅当A,B,F三点共线,且点B在第一象限时,不等式取等号).故|BM| - |AB|的最大值为|AF|=1,故选A.‎ 图D 10 - 3 - 7‎ ‎【解题关键】　与抛物线的焦点或准线有关的最值问题,求解时一般先利用抛物线的定义将最值问题加以等价转化,再借助图形分析何时取得最值.‎ ‎18.D　由抛物线方程y2=8x,得焦点F的坐标为(2,0),准线方程为x= - 2.如图D 10 - 3 - 8,过点A,B分别作准线的垂线,垂足分别为E,N.设直线AB的方程为y=k(x - 4),则由y=k(x - 4),‎y‎2‎‎=8x,‎消去y并整理得k2x2 - (8k2+8)x+16k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=16.由抛物线的定义知 ‎|BF|=|BN|=x2+2=4,所以x2=2,所以x1=8,所以|AE|=x1+2=10.因为BN∥AE,所以S‎△BCFS‎△ACF‎=‎|BC|‎‎|AC|‎=‎|BN|‎‎|AE|‎=‎4‎‎10‎=‎‎2‎‎5‎,故选D.‎ 图D 10 - 3 - 8‎ ‎【规律总结】　抛物线中与焦点、准线有关的问题,一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化:(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,使问题得到解决.‎ ‎19.B　由题意可得抛物线E的焦点为(0,1),圆M的圆心为(0,1),半径为4,所以圆心M(0,1)为抛物线的焦点,故|NM|等于点N到准线y= - 1的距离,又PN∥y轴,故|PN|+|NM|等于点P到准线y= - 1的距离.由x‎2‎‎=4y,‎x‎2‎‎+‎(y - 1)‎‎2‎=16,‎得y=3,又点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,所以点P到准线y= - 1的距离的取值范围是(4,6),又|PM|=4,所以△PMN的周长的取值范围是(8,10),故选B.‎ ‎20.8　如图D 10 - 3 - 9,‎ 图D 10 - 3 - 9‎ 由题意知F(p‎2‎,0).∵M为线段EF的中点,∴点M的横坐标为p‎4‎.‎ 设直线EF的方程为y=k(x - p‎2‎),k≠0.‎ 由y=k(x - p‎2‎),‎y‎2‎‎=2px,‎ 得k2x2 - (k2p+2p)x+k‎2‎p‎2‎‎4‎=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x‎1‎‎+x‎2‎=k‎2‎p+2pk‎2‎,‎x‎1‎x‎2‎‎=p‎2‎‎4‎,‎ ‎∵x1=p‎4‎,∴x2=p,‎ 则y‎2‎‎2‎=2p2,∴N(p,±‎2‎p).∵|NF|2=(p - p‎2‎)2+(±‎2‎p)2,∴144=p‎2‎‎4‎+2p2,∴p2=64,∵p>0,∴p=8.‎ ‎21.y2=2x　如图D 10 - 3 - 10,设直线l与x轴交于点D,过点B作BE⊥l于点E,‎ 图D 10 - 3 - 10‎ 则|DF|=p.因为直线AF的倾斜角为120°,所以∠AFD=∠ABE=60°,所以∠EAB=30°.因为|AB|=‎4‎‎3‎,所以|BE|=‎1‎‎2‎|AB|=‎2‎‎3‎.由抛物线的定义知|BE|=|BF|,所以|AF|=|AB|+|BF|=|AB|+|BE|=2,所以|DF|=‎1‎‎2‎|AF|=1,即p=1,所以抛物线C的标准方程为y2=2x.‎ ‎22. 由已知可得F(0,1),设A(x1,x‎1‎‎2‎‎4‎),B(x2,x‎2‎‎2‎‎4‎),‎ 由y=kx+2,‎x‎2‎‎=4y,‎得x2 - 4kx - 8=0,‎ 所以x1+x2=4k,x1x2= - 8.‎ ‎(1)|FA|+|FB|=x‎1‎‎2‎‎4‎+1+x‎2‎‎2‎‎4‎+1=‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎ - 2‎x‎1‎x‎2‎‎4‎+2=4k2+6.‎ 当k=1时,|FA|+|FB|=10.‎ ‎(2)由题意可知,FA=(x1,x‎1‎‎2‎‎4‎ - 1),FB=(x2,x‎2‎‎2‎‎4‎ - 1),FC=( - 3, - 3).‎ 由∠CFA=∠CFB得cos=cos,即FA‎·‎FC‎|FA||FC|‎‎=‎FB‎·‎FC‎|FB||FC|‎,‎ 又|FA|=x‎1‎‎2‎‎4‎+1,|FB|=x‎2‎‎2‎‎4‎+1,‎ 所以‎ - 3x‎1‎ - 3(x‎1‎‎2‎‎4‎ - 1)‎‎3‎2‎(x‎1‎‎2‎‎4‎+1)‎‎=‎‎ - 3x‎2‎ - 3(x‎2‎‎2‎‎4‎ - 1)‎‎3‎2‎(x‎2‎‎2‎‎4‎+1)‎,化简并整理得4+2(x1+x2) - x1x2=0,即4+8k+8=0,‎ 解得k= - ‎3‎‎2‎,‎ 所以直线l的方程为3x+2y - 4=0.‎ ‎23. (1)∵点P(x0,4)在抛物线上,∴16=2px0　①.由四边形MFPN的周长为16得,p+4+2(x0+p‎2‎)=16,即x0+p=6　②.‎ 由①②可解得p=4或p=2.‎ ‎∵p>2,∴p=4.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my - 2,代入抛物线方程得y2=8(my - 2),得y2 - 8my+16=0.‎ 由Δ=64m2 - 64>0得,m2>1,且y‎1‎‎+y‎2‎=8m,‎y‎1‎y‎2‎‎=16,‎ ‎∴k1+k2=y‎1‎x‎1‎‎ - 2‎‎+y‎2‎x‎2‎‎ - 2‎=y‎1‎‎(my‎2‎ - 4)+y‎2‎(my‎1‎ - 4)‎‎(x‎1‎ - 2)(x‎2‎ - 2)‎=‎‎2my‎1‎y‎2‎ - 4(y‎1‎+y‎2‎)‎‎(x‎1‎ - 2)(x‎2‎ - 2)‎=0.‎ ‎24.C　因为点F在曲线C:(x - x1)(x - x2)+(y - y1)(y - y2)=0上,所以点F在以AB为直径的圆上.连接AF,BF,易知AF⊥BF,因为线段AB的中点M与点F的距离为3,所以|AB|=6,所以|AF|2+|BF|2=36.设Γ的准线为l1,过点A作AA1⊥l1于点A1,过点B作BB1⊥l1于点B1,过点M作MM1⊥l1于点M1,由抛物线的定义,得|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.在直角梯形ABB1A1中,2|MM1|=|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|,所以4|MM1|2=|AF|2+|BF|2+2|AF|·|BF|≤|AF|2+|BF|2+|AF|2+|BF|2=2×36=72(当且仅当|AF|=|BF|=3‎2‎时,等号成立),所以|MM1|≤3‎2‎,即点M到Γ的准线的距离的最大值为3‎2‎,故选C.‎ ‎【素养落地】　试题以抛物线为载体,结合点在曲线上考查考生对几何与代数统一性的理解与掌握,考查了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.‎ ‎【方法总结】　破解此类题需注意以下三点:一是会判断曲线的特征;二是会画图与用图,即会画出草图,根据图形的特征,寻找转化的桥梁;三是运算要认真,求解圆锥曲线题时,运算一定要认真才能得到正确的结果.‎ ‎25.2　1　由抛物线y2=2px的焦点为F(1,0),得p‎2‎=1,所以p=2,则‎1‎‎|AF|‎‎+‎1‎‎|BF|‎=‎‎2‎p=1.‎