【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第五章　第2讲　平面向量基本定理及坐标表示作业 5页

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示 ‎[基础题组练]‎ ‎1．已知e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，a＝(－1，2)．若a＝λ1e1＋λ2e2，则实数对(λ1，λ2)为(　　)‎ A．(1，1) B．(－1，1)‎ C．(－1，－1) D．(1，－1)‎ 解析：选B.因为e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，所以a＝λ1e1＋λ2e2＝λ1(2，1)＋λ2(1，3)＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)．又因为a＝(－1，2)，所以解得故选B.‎ ‎2．(2020·河南新乡三模)设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　)‎ A. B．－ C．－3 D．3‎ 解析：选B.法一：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．‎ 故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.‎ 故选B.‎ 法二：因为向量e1，e2是平面内的一组基底，‎ 故由a与b共线可得，＝，解得λ＝－.‎ 故选B.‎ ‎3．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，＝(2，4)，＝(1，3)，若点E满足＝3，则点E的坐标为(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选A.易知＝－＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由＝3知 所以所以E.‎ ‎4．(2020·河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　)‎ A. B. C．3 D．2 解析：选A.如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，‎ 因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．‎ ＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，‎ 所以＝.‎ ‎5．设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝ ．‎ 解析：因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．‎ 因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，‎ 所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.‎ 答案：2‎ ‎6．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为 ．‎ 解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.‎ 答案：－ ‎7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝ ．‎ 解析：选择，作为平面向量的一组基底，‎ 则＝＋，＝＋，＝＋，‎ 又＝λ＋μ＝＋，于是得 解得所以λ＋μ＝.‎ 答案： ‎8．已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；‎ ‎(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．‎ 解：(1)＝t1＋t2＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．‎ 点M在第二或第三象限⇔ 解得t2＜0且t1＋2t2≠0.‎ 故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.‎ ‎(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．‎ 因为＝－＝(4，4)，‎ ＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，‎ 所以A，B，M三点共线．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　)‎ A．(2，0) B．(0，－2)‎ C．(－2，0) D．(0，2)‎ 解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，‎ 即a＝－2p＋2q＝(2，4)，‎ 令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，‎ 所以即 所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．‎ ‎2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 解析：选B.因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，‎ 所以x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.‎ 又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，‎ 故x＋y的最大值为.‎ ‎3．设＝(－2，4)，＝(－a，2)，＝(b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为 ．‎ 解析：由已知得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，‎ 因为A，B，C三点共线，‎ 所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，‎ 即整理得2a＋b＝2，‎ 所以＋＝(2a＋b)＝≥＝＋(当且仅当a＝2－，b＝2－2时等号成立)．‎ 答案：＋ ‎4．(2020·黑龙江大庆二模)已知W为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°，设＝λ1＋λ2，则2λ1＋λ2＝ ．‎ 解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．‎ 根据已知条件可知A(0，0)，B(4，0)，C(－1，)．‎ 根据外心的性质可知点W在直线x＝2上(如图所示)．‎ 易知线段AC中点的坐标为，直线AC的斜率为－，故线段AC的中垂线l的斜率为(如图所示)，方程为y－＝.‎ 令x＝2，解得y＝，故W.‎ 由＝λ1＋λ2得＝λ1(4，0)＋λ2(－1，)，‎ 即解得 所以2λ1＋λ2＝＋＝3.‎ 答案：3‎