浙江省湖州中学2021届高三数学上学期第二次质检试题（Word版含答案） 13页

‎2020学年湖州中学高三上第二次质检 一、选择题：每小题4分，共40分 ‎1.若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.双曲线的焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知为虚数单位，且，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.若，则的值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.若，则“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.把函数的图象向左平移单位后得到函数的图象，再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），则所得函数图象的一条对称轴方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知数列满足，且对任意都有，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知正数，满足，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知数列满足，.若恒成立，则实数的最大值是（ ）‎ ‎（选项中为自然对数的底数，大约为）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分 ‎11.已知函数，则的最小正周期是_______，其图象在区间上的对称中心的坐标是_______.‎ ‎12.已知公差为的等差数列的前项和为.若，，是方程，的两实数根，则当_______时，最大；的取值范围是_______.‎ ‎13.锐角中，是边上一点，且，，.若，则_______，的面积是_______.‎ ‎14.已知函数在，上单调，其图象经过点，且有一条对称 轴为直线，则的最大值是_______.‎ ‎15.已知为椭圆上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，，则的最小值为_______.‎ ‎16.已知平面向量，不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，_______.‎ ‎17.已知数列各项都是正数，且，若是递增数列，则的取值范围是_______.‎ 若，，且，则整数_______.‎ 三、解答题：5小题，共74分 ‎18.（本题满分14分）‎ 在锐角中，角，，的对边分别是，，.已知，.‎ ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数，的值域.‎ ‎19.（本题满分15分）‎ 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.在锐角中，是边上一点，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若与平面所成角的正弦值是，求的长.‎ ‎20.（本题满分15分）‎ 已知是正项数列的前项和，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ ‎21.（本题满分15分）‎ 如图，抛物线，其中，是过抛物线焦点的两条弦，且，记，的面积分别为，.‎ ‎（Ⅰ）当直线，关于轴对称时，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最小值.‎ ‎22.（本题满分15分）‎ 设函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：对于任意的，均有；‎ ‎（Ⅲ）若存在，使得当时，恒有，试求实数的取值范围 ‎2020学年湖州中学高三（上）第二次质检 一、选择题：每小题4分，共40分 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ B D B C D B A D B D ‎4.‎ 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分 ‎11.（1）；（2）.‎ ‎12.（1）；（2）.‎ ‎13.（1）；（2）.‎ ‎14.3.‎ ‎15..‎ ‎16..‎ ‎17.（1）；2‎ ‎18.解 ‎（I）‎ 由正弦定理得：，‎ 所以，‎ 又为锐角三角形，所以；‎ ‎（Ⅱ）‎ 因为，所以，，‎ 则.‎ ‎19.解 ‎（I）‎ 连接，交于，连接，‎ 因为，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，于是，‎ 而平面，平面，‎ 所以平面；‎ ‎（Ⅱ）‎ 方法一：‎ 由已知得：，，，‎ 所以平面，‎ 过，垂足为，连接，‎ 于是平面，‎ 所以为与平面所成的角，‎ ‎，而，‎ 所以，‎ ‎，，‎ 所以.‎ 方法二：空间向量 建立空间直角坐标系，如图所示，‎ ‎，，，，‎ 设，‎ ‎，‎ 因为，所以，则，‎ ‎，①，‎ ‎，‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ 取，则，‎ ‎，‎ 解得，将其代入①得，‎ ‎.‎ ‎20.解：‎ ‎（Ⅰ）‎ 当时，，‎ 所以 即 所以数列是等差数列，其中首项为1，公差为1，‎ 于是，‎ ‎（时也符合）‎ ‎（Ⅱ）‎ 所以.‎ 方法二：数学归纳法 直接证明是证不出来的，需要添加项，比如证明：（添项不唯一），‎ 当时，，，成立；‎ 假设当时，，‎ 那么当时，，‎ 只要证明：成立 等价于 等价于 等价于 等价于（显然成立）‎ 所以原命题成立.‎ 于是.‎ ‎21.解：‎ ‎（Ⅰ）‎ 方法一：传统解析法 不妨设的斜率为负数，其中在第二象限，‎ 当直线，关于轴对称时，则，的斜率分别为-1、1，‎ 直线的方程，‎ 联立方程，，，‎ 根据对称性，则，‎ 所以、，‎ 所以；‎ 方法二：参数方程 设直线方程为，‎ 联立方程得：，‎ 所以，，故，.‎ ‎（Ⅱ）‎ 方法一：点参法 易得，；，；‎ 设，，从而有，，‎ ‎，，‎ 于是，即，‎ ‎，‎ 所以，‎ 同理有 所以 当且仅当时取等号.‎ 方法二：极坐标 设的倾斜角为，‎ 则，，‎ 因为，‎ 于是，‎ 所以 ‎（当且仅当时取等号）.‎ ‎22.解：‎ ‎（Ⅰ）‎ 显然函数的定义域为，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 所以函数的单调增区间为，减区间为；‎ ‎（Ⅱ）‎ 方法一：‎ 当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以在，‎ 于是，‎ 即当时，求证：对于任意的，均有；‎ 方法二：‎ 由得，‎ 令得：‎ 所以：.‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎（1）由（Ⅱ）知道，当时，，不合题意；‎ ‎（2）当时，，则，此时，‎ 于是，‎ 即恒成立，不合题意；‎ ‎（3）当时，‎ 记，‎ 令，‎ 注意与符号相同，‎ 当时，，，‎ 当时，，于是恒有，‎ 综上所述：实数的取值范围.‎ 方法二：‎ 由.‎ 令得：‎ 构造函数 这里没有仔细写完，……‎ 所以.‎