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  • 2021-06-16 发布

浙江省湖州中学2021届高三数学上学期第二次质检试题(Word版含答案)

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‎2020学年湖州中学高三上第二次质检 一、选择题:每小题4分,共40分 ‎1.若集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.双曲线的焦点坐标是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知为虚数单位,且,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.若,则的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.若,则“”是“函数在区间上单调递增”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.把函数的图象向左平移单位后得到函数的图象,再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标保持不变),则所得函数图象的一条对称轴方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知数列满足,且对任意都有,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知正数,满足,则的最小值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知数列满足,.若恒成立,则实数的最大值是( )‎ ‎(选项中为自然对数的底数,大约为)‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:单空题每题4分,多空题每题6分 ‎11.已知函数,则的最小正周期是_______,其图象在区间上的对称中心的坐标是_______.‎ ‎12.已知公差为的等差数列的前项和为.若,,是方程,的两实数根,则当_______时,最大;的取值范围是_______.‎ ‎13.锐角中,是边上一点,且,,.若,则_______,的面积是_______.‎ ‎14.已知函数在,上单调,其图象经过点,且有一条对称 轴为直线,则的最大值是_______.‎ ‎15.已知为椭圆上的一个动点,过点作圆的两条切线,切点分别是,,则的最小值为_______.‎ ‎16.已知平面向量,不共线,且,,记与的夹角是,则最大时,_______.‎ ‎17.已知数列各项都是正数,且,若是递增数列,则的取值范围是_______.‎ 若,,且,则整数_______.‎ 三、解答题:5小题,共74分 ‎18.(本题满分14分)‎ 在锐角中,角,,的对边分别是,,.已知,.‎ ‎(Ⅰ)求角的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数,的值域.‎ ‎19.(本题满分15分)‎ 如图,四棱锥中,底面为直角梯形,,,,.在锐角中,是边上一点,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)若与平面所成角的正弦值是,求的长.‎ ‎20.(本题满分15分)‎ 已知是正项数列的前项和,,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)证明:.‎ ‎21.(本题满分15分)‎ 如图,抛物线,其中,是过抛物线焦点的两条弦,且,记,的面积分别为,.‎ ‎(Ⅰ)当直线,关于轴对称时,求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的最小值.‎ ‎22.(本题满分15分)‎ 设函数,.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)当时,求证:对于任意的,均有;‎ ‎(Ⅲ)若存在,使得当时,恒有,试求实数的取值范围 ‎2020学年湖州中学高三(上)第二次质检 一、选择题:每小题4分,共40分 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ B D B C D B A D B D ‎4.‎ 二、填空题:单空题每题4分,多空题每题6分 ‎11.(1);(2).‎ ‎12.(1);(2).‎ ‎13.(1);(2).‎ ‎14.3.‎ ‎15..‎ ‎16..‎ ‎17.(1);2‎ ‎18.解 ‎(I)‎ 由正弦定理得:,‎ 所以,‎ 又为锐角三角形,所以;‎ ‎(Ⅱ)‎ 因为,所以,,‎ 则.‎ ‎19.解 ‎(I)‎ 连接,交于,连接,‎ 因为,‎ 所以,‎ 又,‎ 所以,于是,‎ 而平面,平面,‎ 所以平面;‎ ‎(Ⅱ)‎ 方法一:‎ 由已知得:,,,‎ 所以平面,‎ 过,垂足为,连接,‎ 于是平面,‎ 所以为与平面所成的角,‎ ‎,而,‎ 所以,‎ ‎,,‎ 所以.‎ 方法二:空间向量 建立空间直角坐标系,如图所示,‎ ‎,,,,‎ 设,‎ ‎,‎ 因为,所以,则,‎ ‎,①,‎ ‎,‎ 设平面的一个法向量为,‎ ‎,‎ 取,则,‎ ‎,‎ 解得,将其代入①得,‎ ‎.‎ ‎20.解:‎ ‎(Ⅰ)‎ 当时,,‎ 所以 即 所以数列是等差数列,其中首项为1,公差为1,‎ 于是,‎ ‎(时也符合)‎ ‎(Ⅱ)‎ 所以.‎ 方法二:数学归纳法 直接证明是证不出来的,需要添加项,比如证明:(添项不唯一),‎ 当时,,,成立;‎ 假设当时,,‎ 那么当时,,‎ 只要证明:成立 等价于 等价于 等价于 等价于(显然成立)‎ 所以原命题成立.‎ 于是.‎ ‎21.解:‎ ‎(Ⅰ)‎ 方法一:传统解析法 不妨设的斜率为负数,其中在第二象限,‎ 当直线,关于轴对称时,则,的斜率分别为-1、1,‎ 直线的方程,‎ 联立方程,,,‎ 根据对称性,则,‎ 所以、,‎ 所以;‎ 方法二:参数方程 设直线方程为,‎ 联立方程得:,‎ 所以,,故,.‎ ‎(Ⅱ)‎ 方法一:点参法 易得,;,;‎ 设,,从而有,,‎ ‎,,‎ 于是,即,‎ ‎,‎ 所以,‎ 同理有 所以 当且仅当时取等号.‎ 方法二:极坐标 设的倾斜角为,‎ 则,,‎ 因为,‎ 于是,‎ 所以 ‎(当且仅当时取等号).‎ ‎22.解:‎ ‎(Ⅰ)‎ 显然函数的定义域为,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 所以函数的单调增区间为,减区间为;‎ ‎(Ⅱ)‎ 方法一:‎ 当时,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以在,‎ 于是,‎ 即当时,求证:对于任意的,均有;‎ 方法二:‎ 由得,‎ 令得:‎ 所以:.‎ ‎(Ⅲ)‎ ‎(1)由(Ⅱ)知道,当时,,不合题意;‎ ‎(2)当时,,则,此时,‎ 于是,‎ 即恒成立,不合题意;‎ ‎(3)当时,‎ 记,‎ 令,‎ 注意与符号相同,‎ 当时,,,‎ 当时,,于是恒有,‎ 综上所述:实数的取值范围.‎ 方法二:‎ 由.‎ 令得:‎ 构造函数 这里没有仔细写完,……‎ 所以.‎