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- 2021-06-16 发布
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立体几何解答题题库
1.
如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=AB=AC =3，平面平面PAB，且与棱PC，AC，BC分别交于P1，A1，B1三点．
（1）过A作直线l，使得，，请写出作法并加以证明；
（2）若将三棱锥P-ABC分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体P1A1B1C的体积更小），D为线段B1C的中点，求四棱锥A1-PP1DB1的体积．
2.
如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．
(1)求四棱锥P-ABCD的体积；
(2)证明：BD∥平面PEC；
(3)线段BC上是否存在点M，使得AE⊥PM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
3.如图1所示，平面多边形CDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，AB=2EF =2,沿着AB将图形折成图2，其中为AD的中点.
（Ⅰ）求证：EH⊥BD；
（Ⅱ）求四棱锥D-ABFE的体积.
4.
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形，且平面底面ABCD，，.
（1）证明：：；
（2）点M在棱PC上，且，若三棱锥的体积为，求实数的值.
5.
已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，，M、N分别是AD、PB的中点。
（Ⅰ）求证：平面MNC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求点A到平面MNC的距离。
6.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=AC，E是BC的中点.
（1）求证：平面AB1E⊥平面B1BCC1；
（2）求证：A1C∥平面AB1E．
7.
如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，且和均为等腰直角三角形，且90°．
（Ⅰ）若平面ABCD⊥平面AEBF，证明平面BCF⊥平面ADF；
（Ⅱ）问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面CDF，若存在，求出此时三棱锥G-ABE与三棱锥G-ADF的体积之比．
8.
如图，四边形ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，且平面ACEF⊥平面ABCD，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点.
（Ⅰ）证明：BD⊥CH；
（Ⅱ）若AB=BD=2，AE=，CH=，求三棱锥F-BDC的体积.
9.
如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2,
BC= EF =1,,DE=3,，G为BC的中点.
（1）求证：FG∥平面BED；
（2）求证：BD⊥平面AED；
（3）求点F到平面BED的距离.
10.
如图，在底面为梯形的四棱锥S-ABCD中，已知，，，.
（1）求证：；
（2）求三棱锥B-SAD的体积.
11.
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，，
∠BAD＝∠CDA＝90°，．
（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；
（2）求直线PB与平面PAD所成的角；
（3）在棱PC上是否存在一点E使得直线BE∥平面PAD，若存在求PE的长，并证明你的结论．
12.
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，.
（1）求证：AO⊥平面BB1C1C；
（2）若，且，求三棱锥C1-ABC的体积.
13.
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若，M为线段PC的中点，求三棱锥C-MBD的体积。
14.
如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EF∥AB，BC⊥FD，过BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q．
（1）证明：PQ∥平面ABCD；
（2）若CD⊥BE，EF＝EC＝1，，求五面体ABCDFE的体积．
15.
如图所示，四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，，，BC=1，，，E为CD的中点.
（1）求证：BC∥平面SAE；
（2）求三棱锥S-BCE与四棱锥S-BEDA的体积比.
16.
如图示，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD，
底面ABCD是矩形，，E、F分别CD、PB的中点.
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：EF⊥平面PAB；
（Ⅲ）设, 求三棱锥P-AEF的体积.
17.
如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，，，，QD⊥平面ABCD，，，.
（1）求证：平面PAB⊥平面QBC；
（2）求该组合体QPABCD的体积.
18.
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E，F分别为PC，BD的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)证明：平面PDC⊥平面PAD；
(3)求四棱锥P—ABCD的体积．
19.
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点.
(Ⅰ)求证：B1C∥平面A1BD；
(Ⅱ)若，
求三棱锥A1-ABD的体积.
20.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形, PA⊥平面ABCD,E为PB中点,.
(1).求证: PD∥平面ACE;
(2).求三棱锥E-ABC的体积。
21.
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PB⊥PD．
（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；
（2）若， E为棱CD的中点，，BC=2，求四面体A-PED的体积．
22.
如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，点E在棱CS上，且CE＝λCS．
（1）若，证明：BE⊥CD；
（2）若，求点E到平面SBD的距离．
23.
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，
AD =2AB=2BC，M为边AD的中点，CB1⊥底面ABCD.
⑴ 求证：C1M∥平面A1ABB1；
⑵ 平面B1BM⊥平面ACB1.
24.
如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，
，.
(Ⅰ)求证：平面平面；
(Ⅱ)若,求点到平面的距离.
25.
四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形，，，，△SAD为正三角形．
（1）点M为棱AB上一点，若平面，
，求实数的值；
（2）若，求点B到平面SAD的距离．
26.
（本小题满分12分）
已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形，E是侧棱PC上的动点
（1）求证：平面PAC⊥平面BDE．
（2）若E为PC的中点，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．
27.
（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD．
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，四棱锥P－ABCD的体积为9，求四棱锥P－ABCD的侧面积.
28.
如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，，点E，F分别为棱AB，PD的中点。
（1）求证：AE∥平面PCE；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD
29.
（本题满分12分）
如图1，已知直角梯形ABCD中，，AB//DC，AB⊥AD，E为CD的中点，沿AE把△DAE折起到△PAE的位置（D折后变为P），使得PB=2，如图2．
（Ⅰ）求证：平面PAE⊥平面ABCE；
（Ⅱ）求点B到平面PCE的距离．
30.
如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且.
（1）求证：SO⊥平面ABCD；
（2）设是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A-PCD的体积.
31.
如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
(Ⅰ)求证：EM∥平面ABC；
(Ⅱ)求出该几何体的体积．
32.
如图，直三棱柱ABC-A′B′C′中，，，D，
E分别为AB和BB′上的点，且．
（1）当D为AB中点时，求证：A′B⊥CE；
（2）当D在AB上运动时，求三棱锥A′-CDE体积的最小值．
33.
正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，，点M是EC中点.
（I）求证：BM∥平面ADEF； （II）求三棱锥M－BDE的体积.
34.
如图,在底面是正三角形的直三棱柱中,,D是BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
35.
如图，在四棱锥E-ABCD中，,，点F为棱DE的中点.
（1）证明：AF∥平面BCE；
（2）若，求三棱锥B-CEF的体积.
36.
如图，在矩形ABCD中，，PA⊥平面ABCD，，F为PA的中点.
（1）求证：DF∥平面PEC；
（2）记四棱锥C- PABE的体积为V1，三棱锥P-ACD的体积为V2，求.
37.
如图，在三棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，，点P在底面ABCD内的正投影为点M，且M为AD的中点.
（1）证明： AB⊥平面PAD；
（2）若，求四棱锥P-ABCD的体积.
38.
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=AD，CD=BC.
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若∠BAD=120°，∠BCD=60°，且PB⊥PD，求二面角B-PC-D的平面角的大小.
39.
如图，在各棱长均为4的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，E为棱BB1上一点.
（1）证明：平面ACE⊥平面BDD1B1；
（2）在图中作出点A在平面A1BD内的正投影H（说明作法及理由），并求三棱锥B-CDH的体积.
40.
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，，M，N分别为线段PC，AD的中点.
（Ⅰ）求证：AD⊥面PNB；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P-NBM的体积.
41.
在如图所示的几何体中，PB∥EC，PB =2CE=2，PB⊥平面ABCD，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=60°．
（1）求证：AC∥平面PDE；
（2）求CD与平面PDE所成角的正弦值．
42.
在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，PA =AD=DC=2AB=2，PD =AC，E是棱PC的中点，且BE⊥CD.
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求点P到平面BDE的距离.
43.
已知平面四边形PABC中，中，，现沿AC进行翻折，得到三棱锥P-ABC，点D，E分别是线段BC，AC上的点，且DE∥平面PAB.
求证：（1）直线平面；
（2）当D是BC中点时，求证：平面ABC⊥平面PDE.
44.
如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，点M在线段PC上，且PM=2MC，O为AD的中点.
（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面POB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，且AB=2，求三棱锥P-OBM的体积.
45.
（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，.
（Ⅰ）证明：直线AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若=1，，求四棱锥P-ABCD的体积.
46.
（本小题满分14分）
如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
47.
（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.
48.
（本小题满分13分）
如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
49.
（12分）
如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
50.
如图，在多边形中，，，，，是线段上的一点，且，若将沿折起，得到几何体.
（1）试问：直线与平面是否有公共点？并说明理由；
（2）若，且平面平面，求三棱锥的体积．
51.
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是菱形，∠BAD=600 ，AB=PD=2，O为AC与BD的交点.
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）若点E是PB的中点，求三棱锥E—ABC的体积.
52.
如图，在三棱锥P-ABC中，为AC的中点.
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且，求点C到平面POM的距离.
53.
如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）设，，三棱锥的体积，求到平面的距离．
54.
（12分）
如图，在三棱锥P-ABC中， ，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．
55.
已知直角梯形ABCD中，，∥，，，E为AB的中点，过E作EF∥AD，将四边形AEFD沿EF折起使面AEFD⊥面EBCF.
（1）若为的中点，求证：∥面；
（2）若，试求多面体的体积.
56.
（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，，，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点．
（Ⅰ）若∥平面，求；
（Ⅱ）平面将三棱柱分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．
57.
多面体ABCDEF中，，，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDF是菱形，， M，N分别是AB，DF的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
58.
如图，四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是平行四边形，, 平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，，M是AD 中点．
(1)求证：平面PMB⊥平面PAD；
(2)证明：∠PDC >∠PAB，且△PDC与△PAB的面积相等.
59.
如图，三棱锥中，，，是等边三角形且以为轴转动.
（1）求证：；
（2）当三棱锥体积最大时，求它的表面积.
60.
如图，在三棱锥S - ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为2的等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点.
(I)证明: AC⊥SO;
(Ⅱ)求点C到平面SAB的距离.
61.
中秋节即将到来，为了做好中秋节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片剪去四个全等的等腰三角形，，，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒，其中重合于点，与重合，与重合，与重合，与重合（如图所示）．
（1）求证：平面平面；
（2）已知，过作交于点，求的值．
62.
如图1，是边长为3的等边三角形，在边上，在边上，且.将沿直线折起，得四棱锥，如图2.
（1）求证：；
（2）若平面底面，求三棱锥的体积.
63.
如图所示，和所在平面互相垂直，且，，，分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
64.
如图，四棱柱的底面为菱形，且.
（1）证明：四边形为矩形；
（2）若，平面，求四棱柱的体积.
65.
如图（1）所示，长方形ABCD中，AB=2AD，M是DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM，如图（2）所示，在图（2）中，
（1）求证：BM ⊥平面ADM；
（2）若AD =1，求三棱锥B-MCD的体积.
66.
如图所示，正三棱柱ABC - A1B1C1的高为2，点D是A1B的中点，
点E是B1C1的中点.
（1）证明：DE∥平面ACC1 A1；
（2）若三棱锥E - DBC的体积为，求该正三棱柱的底面边长.
67.
如图，已知四棱锥，底面为菱形，，
,平面，分别是的中点。
（1）证明：；
（2）若为的中点时，与平面所成的角最大，
且所成角的正切值为，求点A到平面的距离。
68.
如图，在四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．
（Ⅰ）证明PC∥平面EBD；
（Ⅱ）求二面角A—BE—D的正切值．
69.
如图，已知四棱锥P -ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠ADC =90°，且AD =2BC =2CD，PA =PB =PD．
（1）求证：平面PAD丄平面ABCD；
（2）若∠PAD=45°且PA=，E，F分别是PA，PC的中点，求多面体PEBFD的体积．
70.
如图，在三棱锥中，，点为边的中点.
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求三棱柱的体积.
71.
如图，已知四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为直角梯形，FA⊥AB，AD=AF=FE=1，AB=2，AD⊥BE.
（Ⅰ）求证：BE⊥DE；
（Ⅱ）求点F到平面CBE的距离.
72.
如图，直三棱柱中，M是AB的中点.
（1）证明：BC1∥平面MCA1；
（2）若，，求点C1到平面MCA1的距离.
73.
在四棱锥P—ABCD中，AD⊥AB，AD∥BC，△PDA，△PAB都是边长为1的正三角形.
（1）证明：平面PDB⊥平面ABCD；
（2）求点C到平面PAD的距离.
74.
已知多面体ABCDEF中，四边形ABFE为正方形，为AB的中点，．
（1）求证： AE⊥平面CDEF；
（2）求六面体ABCDEF的体积．
75.
如图，平面平面，四边形是菱形，，，，.
（Ⅰ）求四棱锥的体积；
（Ⅱ）在上有一点，使得，求的值.
76.
如图，直三棱柱中，，，分别是的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求三棱锥的高．
77.
如图，垂直于菱形所在平面，且，，点、分别为边、的中点，点是线段上的动点.
（I）求证：；
（II）当三棱锥的体积最大时，求点到面的距离.
78.
如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点，侧棱，点在上，点在上，且，.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
79.
如图所示的几何体中，平面平面,为直角三角形， ，四边形为直角梯形，，，，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得
，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
80.
如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E在DC边上，且DE=1，将△ADE沿AE折到△AD'E的位置，使得平面AD'E⊥平面ABCE．
（Ⅰ）求证：AE⊥BD'；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣BCD'的体积．
81.
如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，∠BAD=.
（1）求证：平面BCF∥平面AED；
（2）若BF=BD=a，求四棱锥A-BDEF的体积.
82.
如图，ABCD是边长为a的正方形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB=2FD=a．
（Ⅰ）求证：EF⊥AC；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣FAC的体积．
83.
如图，在底面为矩形的四棱锥中，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，平面平面，
求三棱锥与三棱锥 的表面积之差.
84.
如图，是圆柱的上、下底面圆的直径，是边长为2的正方形，是底面圆周上不同于两点的一点，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
85.
如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线，，垂足分别为，，四边形为菱形，且.
（1）求证：平面；
（2）若，求该几何体的体积.
86.
如图，在等腰梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）求多面体ABCDEF的体积.
87.
在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离．
88.
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CD∥AB,AB⊥BC,AB=BC=2CD=2,侧棱AA1⊥平面ABCD.且点M是AB1的中点.
(1)证明:CM∥平面ADD1A1；
(2)求点M到平面ADD1A1的距离.
89.
如图所示，已知圆的直径长度为4，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点D到平面PBC的距离.
90.
如图，在四棱锥中，为钝角三角形，侧面垂直于底面，，点
是的中点，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与底面所成的角为60°，求二面角余弦值．
91.
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．
（1）求证：平面CMN∥平面PAB；
（2）求三棱锥P﹣ABM的体积．
92.
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC中点O为球心，AC为直径的球面交线段PD（不含端点）于M．
（1）求证：面ABM⊥面PCD；
（2）求三棱锥P﹣AMC的体积．
93.
如图，边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，AF∩BC=O，DE=，ED∥AF且∠DAF=90°
（1）求证：DE⊥平面BCE
（2）过O作OH⊥平面BEF，垂足为H，求二面角H﹣AE﹣O的余弦值．
94.
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．
（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；
（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．
95.
如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求正四棱锥的高，使得该四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍.
96.
已知：平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB=AD=2，平面AED⊥平面ABCD，△AED
为等边三角形，EF∥AB，EF=，M为线段BC的中点。
（I）求证：直线MF∥平面BED；
（II）求平面BED与平面FBC所成角的正弦值；
（III）求直线BF与平面BED所成角的正弦值。
97.
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，点分别为的中点.
(1)求证：直线∥平面；
(2)求点到平面的距离.
98.
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，点是上一点.
(1)求证：平面平面；
(2)若是中點，求三棱椎的体积.
99.
如图，直棱柱的棱长都为，点为棱的中点，点在棱上，且.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
100.
如图,在四棱锥中,棱底面,且,,, 是的中点.
(1)求证:平面；
(2)求三棱锥的体积.
立体几何解答题题库答案
1.
（1）作法：取的中点，连接，则直线即为要求作的直线．
证明如下：，且，平面．
平面平面，且平面，平面平面．
平面，．
又，为的中点，则，从而直线即为要求作的直线．
（2）将三棱锥分成体积之比为的两部分，
四面体的体积与三棱锥分成体积之比为，
又平面平面，．
易证平面，则到平面的距离即为到平面的距离，
又为的中点，到平面的距离，
故四棱锥的体积．
2.
(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，
PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，
∴VP－ABCD＝PA×SABCD＝×4×4×4＝. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
（2）证明：连结AC交BD于O点，取PC中点F，连结OF，
∵EB∥PA，且EB＝PA，
又OF∥PA，且OF＝PA，∴EB∥OF，且EB＝OF，
∴四边形EBOF为平行四边形，∴EF∥BD.
又EF⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分
解法二：
可取PA的中点Q,证明平面PEC∥平面BDQ.BD⊂平面BDQ.所以BD∥平面PEC.
(3)存在，点M为线段BC上任意一点. 证明如下：
连结BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，
∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，
∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE.
又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，
∴点M为线段BC上任意一点，均可使得AE⊥PM. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分
3.
（Ⅰ）在梯形中,∵,,
∴,
∴,∵.
∴,
∴,∴.（4分）
∵平面平面,平面平面,∴平面.
（Ⅱ）在中,,∴.
分别以为轴,轴,轴建立平面直角坐标系, 设,则,,,
,,则,,易知平面的一个法向量为,
∵平面的法向量为,∴即令,则,,
∴平面的法向量为,∵二面角的平面角的余弦值为,
∴,解得,即.（10分）
所以六面体的体积为：
.（12分）
4.
（1）证明：取AD的中点O，连OC,OP
∵为等边三角形，且O是边AD 的中点
∴
∵平面底面，且它们的交线为AD
∴
∴
∵
∴
∴
（2）设点M到平面ACD的距离为
∵
∴ ∴
∵
∴
5.
（I）连PM、MB ∵PD⊥平面ABCD ∴PD⊥MD
∴PM=BM 又PN=NB ∴MN⊥PB
得NC⊥PB ∴PB⊥平面MNC
平面PBC
∴平面MNC⊥平面PBC
（II）取BC中点E，连AE，则AE//MC∴AE//平面MNC，
A点与E点到平面MNC的距离相等
取NC中点F，连EF，则EF平行且等于BN
∵BN⊥平面MNC ∴EF⊥平面MNC，EF长为E
点到平面MNC的距离 ∵PD⊥平面ABCD，
又BC⊥DC 面 ∴BC⊥PC.
即点A到平面MNC的距离为
6.
（2）连接A1B，设A1B∩AB1=F，连接EF．
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，
所以F为A1B的中点．
又因为E是BC的中点，
所以EF∥A1C．
因为EF在平面AB1E内，A1C不在平面AB1E内，
所以A1C∥平面AB1E．
7.
证明：（1）∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，
又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF=AB，
∴BC⊥平面AEBF， ……………（2分）
又∵AF平面AEBF，∴BC⊥AF. ……………（3分）
∵∠AFB=90°，即AF⊥BF，且BC、BF平面BCF，BC∩BF=B，
∴AF⊥平面BCF. ……………（5分）
又∵AF平面ADF，∴平面ADF平面BCF. ………………………………（6分）
（2）∵BC∥AD，AD平面ADF，∴BC∥平面ADF.
∵和均为等腰直角三角形，且90°，
∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF∥BE，又AF平面ADF，∴BE∥平面ADF，
∵BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF.
延长EB到点H，使得BH =AF，又BC AD，连CH、HF，易证ABHF是平行四边形，
∴HFABCD，∴HFDC是平行四边形，∴CH∥DF.
过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF，（DF平面CDF）
∴BG∥平面CDF，即此点G为所求的G点. ………………………………（9分）
又BE=，∴EG=，又，
，
故..………………………………（12分）
8.
（1）证明：四边形为菱形
，………………1分
又面面=
………………2分
面面C………………3分
,………………4分
………………5分
………………………………6分
（2）在中，
所以,………………6分
………………8分
，
,………………9分
…………………………………. 10分
又,,,
∴CH⊥平面BDF. . . . . . . . . . . . . 12分
……………………………14分
9.
（1）证明：取BD的中点O，连接OE，OG
在中，因为G是BC的中点，
所以OG∥DC且，……………1分
因为EF∥AB，AB∥DC，，
所以EF∥OG且，……………………2分
所以四边形是平行四边形，所以∥， ………………………3分
又平面，平面，
所以∥平面． ……………………………4分
（2）证明：在中，，，，
由余弦定理得， …………………………5分
因为，
所以. …………………………6分
因为平面平面，平面,平面平面，
所以平面. ……………………………7分
（3）解法1：由（1）∥平面，
所以点F到平面的距离等于点G到平面的距离， ……………………8分
设点G到平面的距离为，
过E作，交的延长线于M，
则平面，所以是三棱锥的高． ……………………9分
由余弦定理可得，
所以,. …………………………10分
.
因为，………………………………11分
即，解得.
所以点F到平面的距离为． ………………………………12分
解法2：因为∥，且,
所以点F到平面的距离等于点A到平面的距离的， ……………8分
由（2）平面.
因为平面，所以平面平面．
过点作于点，又因为平面平面，故平面.
所以为点到平面的距离．…………………9分
在中，，
由余弦定理可得
所以， …………………10分
因此， ……………………………………………………11分
所以点F到平面BED的距离为． ………………………………………………12分
10.
（1）设为的中点，连接，，
∵，∴，
∵，∴，
又平面，且，
平面，又平面，
∴.
（2）连接，在中，∵，，为的中点，
∴为正三角形，且，，
∵在中，，为的中点，
∴，且，
∵在中，，∴为直角三角形，且，
∴又，且，∴平面.
∴
.
11.
证明(1)因为∠BAD＝∠CDA＝90°，
所以,四边形ABCD为直角梯形,
又满足
又
又 ,
,
所以平面PAD⊥平面PBC……………………4分
(2)30°…………………………………8分
(3)存在E为PC中点,即 满足条件……………………………12分
12.
（1)证明：∵四边形是菱形，∴,∵,
∴平面，又平面，∴．∵,是的中点，∴，∵，∴平面 …………… ……6分
（2）菱形的边长为，又是等边三角形，则.
由（1）知，，又是的中点，，又是等边三角形，则.在中，……9分
……………12分
13.
（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴.
又∵平面ABCD，平面ABCD，∴．
又，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（Ⅱ）解：
14.
（1）证明：因为底面ABCD为矩形，所以AD∥BC．
，
，
．
（2）解：由CD⊥BE，CD⊥CB，易证CD⊥CE，
由BC⊥CD，BC⊥FD，易证BC⊥平面CDFE，所以CB⊥CE，
即CD，CE，CB两两垂直．
连接FB，FC，则CD＝2，BC＝3，，
，
．
15.
（1）证明：因为，，，
所以，，
在△ACD中，，，，
由余弦定理可得：
解得：CD=4
所以，所以△ACD是直角三角形，
又为的中点，所以
又，所以△ACE为等边三角形，
所以，所以，
又AE平面SAE，平面SAE，
所以BC∥平面SAE.
（2）解：因为平面，
所以同为三棱锥与四棱锥的高.
由（1）可得，，
所以.
.
所以
故：三棱锥与四棱锥的体积比为1:4.
16.
（Ⅰ）取PA的中点G，连FG，由题可知：BF=FP,则FG //AB
FG = AB ,又CE= ED ，可得：DE//AB 且DE = AB ，
FG //DE 且FG = DE ,四边形DEFG为平行四边形，则EF //DG
且EF =DG ,DGÌ平面PAD；EFË平面PAD， EF//平面PAD¼¼¼4分
（Ⅱ）由PD ^平面ABCD ，PD Ì平面PAD ， 平面PAD^平面ABCD，
且交线为AD，又底面ABCD是矩形， BA ^ AD，BA ^ 平面PAD ，
平面PAB^平面PAD,其交线为PA ，又PD=AD，G为PA的中点，DG ^ PA，
DG ^平面PAB ，由（Ⅰ）知：EF // DG , EF^平面PAB¼¼¼8分
（Ⅲ）由AB=BC=得：BC =1, AB = ,AD=PD=1,
F 为PB的中点，
= = = =
= = ¼¼¼¼12分
17.
(1)见解析；（2）.
解：（1）证明：∵，，∴，
又∵，∴，
又，，，，
∴，又∵，
∴平面. --------------------------5
18.
（1）证明：∵平面PAD垂直矩形平面ABCD ，∴CD⊥平面PAD
取DC中点H，连接EH，EH⊥CD，连接FH，则FH⊥CD
则CD⊥平面EHF，∴平面EHF//平面PAD，又EF∈平面EHF
∴EF平行PAD； …………4分
（2）证明：∵平面PAD垂直矩形平面ABCD ，角CDA=90度，CD⊥平面PAD，又平面PAD∩平面PDC于PD，又DC∈平面PDC，∴平面PDC垂直平面PAD………8分
（3） …………12分
19.
（1）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1中点，
20.
（1）证明:连接,交于,连接.
∵四边形ABCD为正方形
∴F为BD的中点
∵E为PB的中点,
∴EF∥PD又∵面,面,
∴PD∥平面.
（2）.取AB中点为G,连接EG.
∵E为PB的中点,
∴EG∥PA
∵平面ABCD,
∴平面ABCD,
即是三棱锥的高,
在中,,,则,,
∴三棱锥的体积为.
21.
（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，
∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.
∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.
∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.
（Ⅱ）取BC的中点O，连接OP、OE.
∵平面，∴，∴，
∵，∴．
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，PO平面PBC，
∴PO⊥平面ABCD，∵AE平面ABCD,∴PO⊥AE.∵∠PEA=90O, ∴PE⊥AE.
∵PO∩PE=P，∴AE⊥平面POE，∴AE⊥OE.
∵∠C=∠D=90O, ∴∠OEC=∠EAD,
∴，∴．
∵，，，∴，
．
P
C
B
A
E
D
O
22.
（1）证明：因为，所以，在线段CD上取一点F使，连接EF，BF，则EF∥SD且DF＝1．
因为AB＝1，AB∥CD，∠ADC＝90°，
所以四边形ABFD为矩形，所以CD⊥BF．
又SA⊥平面ABCD，∠ADC＝90°，
所以SA⊥CD，AD⊥CD．
因为AD∩SA＝A，所以CD⊥平面SAD，
所以CD⊥SD，从而CD⊥EF．
因为BF∩EF＝F，所以CD⊥平面BEF．
又BE平面BEF，所以CD⊥BE．
（2）解：由题设得，，
又因为，，，
所以，
设点C到平面SBD的距离为h，则由VS—BCD＝VC—SBD得，
因为，所以点E到平面SBD的距离为．
23.
证明：（1）∵几何体为四棱柱，
∴四边形为平行四边形，
即∥，且，……………2分
又∵底面为等腰梯形，∴∥，
即∥， ………………………3分
又∵，且为边的中点，
∴，即，……………4分
则四边形为平行四边形，即∥， ………………………………5分
又∵平面，平面，
∴∥平面， ……………………………………………………7分
（2）∵∥，且，
∴四边形为平行四边形，
又∵，∴四边形为茭形，则⊥， ……………9分
又∵⊥底面，且底面，∴⊥， ……………11分
又∵，且平面，平面，
∴⊥平面， ……………………………………………………13分
又∵底面，∴平面⊥平面 ……………………………14分
24.
（Ⅰ）证明：取中点，连接
可知且
又,在有
又，,
即 ………………………3分
又平面,平面
平面， ………………………5分
又平面
平面平面 ………………………6分
（Ⅱ）设点到平面的距离为
,
又平面平面，
且平面平面
面 ………………………8分
………………………9分
在中有，
…………………10分
，
所以点到平面的距离为 .………………………12分
25.
（1）因为平面SDM，
平面ABCD，
平面SDM 平面ABCD=DM，
所以，
因为，所以四边形BCDM为平行四边形，又，所以M为AB的中点．
因为，．
（2）因为， ，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面，
平面平面，
在平面内过点作直线于点，则平面，
在Rt△SEA和Rt△SED中，
因为，所以，
又由题知，
所以，
由已知求得，所以，
连接BD，则，
又求得△SAD的面积为，
所以由点B 到平面的距离为．
26.
（1）由已知，平面ABCD，
∵平面，
又∵，∴平面．
因平面EBD，则平面平面BDE．
（2）法1：记AC交BD于点O，连PO，
由（1）得平面平面BDP，且交于直线PO，
过点E作于H，则平面PBD，
∴为BE与平面PBD所成的角．
∵，∴．
∴．
又，则．
于是，直线BE与平面PBD所成角的正弦值是．
法2：（等体积法）∵，
∴E点到平面PBD的距离为．
又，则．
于是，直线BE与平面PBD所成角的正弦值是．
27.
（1）
又
又
（2）设，则.
过作,为垂足，
为中点.
.
.
.
四棱锥P-ABCD的侧面积为：
,
。
28.
解：（1）如图，取的中点，连接，，所以为的中位线，所以，.
因为四边形为矩形，为的中点，所以，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）因为底面，所以，.又，，所以平面，又平面，所以.
在中，，
所以为等腰直角三角形，所以，又是的中点，所以.
又，故，
又，所以平面.
29.
解：（Ⅰ）如图，取AE的中点O，连接PO，OB，BE．
由于在平面图形中，如题图1，连接BD，BE，易知四边形ABED为正方形，
∴在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，
∴PO⊥AE，OB⊥AE，PO=OB=，
∵PB=2，∴，
∴PO⊥OB………………………………………………………………3分
又，∴平面PO⊥平面ABCE，
∵PO平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABCD……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PO⊥AE，OB⊥AE，，故AE⊥平面POB．
∵PB平面POB，∴AE⊥PB，又BC//AE，∴BC⊥PB．
在Rt△PBC中，
在△PEC中，PE=CE=2，
∴………………………………9分
设点B到平面PCE的距离为d，由，
得…………………………12分
30.
（1）证明：底面是棱形，对角线，
又平面平面，
又为中点，平面.
（2）连平面平面，平面平面，
，在三角形中，是的中点，是的中点，取的中点，连，
则底面，且，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，，
.
31.
(Ⅰ)证：∵M为DB的中点，取BC中点G，连接EM、MG、AG，则
MG∥DC，且 2分
∴MG∥AE且MG = AE 4分
故四边形AGME为平行四边形，∴EM∥AG 6分
又AG⊂平面ABC，EMË平面ABC，∴EM∥平面ABC． 8分
(Ⅱ)解：由己知，AE = 2，DC = 4，AB⊥AC，且AB = AC = 2
∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB
又AB⊥AC，∴AB⊥平面ACDE
∴AB是四棱锥B－ACDE的高 10分
梯形ACDE的面积
∴，即所求几何体的体积为4． 12分
32.
（1）证明：∵为的中点，故为的中点，三棱柱为直三棱柱，
∴平行四边形为正方形，∴，
∵，为的中点，∴，
∵三棱柱为直三棱柱，
∴平面，又平面，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴． ...............................6分
（2）设，则
由已知可得到平面的距离即为的边所对的高，
∴
∴当，即为的中点时，有最小值18． ...............................12分
33.
34.
（1）连接交于点O由题意知O为的中点,D为BC中点，所以，因为平面， 平面，所以 平面 …………6分
（2）。 …………12分
35.
解法一：（1）证明：取的中点，连接.
因为点为棱的中点，
所以且，
因为且 ，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为，
所以.
因为，所以，
所以，
因为,平面，平面,
所以平面.
因为点为棱的中点，且，
所以点到平面的距离为2.
.
三棱锥的体积.
解法二：（1）证明：在平面内，分别延长，交于点.
因为，
所以为中点.
又因为为的中点，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）同解法一.
解法三：（1）证明：取棱的中点，连接，
因为点为棱的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
因为，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
又因为,平面，平面，
所以平面平面；
因为平面，
所以平面.
（2）同解法一.
36.
（1）连接EF，∵，∴四边形ABEF为平行四边形，∴，
在矩形ABCD中，，∴，∴四边形CDFE为平行四边形，
∴.∴平面.
（2）连接PB，由题意知，，
∴.
37.
解：（1），
由余弦定理得，，
故
又点在底面内的正投影为点，平面，又平面
，又平面，
（2）连接平面平面
又为的中点，
设，则
，即
，又
在等腰中，
梯形的面积为
.
38.
解：（1）证明：
点在线段的中垂线上，即有
又平面，而平面，
又平面平面平面
（2）设，由（1）可知，可建立如图空间直角坐标系，
不妨设，又，易知，，而
，
，在中，，
则
设平面的法向量为，则，而
，不妨设，则可取
同理可得平面的法向量为
设二面角的平面角为
则二面角的平面角为.
39.
解：（1）证明：∵底面为菱形，∴.
在直四棱柱中，底面，∴.
∵，∴平面，
又平面，∴平面平面.
（2）解：设与交于点，连接，
过作，为垂足，即为在平面内的正投影.（若只是作图而不写作法，则不给分）
理由如下：
∵平面，∴，
又，，∴平面，
∴，又，∴平面.
∵，，
∴，由得，
过作，垂足为，由得.
∴.
40.
证明：（Ⅰ）连BD，由已知⊿ABD和⊿PAD都是边长为2的正三角形
又N为AD的中点，∴AD⊥PN, AD⊥BN, ∴AD⊥面PBN
（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，且交于AD,又PN⊥AD,∴PN⊥面ABCD,∴PN⊥NB
由⑴知BC//AD, AD⊥面PBN，∴BC⊥面PBN.又M为PC中点，
41.
（1）证明：连接交于，取中点，连接，，
因为，，又，
所以，，从而，平面，平面，
所以平面．
（2）解：连接，可计算得，，，，，设点到平面的距离为，
则由，，
得，所以由，
知，所以，
所以与平面所成角的正弦值为．
42.
（Ⅰ）取中点，连接，
由已知,故为平行四边形，
所以 ，因为，故.
又，所以，
，所以.
由已知可求，，所以，
所以，又，所以.
（Ⅱ）已知是棱的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
由（Ⅰ）知，所以在直角三角形中，，，
在中，，，又，
所以，所以.
所以 的面积为.
三棱锥的体积为，
三棱锥的体积，
又，所以，，
故点到平面的距离为.
43.
（1）证明：因为平面，平面，
平面平面，所以
因为平面，平面，所以平面
（2）因为是的中点，，所以为的中点.
又因为，所以
又，，所以，
，平面，，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
44.
(Ⅰ)∵PA=PD，AO=OD,∴PO⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BO⊥AD，
PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB
又AD⊂平面PAD，∴平面POB⊥平面PAD；
（Ⅱ）方法一
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵ 平面ABCD
∴PO⊥OB
∵为等边三角形， ,∴，
∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴
∴
由(Ⅰ) AD⊥平面POB∴BC⊥平面POB
∴
方法二
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵为等边三角形， ,∴，
∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
由(Ⅰ)BO⊥AD∴
∵PM=2MC
∴
45.
（Ⅰ）连接交与 ------1分
， ------3分
, -------4分
直线⊥平面 -------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得-------6分
-------7分
-------8分
-------9分
-------10分
-------11分
-------12分
46.
证明：（1）在中，因为是的中点，是的中点，
所以. ..............4分
又平面，平面，
所以平面. ..............6分
（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，
又，即，而面，且，
所以面. ..............8分
而面，所以，
又是正方形，所以，而面，且，
所以面. .............12分
又面，所以面面. ..............14分
47.
（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.
∵底面为矩形，∴，
∴.
（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.
∵平面平面，∴平面.
∴.又,
∵平面，∴平面平面.
（Ⅲ）如图，取中点，连接.
∵分别为和的中点，∴，且.
∵四边形为矩形，且为的中点，
∴，
∴，且，∴四边形为平行四边形，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
48.
本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．
（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．
（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．
在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．
在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．
在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．
所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．
（Ⅲ）解：连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD==4．
在Rt△CMD中，．
所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．
49.
解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．
因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．
又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．
而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．
证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．
连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．
MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．
50.
解：（1）直线与平面没有公共点，理由如下：
连接，交于点，连接．
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵平面，平面，
∴平面，即直线与平面没有公共点.
（2）∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
∵，平面，平面，∴平面，
∴三棱锥的高等于点到平面的距离，即，
∵，
∴．
51.
（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD
AC
∴PD⊥AC ………………2分
∵四边形ABCD是菱形
∴BD⊥AC ………………3分
又且PD，BD
∴AC⊥面PBD，PB
∴AC⊥PB. ………………6分
（Ⅱ）解：∵O是菱形ABCD对角线的交点
∴O是BD的中点
∵E是PB的中点
∴OE是ΔBPD的中位线，即OE∥PD，且OE=
∵PD⊥平面ABCD ∴OE⊥平面ABCD
∴OE为三棱锥E—ABC的高 ………………9分
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=600 ，
∴BC=AB=2，∠ABC=1200
∴==
∴ ………………12分
52.
解：
（1）因为为的中点，所以，
且．连结，因为，所以为等腰直角三角形，且，
由知，，
由，知平面；
（2）作，垂足为，
又由（1）可得，所以平面，
故的长为点到平面的距离．
由题设可知，
所以．
所以点到平面的距离为．
53.
（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，
∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．
EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；————————————-—————5分
（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，
∴V==，∴AB=，PB==．
作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：
A到平面PBC的距离．————————————————————————12分
54.
解：
（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．
连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．
由知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．
所以OM=，CH==．
所以点C到平面POM的距离为．
55.
证明：（1）取的中点，连接，，因为∥，，且，所以，且GH∥EB，所以四边形为平行四边形，EG∥BH，面，故 ∥面.
解：（2）因为面面，所以，，两两垂直，连接，所求的几何体分为两部分，四棱锥与三棱锥，
，
，
∴多面体AD-BCFE体积为2×=
56.
解：（Ⅰ）取中点为，连结， 1分
∵分别为中点
∴∥∥，∴四点共面， 3分
且平面∩平面
又平面，且∥平面∴∥ 5分
∵为的中点，∴是的中点，∴． 6分
（Ⅱ）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，∴，
又，则平面
设，又三角形是等腰三角形，所以.
如图，将几何体补成三棱柱，∴几何体的体积为：
9分
又直三棱柱体积为： 10分
故剩余的几何体棱台的体积为： 11分
∴较小部分的体积与较大部分体积之比为：． 12分
57.
（1）证明：取的中点，连接
因为分别是的中点，所以在菱形中，，
在中，
又，所以，
，所以平面平面，
平面，所以平面.
（2）证明：连结，
是边长为2的等边三角形，所以，，
四边形是菱形，∴，∵，
∴，
∵，∴，
∴
又，所以平面
平面，所以平面平面.
58.
解：(1)△PAD是边长为2的等边三角形, M是AD中点
PM⊥AD, PM平面PAD
又平面PAD⊥底面ABCD
平面PAD∩底面ABCD=AD
∴PM⊥底面ABCD
又BM底面ABCD, PM⊥BM, △PMB是直角三角形
在等边△PAD中，PM=，又PB=， MB=
∠BAD=60○, 在△ABM中, 由余弦定理：MB2 = AM2+AB2-2AM×AB×cos60○
得：AB2 - AB -2=0, 即AB=2， △ABD也是等边三角形，
BM⊥AD
平面PAD∩底面ABCD=AD
BM底面ABCD
∴BM⊥平面PAD
又BM平面PMB
平面PMB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（Ⅰ）知底面ABCD是菱形. 连接CM, 在△DMC中，∠MDC=120○,
由余弦定理：MC2 = MD2+CD2-2MD×CD×cos120○ =12+ 22-2×1×2×=7
得： MC=， 在直角形△PMC中， ：PC2 =PM2+MC2=
在△PDC中，由余弦定理：
在△PAB中，由余弦定理：
, ，余弦函数在是减函数
∠PDC >∠PAB，
而，
，即△PDC与△PAB面积相等.
(注：没有通过计算出面积，能够说明面积相等原因的，仍然是满分)
59.
（1）证明：取的中点，连接，，
；
（2）解：，
∴若最大，则最大.
∴平面平面.
此时.
60.
证明: (I)由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，
又为等腰三角形，故，且，
从而.所以为直角三角形， .
又AO∩BO=O.
所以平面即.
(Ⅱ)设到平面的距离为，则由(I)知:三棱锥
即
为等腰直角三角形，且腰长为2.
的面积为
面积为，
到平面的距离为.
61.
证明：(1)∵折后A，B，C，D重合于一点O，
∴拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，
∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，…………………2分
∵在原平面图形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，
∴SE=SG，∴EG⊥SO，……………………………………4分
又∵EG⊂平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．………………………6分
（2）解：依题意，当时，即
Rt△SHO中，SO=5，，……………10分
Rt△EMO中，，
∴． ……………12分
62.
（1）在图1中，由题意知，
在中，由余弦定理知
所以，
所以，，
在沿直线折起的过程中，与的垂直关系不变，
故在图2中有
又，所以平面，所以.
（2）如图2，因为平面底面，
由（1）知，且平面底面，
所以底面，
所以为三棱锥的高，且
又因为在图1中，
所以
故三棱锥的体积为.
63.
（1）证明：过点做，垂足为，连接，由可证出，所以即.又，，所以平面.又平面，所以.
（2）在图1中，过点作，垂足为，连接.因为平面平面，所以面，又，所以由三垂线定理知.
因此为二面角的平面角.
在中，.
由知，，因此，从而得，即二面角的正弦值为.
64.
（1）证明: 连接，设，连接.
∵，∴.
又为的中点，∴.
∴平面，∴.
∵，∴.
又四边形是平行四边形，则四边形为矩形.
（2）解：由，可得，∴.
由平面，可得平面平面，且交线为.
过点作，垂足为点，则平面.
因为平面,∴，即.
在中，可得.
所以四棱柱的体积为.
65.
（1）在长方形中，因为，是的中点，
所以，从而，所以.
又因为，，所以平面.
（2）因为，所以，
因为是的中点，所以，.
设点到平面的距离为，
由（1）知平面，因为，
所以，所以，
所以.
66.
证明（1）：如图，连接，因为是的中点，是的中点， ………………………………1分
所以在中， ……………………………3分
，
………………………………5分
所以 ………………………………6分
（2）解：由等体积法，得
因为是的中点，所以点到平面的距离是点
到平面的距离的一半. ………………………………………………8分
如图，作交于点，由正三棱柱的性质可知， 平面.设底面正三角形的边长，则三棱锥的高， …………………………………………10分
所以，解得
所以该正三棱柱的底面边长为. ……………………………………………………………12分
67.
（1）证明：由四边形为菱形，，可得，为正三角形. 因为M为的中点，所以. ………2分
又，因此. 因为平面，平面，所以.
而，所以平面. ………………5分
（2）连接、.由（Ⅰ）可知：平面.则为与平面所成的角.
在中，，所以当最短时，最大， ……………7分
即当时，最大，此时，
因此.又，所以，于是. …10分
设点A到平面的距离为d，
则由，得，
所以，点A到平面的距离为 …………12分
68.
（Ⅰ）证明：连接AC交BD于G，连接EG，
∵ ，又 ，
∴ ，∴ PC∥EG，
又EG平面EBD，PC平面EBD，
∴ PC∥平面EBD.
…………………………………………… 6分
（Ⅱ） ∵ PB⊥平面ABCD， ∴ AD⊥PB.
又∵ AD⊥AB，∴ AD⊥平面EAB.
作AH⊥BE于H，连接DH，则DH⊥BE，
∴ ∠AHD 是二面角A—BE—D的平面角.
在△ABE中，AE=，由余弦定理可得BE=，
由△ABE 的面积得：AH=，
∴ tan∠AHD==，
故 二面角A—BE—D的正切值为. ……………………………… 12分
69.（1）见解析；（2）．
试题分析：（1）通过证明平面内的平面，可证得平面平面.
（2）利用，可求得所求体积.
试题解析：（1）证明：如图，分别取，的中点，，连接，，，，则四边形为正方形，
∴，∴，
又，∴，
∴平面，∴，
∵，∴．
又∵与为平面内的两条相交直线，∴平面，
又平面，∴平面平面．
（2）解：∵且，则由，知．
∵，分别是，的中点，∴三棱锥与三棱锥的高均等于，
∴，
，
又，
∴．
70.
（1）由题意，平面，平面，可得，又△为等边三角形，点为边的中点，可得，与相交于点，则平面，平面，所以，平面平面．
（2）因为△为直角三角形，，
所以，
由（1）可知，在直角三角形中，
，，
可得，
故，
所以，三棱柱的体积为．
71.
（Ⅰ）证明：如图，连接.由题设可知，.
∵，
∴.
而，，
∴平面.
∵平面，
∴.
（Ⅱ）如图，连接，.
∵，又，，
∴.
又，
∴平面，即平面.
∴，.
设点到平面的距离为，由，
得，解得.
∴点到平面的距离为.
72.
解：（1）连接，设与的交点为，则为的中点，连接，又是的中点，所以.又平面，平面，所以平面.
（2）由，是的中点，所以，
在直三棱柱中，，，所以，
又，所以，，所以.
设点到平面的距离为，因为的中点在平面上，
故到平面的距离也为，三棱锥的体积，
的面积，则，得，
故点到平面的距离为.
73.
（Ⅰ）证明：如图，
连接∵，都是正三角形，
∴，
设为的中点，∴，，
在Rt中，，∴，
∵为的中点，∴，
在等腰中，，，∴，
在中，，，，
∵，∴，
又∵，
∴平面，
又∵平面，
∴平面平面．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，
设点到平面的距离为，则，
即，
∴，
∴点到平面的距离为．
74.
（1）取中点，连接，
根据题意可知，四边形是边长为2的正方形，所以，
易求得，所以，于是；
而，所以平面，又因为，所以平面；
（2）连接，则，
由（1）可知平面平面，
所以，
所以．
75.
（Ⅰ）∵四边形是菱形，∴，
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
在中，，，设，计算得，，
在梯形中，，，，，
梯形的面积，
∴四棱锥的体积为.
（Ⅱ）在平面内作，且，连接交于，
则点满足，证明如下：
∵，，
∴，且，且，∴四边形是平行四边形，
∴，，
又菱形中，，，∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，即，
∵，∴，又，∴.
76.
（1）由已知得：
所以∽
所以，所以
又因为，是的中点，所以
所以平面，所以
而，所以平面
又平面，
所以平面平面；
（2）设三棱锥的高为，因为,
所以，
由，得：，
所以，所以,
由，得：，所以.
77.
（I）连接、相交于点.
∵平面，而平面，
∴
∵四边形为菱形，∴
∵，∴平面
∵、分别为、的中点，∴，
∴平面，而平面，∴
(II）菱形中，，得.
∵，
∴，
∵ 平面，即平面，
∴
显然，当点与点重合时，取得最大值2，此时
且，，则
∵是中点，所有到平面的距离等于到平面的距离，
又∴，求得
∴到平面的距离为.
78.
解：（1）∵是等边三角形，为的中点，
∴，∴平面，得.①
在侧面中，
，，
∴，
∴，∴.②
结合①②，又∵，∴平面，
又∵平面，∴平面平面
（2）中，易求，，
得
中，易求，
得
设三棱锥的体积为，点到平面的距离为.
则，得，.
79.
（Ⅰ）因为，，
所以四边形是平行四边形. 所以
因为平面，平面，
所以平面 …………………… 4分
（Ⅱ）因为平面平面,，平面，
所以平面
因为平面，所以
因为，，平面，平面，
所以平面
因为，
所以平面 …………………… 9分
（Ⅲ）假设存在，过点作， 交于，
由（Ⅱ）可知平面 ，又因为平面，
所以 又因为，，所以平面
因为平面，
所以. …………………… 12分
连接，因为，， 所以△的面积是.
所以 所以
所以 …………………… 14分
80.
【分析】（Ⅰ）连接BD交AE于点O，推导出Rt△ABD～Rt△DAE，从而得到OB⊥AE，OD'⊥AE，由此能证明AE⊥平面OBD'．
（Ⅱ）由VA﹣BCD'=VD'﹣ABC，能求出三棱锥A﹣BCD'的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）连接BD交AE于点O，依题意得，
所以Rt△ABD～Rt△DAE，
所以∠DAE=∠ABD，所以∠AOD=90°，所以AE⊥BD，
即OB⊥AE，OD'⊥AE，又OB∩OD′=O，
OB，OD'⊂平面OBD'．
所以AE⊥平面OBD'．
解：（Ⅱ）因为平面AD'E⊥平面ABCE，
由（Ⅰ）知，OD'⊥平面ABCE，
所以OD'为三棱锥D'﹣ABC的高，
在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，DE=1，所以，
所以VA﹣BCD'=VD'﹣ABC==
即三棱锥A﹣BCD'的体积为．
【点评】本题考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想、函数与方程思想，数形结合思想，是中档题．
81.
证明：（1）由是菱形，
面面面
由是矩形
面面面
面面面面.
（2）连接
由是菱形，
由面面
面面，
则为四棱锥的高
由是棱形，，则为等边三角形，
由；则
，
.
82.
【分析】（Ⅰ）连接BD，推导出AC⊥BD，AC⊥FD，从而AC⊥平面BDF．推导出EB∥FD，从而B，D，F，E四点共面，由此能证明EF⊥AC．
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO，由VE﹣FAC=VA﹣FEO+VC﹣FEO，能求出三棱锥E﹣FAC的体积．
【解答】证明：：（Ⅰ）连接BD，因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
因为FD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥FD．
因为BD∩FD=D，所以AC⊥平面BDF．
因为EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，所以EB∥FD．
所以B，D，F，E四点共面．
因为EF⊂平面BDFE，所以EF⊥AC．
解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO．
由（Ⅰ）知，AC⊥平面BDFE，
所以AC⊥平面FEO．
因为平面FEO将三棱锥E﹣FAC分为两个三棱锥A﹣FEO和C﹣FEO，
所以VE﹣FAC=VA﹣FEO+VC﹣FEO．
因为正方形ABCD的边长为a，，
所以，．
取BE的中点G，连接DG，则FE=DG=．
所以等腰三角形FEO的面积为=．
所以VE﹣FAC=VA﹣FEO+VC﹣FEO====．
所以三棱锥E﹣FAC的体积为．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
83.
84.
证明：(1)由圆柱性质知：平面，
又平面，∴，
又是底面圆的直径，是底面圆周上不同于两点的一点，∴，
又，平面，
∴平面.
(2)解法1：过作，垂足为，由圆柱性质知平面平面，
∴平面，又过作，垂足为，连接，
则即为所求的二面角的平面角的补角，
，易得，，，
∴，
由(1)知，∴，
∴，∴，
∴所求的二面角的余弦值为.
解法2：过在平面作，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵，，∴，∴，，，
∴，，
平面的法向量为，设平面的法向量为，
，即，取，
∴，
∴所求的二面角的余弦值为.
解法3：如图，以为原点，分别为轴，轴，圆柱过点的母线为轴建立空间直角坐标系，则
，，，，，
∴，，，，
设是平面的一个法向量，
则，，即，令，则，，
∴，，
设是平面的一个法向量，
则，，即，令，则，.
∴，，
∴，
∴所求的二面角的余弦值为.
解法4：由(1)知可建立如图所示的空间直角坐标系：
∵，，∴，∴，，，，
∴，，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
∴，，
即，，
，取，
∴.
∴所求的二面角的余弦值为.
85.
（1）由题意知，平面，平面，
∴平面，又，平面，平面，
∴平面.
∵，，平面，
∴平面平面，又平面，
∴平面.
（2）连接，，且，
∵四边形为菱形，
∴，又平面，
∴，又，
∴平面，又，∴，
∵，，∴，
∴，
∴该几何体的体积为.
86.
解：（1）在梯形中，
∵，，，
∴，∴，
∴，∴.
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
（2）取的中点，连接，由题意知，
∴平面，且，
故.
87.
（Ⅰ）证明：在中，，由已知，，，解得，所以，即，得．
在中，∵，，，
∴，∴，
∵平面，，
∴平面．
（Ⅱ）由题意可知，平面，则到平面的距离等于到平面的距离，由平面，则，
在中，易求，
，且，
即，则，
即点到平面的距离．
88.
（1）取AB的中点E，连结CE、ME.………………………………………………1分
∵M为AB1的中点 ∴ME∥BB1∥AA1
又∵AA1平面ADD1A1 ∴ME∥平面ADD1A1……………………………………………3分
又∵AB∥CD，CD= AB ∴AE平行且等于CD ∴四边形AECD为平行四边形 ∴CE∥AD又∵AD平面ADD1A1 ∴CE∥平面ADD1A1
又∵ME∩CE=E ∴平面CME∥平面ADD1A1………………………………………………5分
又∵CM平面CME ∴CM∥平面ADD1A1………………………………………………6分
（2）由（1）可知CM∥平面ADD1A1，所以M到平面ADD1A1的距离等价于C到平面ADD1A1的距离，不妨设为h，则. ………………………………………………8分
………………………9分
在梯形ABCD中，可计算得AD= ，…………………………………………………10分
则…………………11分
∴= ，得，即点M到平面ADD1A1的距离…………………………12分
（另解：可在底面过E点做出E点到平面ADD1A1的垂线段）.
89.
（Ⅰ）连接，由知，点为的中点，
又∵为圆的直径，∴，
由知，，
∴为等边三角形，从而． 3分
∵点在圆所在平面上的正投影为点，
∴平面，又平面，
∴，-----------------5分
由得，平面． 6分
（Ⅱ）法1：过作平面交平面于点.
由（Ⅰ）可知，，
∴． 9分
又，，，
∴为等腰三角形，则．
由得， 12分
90.
（1）证明：取中点，连接，设，，
依题意得，四边形为正方形，且有，，
所以，所以，
又平面底面，平面底面，底面，
所以平面. 又平面，所以平面平面
（2）过点作的垂线，交延长线于点，连接，
因为平面底面，平面底面，
平面，所以底面，故为斜线在底面内的射影，
为斜线与底面所成的角，即
由（1）得，，所以在中，，，，
在中，，，，由余弦定理得，
所以，从而，
过点作，所以底面，
所以两两垂直，如图，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，
，，
设平面的法向量
得 取得，
设平面的法向量
得，取得，，
所以
故所求的二面角的余弦值为.
91.
【分析】（1）推导出MN∥PA，从而MN∥平面PAB，再推导出CN∥AB，从而CN∥平面PAB，由此能证明平面CMN∥平面PAB．
（2）点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离，三棱锥P﹣ABM的体积V=VM﹣PAB=VC﹣PAB=VP﹣ABC，由此能求出结果．
【解答】证明：（1）∵M，N分别为PD，AD的中点，
∴MN∥PA．
又∵MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MN∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CN=AN，∴∠ACN=60°．
又∵∠BAC=60°，∴CN∥AB．
∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB．
又∵CN∩MN=N，∴平面CMN∥平面PAB．…（6分）
解：（2）由（1）知，平面CMN∥平面PAB，
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．
由已知，AB=1，∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴，
∴三棱锥P﹣ABM的体积：
．…（12分）
【点评】本题考查面面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
92.
【分析】（1）推导出CD⊥AD，CD⊥PA，从而CD⊥面PAD，进而AM⊥CD，再求出AM⊥MC，从而AM⊥面PCD，由此能证明面ABM⊥面PCD．
（2）三棱锥P﹣AMC的体积VP﹣AMC=VC﹣PAM，由此能求出结果．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA⊥面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，
∴CD⊥面PAD，∵AM⊂面PAD，∴AM⊥CD，
∵AC为直径的球面交PD于M，∴AM⊥MC，
∵CD与MC是面PCD内两条相交直线，
∴AM⊥面PCD，
∵AM⊂平面ABM，∴面ABM⊥面PCD．…6（分）
解：（2）∵PA=AD=4，等腰直角三角形PAD面积为S=8，CD=2
∴三棱锥P﹣AMC的体积：
VP﹣AMC=VC﹣PAM=VC﹣PAD=•S•CD=…12（分）
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想，是中档题．
93.
【分析】（1）由AF⊥面BCE，且DE∥AF，即可得DE⊥面BCE．
（2）取BF中点G，连结EG，过O作OH垂直EG于H，则有OH⊥面BEF．
如图以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（0，﹣，0），E（0，0，2），O（0，0，0），G（）
二面角H﹣AE﹣O等于二面角G﹣AE﹣O，利用面AEG、面AEO的法向量求解．
【解答】解：（1）∵正方形ABFC的对角线AF、BC互相垂直，面ABFC⊥面ADEF，ABFC∩面ADEF=AF
∴AF⊥面BCE，且DE∥AF，∴DE⊥面BCE．
（2）∵∠DAF=90°，面ABFC⊥面ADEF，ABFC∩面ADEF=AF∴DA⊥面ABFC．
∵正方形ABFC的边长为2，DE=，ED∥AF，∴EO⊥面ABFC．
取BF中点G，连结EG，过O作OH垂直EG于H，则有OH⊥面BEF．
如图以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．
则A（0，﹣，0），E（0，0，2），O（0，0，0），G（）
二面角H﹣AE﹣O等于二面角G﹣AE﹣O，
设面AEG的法向量为，，．
，取．
面AEO的法向量为．
cos＜＞=﹣．
∴二面角H﹣AE﹣O的余弦值为：
【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．
94.
【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．
（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．
【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…
=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），
∴cos＜，＞===﹣，
∴CE与PD所成角的余弦值为．…
（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴，
∴F（λ，λ，﹣2λ），=（λ，λ﹣1，2﹣2λ），
又=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣，1）．
设为平面CDE的法向量，
则，取x=1，得=（1，0，1），…
设直线BF与平面CDE所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜，＞|==，…
令t=2﹣λ，则t∈[1，2]，∴sinθ==，
当，即t=∈[1，2]时，有最小值，此时sinθ取得最大值为，
即BF与平面CDE所成的角最大，此时=，即λ的值为． …
95.
.(1)证明：直三棱柱中，平面，
所以：，又，
所以：平面，平面，
所以：平面平面.
(2)到平面的距离.
所以：，
而：，所以.
96.
（I）证明：在△ADB中，∵∠DAB=45° AB=AD=2，∴AD⊥BD
取AD中点O，AB中点N，连接ON，则ON∥BD，
∴AD⊥ON又∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，AD⊥OE，
∴EO⊥平面ABCD，
∴以O为原点，OA，ON，OE分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图取BD的中点H，连接FH，OH，则OH∥AB∥EF，且OH=EF，
∴FH∥EO，
∴FH⊥平面ABCD，
∴D（-1,0,0） B（-1,2,0） H（-1,1，） F（-1,1，） C（-3,2,0） M（-2,2,0），
∴=（0,2,0） =（1,0，） =（1，-1，），
设平面AED的一个法向量为（x，y，z），则∴
不妨设=（，0，-1）
∴⊥，
又∵MF平面AED
∴直线MF∥平面AED
（II）解：∵=（-2,0,0），=（0，-1，）
设平面FBC的一个法向量为（x，y，z），则∴
不妨设=（0，，1）
设平面BED与平面FBC所成的角为
则丨cos丨=丨丨=，∴sin
∴平面BED与平面FBC所成角的正弦值为
（III）解：直线BF与平面BED所成角为a，
则sina=丨cos<>丨=丨丨=。
∴直线BF与平面BDE所成角的正弦值为
97.
（1）设的中点为，连接,
由题意，∥且,∥且
故∥且，所以，四边形为平行四边形
所以，∥,又
所以，∥平面……6分
（2）由（1），点到平面的距离等于点到平面的距离，设为.
由条件易求，
故 ，
所以由得
解得……12分
98.
证明： ，，
，且
，
， 又
（2）
99.（1）面面，，则面，
面，∴，
，，
∴，，
∴，
∴，，∴面.
（2），即，解，
即点到面距离为.
100.
(1)证明:取中点,连接,∵底面,底面,,且 平面,又平面,所以.
又∵,H为PB的中点, ,又,平面,在中,分别为中点, ,又, ,
，∴四边形是平行四边形,∴、平面.
(2)解:由(1)知,，∴,又,且,
平面,是三棱锥的高,又可知四边形为矩形,且, ,所以.
另解:是的中点,∴到平面的距离是到平面的距离的一半，
所以.
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