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- 2021-06-16 发布
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天天练23 不等式的性质及一元二次不等式
小题狂练
一、选择题
1．若a>b>0，cbd B．acbc
答案：B
解析：根据c－d>0，由于a>b>0，故－ac>－bd，acbc2，则a>b；②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b，则>.其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：B
解析：因为ac2>bc2，可见c2≠0，所以c2>0，所以a>b，故①正确．因为a>b，c>d，所以根据不等式的可加性得到a＋c>b＋d，故②正确．对于③和④，用特殊值法：若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，故③错误；若a＝2，b＝0，则无意义，故④错误．综上，正确的只有①②，故选B.
3．[2019·南宁二中、柳州高中两校联考(二)]设a>b，a，b，c∈R，则下列结论正确的是( )
A．ac2>bc2 B.>1
C．a－c>b－c D．a2>b2
答案：C
解析：当c＝0时，ac2＝bc2，所以选项A错误；当b＝0时，无意义，所以选项B错误；因为a>b，所以a－c>b－c恒成立，所以选项C正确；当a≤0时，a20的解集是( )
A.
B．(－∞，－1)∪
C.
D.∪(1，＋∞)
答案：B
解析：2x2－x－3>0可化为(x＋1)(2x－3)>0，解得x>或x<－1，所以不等式2x2－x－3>0的解集是(－∞，－1)∪.故选B.
5．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，则a＋b＝( )
A．1 B．0
C．－1 D．－3
答案：D
解析：由题意得，不等式x2－2x－3<0的解集A＝(－1,3)，不等式x2＋x－6<0的解集B＝(－3,2)，所以A∩B＝(－1,2)，即不等式x2＋ax＋b<0的解集为(－1,2)，所以a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.
6．不等式>1的解集为( )
A.
B．(－∞，1)
C.∪(1，＋∞)
D.
答案：A
解析：原不等式等价于－1>0，即>0，整理得
eq f(x－1,2x－1)<0，
不等式等价于(2x－1)(x－1)<0，解得0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－，又－≤－2，当且仅当x＝1时取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
解法二 设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a.
当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1>0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；
当－a>0，即a<0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，得－1≤a<0.
综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
8．[2019·安徽蒙城、淮南等“五校”联考]在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是( )
A．(－3,5) B．(－2,4)
C．[－3,5] D．[－2,4]
答案：D
解析：关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为10)的解集为________．
答案：{x|－a0，∴－a<3a，则不等式的解集为{x|－ab，c>d，则a－d>b－c；
②若a2x>a2y，则x>y；
③若a>b，则>；
④若<<0，则abb，c>d，所以－d>－c，由同向不等式的可加性得a－d>b－c，故①正确；因为a2x>a2y，所以a2>0，所以x>y，故②正确；当b＝0时，不等式不成立，故③不正确；因为<<0，所以b0，即Δ＝(m－2)2－4(m－1)·(－1)>0，得m2>0，所以m≠1且m≠0.由根与系数的关系得因为＋＝＝m－2，所以＋＝2－＝(m－2)2＋2(m－1)≤2，所以m2－2m≤0，所以0≤m≤
2.所以m的取值范围是{m|0b2
C．a＋b<0 D．|a|＋|b|＝|a＋b|
答案：A
解析：由<<0可得ab2，故A错，故选A.
2．[2019·豫西南联考]如果a>0>b且a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是( )
①a2b0>；③a3b2，b<0，所以a2bb2，a＞0，所以a3>ab2，故③错误；所以正确的个数为2，故选C.
3．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
答案：B
解析：∵M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)又a1，a2∈(0,1)，故(a1－1)(a2－1)>0，故M>N.
4．[2019·广州模拟]已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－30的解集为( )
A.
B.
C．{x|－32}
答案：A
解析：由题意得解得a＝－1，b＝－6，所以不等式bx2－5x＋a>0为－6x2－5x－1>0，即(3x＋1)(2x＋1)<0，所以解集为，故选A.
5．[2019·浙江名校协作体月考]以方程x2＋px＋1＝0的两根为三角形两边之长，第三边长为2，则实数p的取值范围是( )
A．(－∞，－2)
B．(－∞－2]∪[2，＋∞)
C．(－2，2)
D．(－2，－2)
答案：D
解析：设三角形的三边分别为a，b，c.
由题意可知a＋b>2，|a－b|<2，
所以p<－2，|a－b|2＝(a＋b)2－4ab＝p2－4<4，
解得－20的解集为{x|－10的解集为( )
A.
B.
C．{x|－21}
答案：A
解析：由题意，知ax2＋bx＋2＝0的两根为－1,2，且a<0，即－1＋2＝－，－1×2＝，解得a＝－1，b＝1，则不等式2x2＋bx＋a>0，即2x2＋x－1>0，则不等式的解集为，故选A.
7．[2019·河南洛阳诊断]若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，＋∞) D.
答案：B
解析：由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是解得－≤a≤1，故选B.
8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a2－1，若关于x的不等式f(f(x))<0的解集是空集，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
答案：C
解析：函数f(x)＝x2－2ax＋a2－1＝x2－2ax＋(a＋1)(a－1)＝[x－(a－1)][x－(a＋1)]，由f(x)<0，得a－10的解集是______________．
答案：(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)
解析：由题意可知原不等式可转化为|x|2－3|x|＋2>0，解得|x|<1或|x|>2，所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)．
11．已知不等式mx2－2x－m＋1<0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析：不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，1－2x<0，则x>，不满足题意；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即
不等式组的解集为空集，即m无解．
综上可知不存在这样的m.
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