【数学】2020届一轮复习人教A版第62课等比数列作业（江苏专用） 5页

随堂巩固训练(62)‎ ‎ 1. 设Sn是等比数列{an}的前n项和，若a5＋2a10＝0，则＝　　.‎ 解析：设等比数列的公比为q，则由a5＋2a10＝0，得q5＝－，所以＝＝1＋q10＝1＋＝.‎ ‎ 2. 在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，则log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为　　.‎ 解析：由题意得a4a5a6＝a＝3，解得a5＝3. 因为a1a9＝a2a8＝a，所以log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)＝log3a＝log33＝. ‎ ‎ 3. 设数列{an}是首项为1，公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则数列{an}的公差为　2　.‎ 解析：设公差为d，其中d≠0，则S1，S2，S4分别为1，2＋d，4＋6d. 由S1，S2，S4成等比数列，得(2＋d)2＝4＋6d，即d2＝2d. 因为d≠0，所以d＝2.‎ ‎ 4. 若正项等比数列{an}中，a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝　14　.‎ 解析：设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，则q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.‎ ‎ 5. 已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是　－5　.‎ 解析：由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，得log3an＋1－log3an＝1，即log3＝1，解得＝3，所以数列{an}是公比为3的等比数列. 因为a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3，所以a5＋a7＋a9＝9×33＝35，所以log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－5.‎ ‎ 6. 在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为　　.‎ 解析：因为a3a4a5＝3π＝a，所以a4＝3.log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2·…·a7)＝log3a＝7log33＝，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝.‎ ‎ 7. 若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于　9　.‎ 解析：由题意知a＋b＝p，ab＝q，因为p＞0，q＞0，所以a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有a，－2，b；b，－2，a，所以或解得或 所以p＝5，q＝4，所以p＋q＝9.‎ ‎ 8. 在正项等比数列{an}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，则a5＋a6的最小值为　48　.‎ 解析：设 a2＋a1＝x>0，等比数列的公比为q，则a4＋a3 ＝xq2，a5＋a6 ＝xq4.由a4＋a3－2a2－2a1＝6，得 xq2＝6＋2x，所以x＝＞0，q＞，所以a5＋a6 ＝xq4 ＝＝6·＝6(q2＋2＋)＝6≥6×(4＋4)＝48，当且仅当q2－2＝2，即q＝2时，等号成立，故a5＋a6的最小值为48.‎ ‎ 9. 已知正项等比数列{an}满足a2 015＝2a2 013＋a2 014，若存在两项am，an，使得＝4a1，则的最小值为　　.‎ 解析：设{an}的公比为q(q>0).由a2 015＝2a2 013＋a2 014，可得a2 013·q2＝2a2 013＋a2 013·q，所以q2－q－2＝0，所以q＝2.因为＝4a1，所以qm＋n－2＝16，所以m＋n＝6.＝(m＋n)(＋)＝(5＋＋)≥，当且仅当＝，即m＝2，n＝4时取等号，故的最小值为. ‎ ‎10. 已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，则数列{an}的通项公式an＝　　.‎ 解析：由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).因为数列{an}的各项都为正数，所以＝，故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.‎ ‎11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.‎ ‎(1) 设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；‎ ‎(2) 求数列{bn}的通项公式.‎ 解析：(1) 因为an＋Sn＝n，①‎ 所以an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②‎ ‎②－①得2an＋1＝an＋1，所以an＋1＝.‎ 因为cn＋1＝an＋1－1＝－1＝＝cn，‎ 所以＝.‎ 又a1＋a1＝1，所以a1＝，c1＝a1－1＝－，‎ 所以数列{cn}是以－为首项，为公比的等比数列. ‎ ‎(2) 由(1)可知cn＝·＝－，‎ 所以an＝cn＋1＝1－. ‎ 当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－＝－＝，‎ b1＝a1＝满足上式，所以bn＝. ‎ ‎12. 已知各项均为正数的数列{an}的首项a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1(λ≠0，n∈N*).‎ ‎(1) 若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值；‎ ‎(2) 若λ＝，求Sn.‎ 解析：(1) 令n＝1，得a2＝.‎ 令n＝2，得a2S3－a3S2＋a2－a3＝λa2a3，‎ 所以a3＝.‎ 由a＝a1a3，得＝，‎ 因为λ≠0，所以λ＝1.‎ ‎(2) 当λ＝时，anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝anan＋1，所以－＋－＝，‎ 即－＝，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，‎ 所以＝2＋(n－1)×，即Sn＋1＝an.①‎ 当n≥2时，Sn－1＋1＝an－1，②‎ ‎①－②得，an＝an－an－1，即(n＋1)an＝(n＋2)an－1，所以＝(n≥2)，‎ 所以是常数列，且为，‎ 所以an＝(n＋2)，‎ 代入①得Sn＝an－1＝. ‎ ‎13. 设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且满足：①|a1|≠|a2|；②r(n－p)Sn＋1＝(n2＋n)·an＋(n2－n－2)a1，其中r，p∈R，且r≠0.‎ ‎(1) 求实数p的值；‎ ‎(2) 数列{an}是否为等比数列？请说明理由.‎ 解析：(1) 当n＝1时，r(1－p)S2＝2a1－2a1＝0.‎ 又r≠0，|a1|≠|a2|，所以S2≠0，所以p＝1.‎ ‎(2) 数列{an}不是等比数列. 理由如下：‎ 假设数列{an}是等比数列，公比为q.‎ 当n＝2时，rS3＝6a2，即ra1(1＋q＋q2)＝6a1q，‎ 所以r(1＋q＋q2)＝6q，‎ 当n＝3时，2rS4＝12a3＋4a1，即2ra1(1＋q＋q2＋q3)＝12a1q2＋4a1，‎ 所以r(1＋q＋q2＋q3)＝6q2＋2，‎ 联立得q＝1，与|a1|≠|a2|矛盾，所以假设不成立，故数列{an}不是等比数列. ‎