【数学】2020届一轮复习（文）通用版9-3椭圆及其性质作业 23页

‎§9.3　椭圆及其性质 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 椭圆的定 义及其标 准方程 ‎①掌握椭圆的定义,并会用椭圆的定义解题;②掌握椭圆的几何图形和标准方程,并会用待定系数法求椭圆的方程 ‎2018天津,19,14分 椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系 椭圆的几何性质,直线方程 ‎★★☆‎ ‎2014辽宁,15,5分 椭圆的定义 椭圆的标准方程 椭圆的几 何性质 ‎①掌握椭圆的几何性质,并会熟练运用;②理解椭圆离心率的定义,并会求椭圆的离心率 ‎2018课标全国Ⅱ,11,5分 椭圆的离心率 椭圆的定义,焦点三角形 ‎★★★‎ ‎2018课标全国Ⅰ,4,5分 椭圆的离心率 椭圆的标准方程 ‎2017课标全国Ⅰ,12,5分 椭圆的几何性质 ‎—‎ 直线与椭 圆的位 置关系 ‎①掌握直线与椭圆位置关系的判断方法;②理解“整体代换”思想的含义,并能通过直线与椭圆位置关系解答相应问题 ‎2018课标全国Ⅲ,20,12分 椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系 弦中点,向量的运算,弦长问题 ‎★★★‎ 分析解读　　从近几年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,因此要求学生在备考复习时做到以下内容:①能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程;②能熟练运用椭圆的几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率等)解决相关问题;③能够把直线与椭圆的位置关系问题转化为方程组解的问题,从而判断其位置关系,解决相关问题.在解答题中常以椭圆的方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系为主,同时与向量、函数、不等式等知识综合起来进行考查的命题趋势逐渐加强,备考时应加以重视.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　椭圆的定义及其标准方程 ‎1.(2019届湖北重点中学第一次调研,11)点P是椭圆x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎5‎=1上的点,F1、F2是椭圆的左、右焦点,则△PF1F2的周长是(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.12 B.10 C.8 D.6‎ 答案　B　‎ ‎2.(2017湖南长沙一模,5)椭圆的焦点在x轴上,中心在原点,其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.x‎2‎‎2‎+y‎2‎‎2‎=1 B.x‎2‎‎2‎+y2=1‎ C.x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=1 D.y‎2‎‎4‎+x‎2‎‎2‎=1‎ 答案　C　‎ ‎3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎4‎=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=　　　　. ‎ 答案　12‎ 考点二　椭圆的几何性质 ‎1.(2019届四川顶级名校10月联考,6)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)和直线l:x‎4‎+y‎3‎=1,若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行,则椭圆C的离心率为(　　)‎ A.‎4‎‎5‎ B.‎3‎‎5‎ C.‎3‎‎4‎ D.‎‎1‎‎5‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018河南百校联盟12月联考,5)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)与直线x=b在第一象限交于点P,若直线OP的倾斜角为30°,则椭圆C的离心率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎6‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ 答案　B　‎ ‎3.(2018四川凉山州模拟,4)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则该椭圆的离心率是(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎3‎‎4‎ D.‎‎2‎‎2‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎4.(2018湖北武汉模拟,4)曲线x‎2‎‎25‎+y‎2‎‎9‎=1与曲线x‎2‎‎25-k+y‎2‎‎9-k=1(k<9)的(　　)‎ A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 答案　D　‎ ‎5.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为‎1‎‎2‎,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=(　　)‎ A.3 B.6 C.9 D.12‎ 答案　B　‎ 考点三　直线与椭圆的位置关系 ‎　过椭圆x‎2‎‎5‎+y‎2‎‎4‎=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎3‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　求椭圆的标准方程的方法 ‎1.(2018河南郑州二模,4)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为‎2‎‎3‎,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为12,则C的方程为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.x‎2‎‎3‎+y2=1 B.x‎2‎‎3‎+y‎2‎‎2‎=1‎ C.x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎4‎=1 D.x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎5‎=1‎ 答案　D　‎ ‎2.(2019届湖南岳阳调研,15)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,‎3‎)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为　　　　　　. ‎ 答案　x‎2‎‎8‎+y‎2‎‎6‎=1‎ ‎3.(2018江西赣中南五校联考,15)已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线m分别与PF1,PF2交于M,N两点,则点M的轨迹方程为　　　　　　. ‎ 答案　x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1‎ 方法2　求椭圆的离心率(或取值范围)的方法 ‎1.(2017课标全国Ⅲ,11,5分)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(　　)‎ A.‎6‎‎3‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎2.(2019届山东济南第一中学11月月考,11)已知F1,F2分别为椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是椭圆上位于第一象限内的点,延长PF2交椭圆于点Q,若PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为(　　)‎ A.2-‎2‎ B.‎3‎-‎‎2‎ C.‎2‎-1 D.‎6‎-‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎3.(2018河北衡水中学六调,10)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右顶点分别为M,N,若在椭圆C上存在点H,使kMHkNH∈‎-‎1‎‎2‎,0‎,则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)‎ A.‎2‎‎2‎‎,1‎ B.‎0,‎‎2‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎‎,1‎ D.‎‎0,‎‎3‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎4.(2019届河南洛阳期中检测,12)已知F1,F2分别为椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上一点,O为坐标原点,且(OP+OF‎2‎)·F‎2‎P=0,|PF‎1‎|=2|PF‎2‎|,则该椭圆的离心率为(　　)‎ A.‎5‎‎5‎ B.‎5‎‎4‎ C.‎5‎‎3‎ D.‎‎5‎‎2‎ 答案　C　‎ 方法3　解决弦中点问题的方法 ‎1.(2017河北百校联盟联考,14)已知椭圆C1:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)与椭圆C2:y‎2‎a‎2‎+x‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)相交于A、B、C、D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-‎2‎,0),且四边形ABCD的面积为‎16‎‎3‎,则椭圆C1的离心率e为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎2‎ ‎2.已知中心在原点,一焦点为F(0,4)的椭圆被直线l:y=3x-2截得的弦的中点横坐标为‎1‎‎2‎,则此椭圆的方程为　　　　　　. ‎ 答案　y‎2‎‎24‎+x‎2‎‎8‎=1‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　椭圆的定义及其标准方程 ‎　(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为‎3‎‎3‎,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4‎3‎,则C的方程为(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.x‎2‎‎3‎+y‎2‎‎2‎=1 B.x‎2‎‎3‎+y2=1‎ C.x‎2‎‎12‎+y‎2‎‎8‎=1 D.x‎2‎‎12‎+y‎2‎‎4‎=1‎ 答案　A　‎ 考点二　椭圆的几何性质 ‎1.(2018课标全国Ⅰ,4,5分)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎4‎=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎2‎‎2‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017课标全国Ⅰ,12,5分)设A,B是椭圆C:x‎2‎‎3‎+y‎2‎m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是(　　)‎ A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,‎3‎]∪[9,+∞)‎ C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,‎3‎]∪[4,+∞)‎ 答案　A　‎ ‎3.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的‎1‎‎4‎,则该椭圆的离心率为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎4‎ 答案　B　‎ ‎4.(2016课标全国Ⅲ,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎4‎ 答案　A　‎ ‎5.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.‎ ‎(1)若直线MN的斜率为‎3‎‎4‎,求C的离心率;‎ ‎(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.‎ 解析　(1)根据c=a‎2‎‎-‎b‎2‎及题设知Mc,‎b‎2‎a,2b2=3ac.‎ 将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=‎1‎‎2‎或ca=-2(舍去).‎ 故C的离心率为‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故b‎2‎a=4,即b2=4a,①‎ 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.‎ 设N(x1,y1),由题意知y1<0,则 ‎2(-c-x‎1‎)=c,‎‎-2y‎1‎=2,‎即x‎1‎‎=-‎3‎‎2‎c,‎y‎1‎‎=-1.‎ 代入C的方程,得‎9‎c‎2‎‎4‎a‎2‎+‎1‎b‎2‎=1.②‎ 将①及c=a‎2‎‎-‎b‎2‎代入②得‎9(a‎2‎-4a)‎‎4‎a‎2‎+‎1‎‎4a=1.‎ 解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=2‎7‎.‎ 考点三　直线与椭圆的位置关系 ‎1.(2018课标全国Ⅲ,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).‎ ‎(1)证明:k<-‎1‎‎2‎;‎ ‎(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP+FA+FB=0.证明:2|FP|=|FA|+|FB|.‎ 解析　本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系.‎ ‎(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x‎1‎‎2‎‎4‎+y‎1‎‎2‎‎3‎=1,x‎2‎‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎‎3‎=1.‎ 两式相减,并由y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=k得 x‎1‎‎+‎x‎2‎‎4‎‎+y‎1‎‎+‎y‎2‎‎3‎·k=0.‎ 由题设知x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=1,y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=m,于是k=-‎3‎‎4m.‎ 由题设得00)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.‎ ‎(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;‎ ‎(2)当2|AM|=|AN|时,证明:‎3‎0.‎ 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为π‎4‎.‎ 又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)‎ 将x=y-2代入x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1得7y2-12y=0.‎ 解得y=0或y=‎12‎‎7‎,所以y1=‎12‎‎7‎.‎ 因此△AMN的面积S△AMN=2×‎1‎‎2‎×‎12‎‎7‎×‎12‎‎7‎=‎144‎‎49‎.(4分)‎ ‎(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.‎ 由x1·(-2)=‎16k‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎得x1=‎2(3-4k‎2‎)‎‎3+4‎k‎2‎,‎ 故|AM|=|x1+2|‎1+‎k‎2‎=‎12‎‎1+‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎.‎ 由题设,直线AN的方程为y=-‎1‎k(x+2),‎ 故同理可得|AN|=‎12k‎1+‎k‎2‎‎3k‎2‎+4‎.(7分)‎ 由2|AM|=|AN|得‎2‎‎3+4‎k‎2‎=k‎3k‎2‎+4‎,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)‎ 设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f '(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)内单调递增.‎ 又f(‎3‎)=15‎3‎-26<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在(‎3‎,2)内,所以‎3‎0)的左焦点为F1(-4,0),则m=(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.2 B.3 C.4 D.9‎ 答案　B　‎ ‎2.(2018天津,19,14分)设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为‎5‎‎3‎,|AB|=‎13‎.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.‎ 解析　(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c‎2‎a‎2‎=‎5‎‎9‎,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a‎2‎‎+‎b‎2‎=‎13‎,从而a=3,b=2.‎ 所以,椭圆的方程为x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.‎ 易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组‎2x+3y=6,‎y=kx,‎消去y,可得x2=‎6‎‎3k+2‎.由方程组x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎4‎=1,‎y=kx,‎消去y,可得x1=‎6‎‎9k‎2‎+4‎.‎ 由x2=5x1,可得‎9k‎2‎+4‎=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-‎8‎‎9‎或k=-‎1‎‎2‎.‎ 当k=-‎8‎‎9‎时,x2=-9<0,不合题意,舍去;‎ 当k=-‎1‎‎2‎时,x2=12,x1=‎12‎‎5‎,符合题意.‎ 所以,k的值为-‎1‎‎2‎.‎ ‎3.(2016天津,19,14分)设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎3‎=1(a>‎3‎)的右焦点为F,右顶点为A.已知‎1‎‎|OF|‎+‎1‎‎|OA|‎=‎3e‎|FA|‎,其中O为原点,e为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.‎ 解析　(1)设F(c,0),由‎1‎‎|OF|‎+‎1‎‎|OA|‎=‎3e‎|FA|‎,即‎1‎c+‎1‎a=‎3ca(a-c)‎,可得a2-c2=3c2,‎ 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.‎ 所以,椭圆的方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)设直线l的斜率为k(k≠0),‎ 则直线l的方程为y=k(x-2).‎ 设B(xB,yB),由方程组x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎y=k(x-2)‎消去y,‎ 整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.‎ 解得x=2,或x=‎8k‎2‎-6‎‎4k‎2‎+3‎,由题意得xB=‎8k‎2‎-6‎‎4k‎2‎+3‎,从而yB=‎-12k‎4k‎2‎+3‎.‎ 由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=‎9-4‎k‎2‎‎4k‎2‎+3‎‎,‎‎12k‎4k‎2‎+3‎.‎ 由BF⊥HF,得BF·FH=0,所以‎4k‎2‎-9‎‎4k‎2‎+3‎+‎12kyH‎4k‎2‎+3‎=0,解得yH=‎9-4‎k‎2‎‎12k.‎ 因此直线MH的方程为y=-‎1‎kx+‎9-4‎k‎2‎‎12k.‎ 设M(xM,yM),由方程组y=k(x-2),‎y=-‎1‎kx+‎‎9-4‎k‎2‎‎12k消去y,‎ 解得xM=‎20k‎2‎+9‎‎12(k‎2‎+1)‎.‎ 在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM‎2‎=xM‎2‎+yM‎2‎,化简得xM=1,即‎20k‎2‎+9‎‎12(k‎2‎+1)‎=1,解得k=-‎6‎‎4‎,或k=‎6‎‎4‎.‎ 所以,直线l的斜率为-‎6‎‎4‎或‎6‎‎4‎.‎ 考点二　椭圆的几何性质 ‎1.(2017浙江,2,4分)椭圆x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎4‎=1的离心率是(　　)‎ A.‎13‎‎3‎ B.‎5‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎5‎‎9‎ 答案　B　‎ ‎2.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b‎2‎与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是　　　　. ‎ 答案　‎‎6‎‎3‎ ‎3.(2014江西,14,5分)设椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于　 . ‎ 答案　‎‎3‎‎3‎ 考点三　直线与椭圆的位置关系 ‎1.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎,焦点F1(-‎3‎,0),F2(‎3‎,0),圆O的直径为F1F2.‎ ‎(1)求椭圆C及圆O的方程;‎ ‎(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;‎ ‎②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为‎2‎‎6‎‎7‎,求直线l的方程.‎ 解析　解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-‎3‎,0),F2(‎3‎,0),‎ 所以可设椭圆C的方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0).‎ 又点‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎在椭圆C上,所以‎3‎a‎2‎‎+‎1‎‎4‎b‎2‎=1,‎a‎2‎‎-b‎2‎=3,‎ 解得a‎2‎‎=4,‎b‎2‎‎=1.‎ 因此,椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ 因为圆O的直径为F1F2,‎ 所以其方程为x2+y2=3.‎ ‎(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=3.‎ 所以直线l的方程为y=-x‎0‎y‎0‎(x-x0)+y0,‎ 即y=-x‎0‎y‎0‎x+‎3‎y‎0‎.‎ 由x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎y=-x‎0‎y‎0‎x+‎‎3‎y‎0‎消去y,得 ‎(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)x2-24x0x+36-4y‎0‎‎2‎=0.(*)‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x0)2-4(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)(36-4y‎0‎‎2‎)=48y‎0‎‎2‎(x‎0‎‎2‎-2)=0.‎ 因为x0,y0>0,所以x0=‎2‎,y0=1.‎ 因此,点P的坐标为(‎2‎,1).‎ ‎②因为三角形OAB的面积为‎2‎‎6‎‎7‎,所以‎1‎‎2‎AB·OP=‎2‎‎6‎‎7‎,从而AB=‎4‎‎2‎‎7‎.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由(*)得 x1,2=‎24x‎0‎±‎‎48y‎0‎‎2‎(x‎0‎‎2‎-2)‎‎2(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)‎,‎ 所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=‎1+‎x‎0‎‎2‎y‎0‎‎2‎·‎48y‎0‎‎2‎(x‎0‎‎2‎-2)‎‎(4x‎0‎‎2‎+‎y‎0‎‎2‎‎)‎‎2‎.‎ 因为x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=3,‎ 所以AB2=‎16(x‎0‎‎2‎-2)‎‎(x‎0‎‎2‎+1‎‎)‎‎2‎=‎32‎‎49‎,即2x‎0‎‎4‎-45x‎0‎‎2‎+100=0.‎ 解得x‎0‎‎2‎=‎5‎‎2‎(x‎0‎‎2‎=20舍去),则y‎0‎‎2‎=‎1‎‎2‎,因此P的坐标为‎10‎‎2‎‎,‎‎2‎‎2‎.‎ 则直线l的方程为y=-‎5‎x+3‎2‎.‎ 解法二:(1)由题意知c=‎3‎,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎在椭圆上,‎ 所以2a=‎(‎3‎-‎3‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎‎-0‎‎2‎+‎(‎3‎+‎3‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎‎-0‎‎2‎=4,所以a=2.‎ 因为a2=b2+c2,所以b=1,‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)①由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k<0,‎ 设直线l的方程为y=kx+m(k<0,m>0),‎ 将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3,‎ 整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,‎ 因为直线l与圆O相切,所以Δ=(2km)2-4(k2+1)·(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,‎ 将直线l的方程代入椭圆C的方程,得x‎2‎‎4‎+(kx+m)2=1,‎ 整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,‎ 因为直线l与椭圆C相切,‎ 所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,‎ 整理得m2=4k2+1,‎ 所以3k2+3=4k2+1,因为k<0,所以k=-‎2‎,则m=3,‎ 将k=-‎2‎,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,‎ 整理得x2-2‎2‎x+2=0,‎ 解得x1=x2=‎2‎,将x=‎2‎代入x2+y2=3,‎ 解得y=1(y=-1舍去),所以点P的坐标为(‎2‎,1).‎ ‎②设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),‎ 由①知m2=3k2+3,且k<0,m>0,‎ 因为直线l和椭圆C相交,所以结合②的过程知m2<4k2+1,解得k<-‎2‎,‎ 将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,‎ 解得x1,2=‎-8km±4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎2(4k‎2‎+1)‎,‎ 所以|x1-x2|=‎4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎4k‎2‎+1‎,‎ 因为AB=‎(x‎1‎-x‎2‎‎)‎‎2‎+(kx‎1‎-kx‎2‎‎)‎‎2‎=|x1-x2|k‎2‎‎+1‎=‎4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎4k‎2‎+1‎·k‎2‎‎+1‎,‎ O到l的距离d=‎|m|‎k‎2‎‎+1‎=‎3‎,‎ 所以S△OAB=‎1‎‎2‎·‎4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎4k‎2‎+1‎·k‎2‎‎+1‎·‎‎|m|‎k‎2‎‎+1‎ ‎=‎1‎‎2‎·‎4‎k‎2‎‎-2‎‎4k‎2‎+1‎·k‎2‎‎+1‎·‎3‎=‎2‎‎6‎‎7‎,‎ 解得k2=5,因为k<0,所以k=-‎5‎,则m=3‎2‎,‎ 即直线l的方程为y=-‎5‎x+3‎2‎.‎ ‎2.(2018北京,20,14分)已知椭圆M:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎6‎‎3‎,焦距为2‎2‎.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.‎ ‎(1)求椭圆M的方程;‎ ‎(2)若k=1,求|AB|的最大值;‎ ‎(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q‎-‎7‎‎4‎,‎‎1‎‎4‎共线,求k.‎ 解析　(1)由题意得a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎,‎ca‎=‎6‎‎3‎,‎‎2c=2‎2‎,‎ 解得a=‎3‎,b=1.‎ 所以椭圆M的方程为x‎2‎‎3‎+y2=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由y=x+m,‎x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎=1‎ 得4x2+6mx+3m2-3=0.‎ 所以x1+x2=-‎3m‎2‎,x1x2=‎3m‎2‎-3‎‎4‎.‎ ‎|AB|=‎(x‎2‎-x‎1‎‎)‎‎2‎+(y‎2‎-‎y‎1‎‎)‎‎2‎=‎‎2(x‎2‎-‎x‎1‎‎)‎‎2‎ ‎=‎2[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎]‎=‎12-3‎m‎2‎‎2‎.‎ 当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为‎6‎.‎ ‎(3)设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由题意得x‎1‎‎2‎+3y‎1‎‎2‎=3,x‎2‎‎2‎+3y‎2‎‎2‎=3.‎ 直线PA的方程为y=y‎1‎x‎1‎‎+2‎(x+2).‎ 由y=y‎1‎x‎1‎‎+2‎(x+2),‎x‎2‎‎+3y‎2‎=3,‎ 得[(x1+2)2+3y‎1‎‎2‎]x2+12y‎1‎‎2‎x+12y‎1‎‎2‎-3(x1+2)2=0.‎ 设C(xC,yC).‎ 所以xC+x1=‎-12‎y‎1‎‎2‎‎(x‎1‎+2‎)‎‎2‎+3‎y‎1‎‎2‎=‎4x‎1‎‎2‎-12‎‎4x‎1‎+7‎.‎ 所以xC=‎4x‎1‎‎2‎-12‎‎4x‎1‎+7‎-x1=‎-12-7‎x‎1‎‎4x‎1‎+7‎.‎ 所以yC=y‎1‎x‎1‎‎+2‎(xC+2)=y‎1‎‎4x‎1‎+7‎.‎ 设D(xD,yD).‎ 同理得xD=‎-12-7‎x‎2‎‎4x‎2‎+7‎,yD=y‎2‎‎4x‎2‎+7‎.‎ 记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,‎ 则kCQ-kDQ=y‎1‎‎4x‎1‎+7‎‎-‎‎1‎‎4‎‎-12-7‎x‎1‎‎4x‎1‎+7‎‎+‎‎7‎‎4‎-y‎2‎‎4x‎2‎+7‎‎-‎‎1‎‎4‎‎-12-7‎x‎2‎‎4x‎2‎+7‎‎+‎‎7‎‎4‎=4(y1-y2-x1+x2).‎ 因为C,D,Q三点共线,‎ 所以kCQ-kDQ=0.‎ 故y1-y2=x1-x2.‎ 所以直线l的斜率k=y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=1.‎ C组　教师专用题组 考点一　椭圆的定义及其标准方程 ‎1.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎在椭圆E上.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)设不过原点O且斜率为‎1‎‎2‎的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.‎ 解析　(1)由已知,a=2b.‎ 又椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)过点P‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎,‎ 故‎3‎‎4‎b‎2‎+‎1‎‎4‎b‎2‎=1,‎ 解得b2=1.‎ 所以椭圆E的方程是x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)证明:设直线l的方程为y=‎1‎‎2‎x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由方程组x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎y=‎1‎‎2‎x+m,‎得x2+2mx+2m2-2=0,①‎ 方程①的判别式为Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-‎2‎b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为‎5‎‎5‎.‎ ‎(1)求直线BF的斜率;‎ ‎(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.‎ ‎(i)求λ的值;‎ ‎(ii)若|PM|sin∠BQP=‎7‎‎5‎‎9‎,求椭圆的方程.‎ 解析　(1)设F(-c,0).由已知离心率ca=‎5‎‎5‎及a2=b2+c2,可得a=‎5‎c,b=2c.‎ 又因为B(0,b),F(-c,0),‎ 故直线BF的斜率k=b-0‎‎0-(-c)‎=‎2cc=2.‎ ‎(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).‎ ‎(i)由(1)可得椭圆的方程为x‎2‎‎5‎c‎2‎+y‎2‎‎4‎c‎2‎=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-‎5c‎3‎.‎ 因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-‎1‎‎2‎x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=‎40c‎21‎.‎ 又因为λ=‎|PM|‎‎|MQ|‎,及xM=0,可得λ=‎|xM-xP|‎‎|xQ-xM|‎=‎|xP|‎‎|xQ|‎=‎7‎‎8‎.‎ ‎(ii)由(i)有‎|PM|‎‎|MQ|‎=‎7‎‎8‎,所以‎|PM|‎‎|PM|+|MQ|‎=‎7‎‎7+8‎=‎7‎‎15‎,‎ 即|PQ|=‎15‎‎7‎|PM|.‎ 又因为|PM|sin∠BQP=‎7‎‎5‎‎9‎,‎ 所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=‎15‎‎7‎|PM|sin∠BQP=‎5‎‎5‎‎3‎.‎ 又因为yP=2xP+2c=-‎4‎‎3‎c,‎ 所以|BP|=‎0+‎‎5c‎3‎‎2‎‎+‎‎2c+‎‎4c‎3‎‎2‎=‎5‎‎5‎‎3‎c,‎ 因此‎5‎‎5‎‎3‎c=‎5‎‎5‎‎3‎,得c=1.‎ 所以,椭圆方程为x‎2‎‎5‎+y‎2‎‎4‎=1.‎ ‎3.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.‎ ‎(1)若|PF1|=2+‎2‎,|PF2|=2-‎2‎,求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若|PQ|=λ|PF1|,且‎3‎‎4‎≤λ<‎4‎‎3‎,试确定椭圆离心率e的取值范围.‎ 解析　(1)由椭圆的定义得,2a=|PF1|+|PF2|=(2+‎2‎)+(2-‎2‎)=4,故a=2.‎ 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,因此 ‎2c=|F1F2|=‎|PF‎1‎‎|‎‎2‎+|PF‎2‎‎|‎‎2‎=‎(2+‎2‎‎)‎‎2‎+(2-‎‎2‎‎)‎‎2‎=2‎3‎,即c=‎3‎,从而b=a‎2‎‎-‎c‎2‎=1.‎ 故所求椭圆的标准方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)如图,由PF1⊥PQ,|PQ|=λ|PF1|,得 ‎|QF1|=‎|PF‎1‎‎|‎‎2‎+|PQ‎|‎‎2‎=‎1+‎λ‎2‎|PF1|.‎ 由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而 ‎|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a.‎ 于是(1+λ+‎1+‎λ‎2‎)|PF1|=4a,‎ 解得|PF1|=‎4a‎1+λ+‎‎1+‎λ‎2‎,‎ 故|PF2|=2a-|PF1|=‎2a(λ+‎1+‎λ‎2‎-1)‎‎1+λ+‎‎1+‎λ‎2‎.‎ 由勾股定理得 ‎|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,‎ 从而‎4a‎1+λ+‎‎1+‎λ‎2‎‎2‎+‎2a(λ+‎1+‎λ‎2‎-1)‎‎1+λ+‎‎1+‎λ‎2‎‎2‎=4c2,‎ 两边除以4a2,得 ‎4‎‎(1+λ+‎‎1+‎λ‎2‎‎)‎‎2‎‎+‎(λ+‎1+‎λ‎2‎-1‎‎)‎‎2‎‎(1+λ+‎‎1+‎λ‎2‎‎)‎‎2‎=e2.‎ 若记t=1+λ+‎1+‎λ‎2‎,则上式变成 e2=‎4+(t-2‎‎)‎‎2‎t‎2‎=8‎1‎t‎-‎‎1‎‎4‎‎2‎+‎1‎‎2‎.‎ 由‎3‎‎4‎≤λ<‎4‎‎3‎,并注意到t=1+λ+‎1+‎λ‎2‎关于λ的单调性,得3≤t<4,即‎1‎‎4‎<‎1‎t≤‎1‎‎3‎.‎ 进而‎1‎‎2‎b>0)的一个焦点为(‎5‎,0),离心率为‎5‎‎3‎.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.‎ 解析　(1)由题意得c=‎5‎,∵e=ca=‎5‎‎3‎,∴a=3,‎ ‎∴b=a‎2‎‎-‎c‎2‎=2,‎ ‎∴椭圆C的标准方程为x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2,‎ 则过P点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)⇒y=kx+y0-kx0,‎ 由y=kx+y‎0‎-kx‎0‎,‎x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,‎ Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,‎ 整理得(9-x‎0‎‎2‎)k2+2x0y0k-y‎0‎‎2‎+4=0,‎ ‎∴k1k2=‎4-‎y‎0‎‎2‎‎9-‎x‎0‎‎2‎(x0≠±3),‎ 由已知得k1k2=-1,∴‎4-‎y‎0‎‎2‎‎9-‎x‎0‎‎2‎=-1,‎ ‎∴x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=13,即此时点P的轨迹方程为x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=13.‎ 当两条切线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=13(x0≠±3).‎ 综上所述,所求P点的轨迹方程为x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=13.‎ ‎5.(2013课标Ⅰ,21,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.‎ 解析　由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.‎ 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.‎ ‎(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,‎ 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.‎ 由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为‎3‎的椭圆(左顶点除外),其方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1(x≠-2).‎ ‎(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.‎ 所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.‎ 若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2‎3‎.‎ 若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,‎ 则‎|QP|‎‎|QM|‎=Rr‎1‎,可求得Q(-4,0),‎ 所以可设l:y=k(x+4).‎ 由l与圆M相切得‎|3k|‎‎1+‎k‎2‎=1,‎ 解得k=±‎2‎‎4‎.‎ 当k=‎2‎‎4‎时,将y=‎2‎‎4‎x+‎2‎代入x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1,并整理得7x2+8x-8=0,‎ 解得x1,2=‎-4±6‎‎2‎‎7‎.‎ 所以|AB|=‎1+‎k‎2‎|x2-x1|=‎18‎‎7‎.‎ 当k=-‎2‎‎4‎时,由图形的对称性可知|AB|=‎18‎‎7‎.‎ 综上,|AB|=2‎3‎或|AB|=‎18‎‎7‎.‎ 考点二　椭圆的几何性质 ‎1.(2013课标Ⅱ,5,5分)设椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(　　)‎ A.‎3‎‎6‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎3‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎2.(2012课标全国,4,5分)设F1、F2是椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=‎3a‎2‎上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎3‎‎4‎ D.‎‎4‎‎5‎ 答案　C　设直线x=‎3‎‎2‎a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=‎3‎‎2‎a-c,∴‎3‎‎2‎a-c=‎1‎‎2‎×2c,e=ca=‎3‎‎4‎,故选C.‎ ‎3.(2011课标,4,5分)椭圆x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎8‎=1的离心率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎2‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎4.(2010全国Ⅰ,16,5分)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且BF=2FD,则C的离心率为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎3‎ ‎5.(2017天津,20,14分)已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为b‎2‎‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=‎3‎‎2‎c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.‎ ‎(i)求直线FP的斜率;‎ ‎(ii)求椭圆的方程.‎ 解析　(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得‎1‎‎2‎(c+a)c=b‎2‎‎2‎.‎ 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.‎ 又因为00),则直线FP的斜率为‎1‎m.‎ 由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为x‎2c+yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=‎(2m-2)cm+2‎,y=‎3cm+2‎,即点Q的坐标为‎(2m-2)cm+2‎‎,‎‎3cm+2‎.由已知|FQ|=‎3‎‎2‎c,有‎(2m-2)cm+2‎‎+c‎2‎+‎3cm+2‎‎2‎=‎3c‎2‎‎2‎,整理得3m2-4m=0,所以m=‎4‎‎3‎,即直线FP的斜率为‎3‎‎4‎.‎ ‎(ii)由a=2c,可得b=‎3‎c,故椭圆方程可以表示为x‎2‎‎4‎c‎2‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1.‎ 由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得‎3x-4y+3c=0,‎x‎2‎‎4‎c‎2‎‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1,‎消去y,‎ 整理得7x2+6cx-13c2=0,‎ 解得x=-‎13c‎7‎(舍去),或x=c.因此可得点Pc,‎‎3c‎2‎,进而可得|FP|=‎(c+c‎)‎‎2‎+‎‎3c‎2‎‎2‎=‎5c‎2‎,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=‎5c‎2‎-‎3c‎2‎=c.‎ 由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.‎ 因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=‎3c‎2‎×‎3‎‎4‎=‎9c‎8‎,所以△FQN的面积为‎1‎‎2‎|FQ||QN|=‎27‎c‎2‎‎32‎,同理△FPM的面积等于‎75‎c‎2‎‎32‎,由四边形PQNM的面积为3c,得‎75‎c‎2‎‎32‎-‎27‎c‎2‎‎32‎=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.‎ 所以,椭圆的方程为x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎12‎=1.‎ ‎6.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为‎5‎‎10‎.‎ ‎(1)求E的离心率e;‎ ‎(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MN⊥AB.‎ 解析　(1)由题设条件知,点M的坐标为‎2‎‎3‎a,‎1‎‎3‎b,‎ 又kOM=‎5‎‎10‎,从而b‎2a=‎5‎‎10‎.‎ 进而a=‎5‎b,c=a‎2‎‎-‎b‎2‎=2b.‎ 故e=ca=‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为a‎2‎‎,-‎b‎2‎,可得NM=a‎6‎‎,‎‎5b‎6‎.‎ 又AB=(-a,b),从而有AB·NM=-‎1‎‎6‎a2+‎5‎‎6‎b2=‎1‎‎6‎(5b2-a2).‎ 由(1)的计算结果可知a2=5b2,‎ 所以AB·NM=0,故MN⊥AB.‎ ‎7.(2014安徽,21,13分)设F1、F2分别是椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.‎ ‎(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;‎ ‎(2)若cos∠AF2B=‎3‎‎5‎,求椭圆E的离心率.‎ 解析　(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.‎ 因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.‎ 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.‎ ‎(2)设|F1B|=k,则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k.‎ 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.‎ 在△ABF2中,由余弦定理可得 ‎|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B,‎ 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-‎6‎‎5‎(2a-3k)(2a-k).‎ 化简可得(a+k)(a-3k)=0,‎ 而a+k>0,故a=3k.‎ 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.‎ 因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,‎ 可得F1A⊥F2A,‎ ‎△AF1F2为等腰直角三角形.‎ 从而c=‎2‎‎2‎a,所以椭圆E的离心率e=ca=‎2‎‎2‎.‎ ‎8.(2014天津,18,13分)设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=‎3‎‎2‎·|F1F2|.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2‎2‎.求椭圆的方程.‎ 解析　(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).‎ 由|AB|=‎3‎‎2‎|F1F2|,可得a2+b2=3c2,‎ 又b2=a2-c2,所以c‎2‎a‎2‎=‎1‎‎2‎.‎ 所以,椭圆的离心率e=‎2‎‎2‎.‎ ‎(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为x‎2‎‎2‎c‎2‎+y‎2‎c‎2‎=1.‎ 设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有F‎1‎P=(x0+c,y0),F‎1‎B=(c,c).‎ 由已知,有F‎1‎P·F‎1‎B=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有 x0+y0+c=0.①‎ 因为点P在椭圆上,故 x‎0‎‎2‎‎2‎c‎2‎‎+y‎0‎‎2‎c‎2‎=1.②‎ 由①和②可得3x‎0‎‎2‎+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-‎4‎‎3‎c,代入①得y0=c‎3‎,‎ 即点P的坐标为‎-‎4c‎3‎,‎c‎3‎.‎ 设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=‎-‎4‎‎3‎c+0‎‎2‎=-‎2‎‎3‎c,y1=c‎3‎‎+c‎2‎=‎2‎‎3‎c,进而圆的半径r=‎(x‎1‎-0‎)‎‎2‎+(y‎1‎-c‎)‎‎2‎=‎5‎‎3‎c.‎ 由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2,又|MF2|=2‎2‎,故有 c+‎2‎‎3‎c‎2‎‎+‎0-‎2‎‎3‎c‎2‎=8+‎5‎‎9‎c2,‎ 解得c2=3.‎ 所以,所求椭圆的方程为x‎2‎‎6‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ 考点三　直线与椭圆的位置关系 ‎1.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为‎3‎‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.‎ 解析　(1)设椭圆C的方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0).‎ 由题意得a=2,‎ca‎=‎3‎‎2‎,‎解得c=‎3‎.‎ 所以b2=a2-c2=1.‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).‎ 由题设知m≠±2,且n≠0.‎ 直线AM的斜率kAM=nm+2‎,故直线DE的斜率kDE=-m+2‎n.‎ 所以直线DE的方程为y=-m+2‎n(x-m).‎ 直线BN的方程为y=n‎2-m(x-2).‎ 联立y=-m+2‎n(x-m),‎y=n‎2-m(x-2),‎解得点E的纵坐标yE=-n(4-m‎2‎)‎‎4-m‎2‎+‎n‎2‎.‎ 由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.‎ 所以yE=-‎4‎‎5‎n.‎ 又S△BDE=‎1‎‎2‎|BD|·|yE|=‎2‎‎5‎|BD|·|n|,‎ S△BDN=‎1‎‎2‎|BD|·|n|,‎ 所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.‎ ‎2.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为‎6‎‎3‎.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.‎ 解析　(1)由已知可得,ca=‎6‎‎3‎,c=2,所以a=‎6‎.‎ 又由a2=b2+c2,‎ 解得b=‎2‎,所以椭圆C的标准方程是x‎2‎‎6‎+y‎2‎‎2‎=1.‎ ‎(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF=m-0‎‎-3-(-2)‎=-m.‎ 当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=‎1‎m,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得x=my-2,‎x‎2‎‎6‎‎+y‎2‎‎2‎=1.‎消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,‎ 其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0,‎ 所以y1+y2=‎4mm‎2‎‎+3‎,y1y2=‎-2‎m‎2‎‎+3‎,‎ x1+x2=m(y1+y2)-4=‎-12‎m‎2‎‎+3‎.‎ 因为四边形OPTQ是平行四边形,‎ 所以OP=QT,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).‎ 所以x‎1‎‎+x‎2‎=‎-12‎m‎2‎‎+3‎=-3,‎y‎1‎‎+y‎2‎=‎4mm‎2‎‎+3‎=m,‎ 解得m=±1.‎ 此时,S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×‎1‎‎2‎·|OF|·|y1-y2|‎ ‎=2‎4mm‎2‎‎+3‎‎2‎‎-4·‎‎-2‎m‎2‎‎+3‎=2‎3‎.‎ ‎3.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).‎ ‎(1)求点P的坐标;‎ ‎(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+‎3‎交于A,B两点.若△PAB的面积为2,求C的标准方程.‎ 解析　(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-x‎0‎y‎0‎,切线方程为y-y0=-x‎0‎y‎0‎(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=‎1‎‎2‎·‎4‎x‎0‎·‎4‎y‎0‎=‎8‎x‎0‎y‎0‎,由x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=‎2‎时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(‎2‎,‎2‎).‎ ‎(2)设C的标准方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知‎2‎a‎2‎+‎2‎b‎2‎=1,并由x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1,‎y=x+‎‎3‎ 得b2x2+4‎3‎x+6-2b2=0,‎ 又x1,x2是方程的根,因此x‎1‎‎+x‎2‎=-‎4‎‎3‎b‎2‎,‎x‎1‎x‎2‎‎=‎6-2‎b‎2‎b‎2‎,‎ 由y1=x1+‎3‎,y2=x2+‎3‎,得|AB|=‎2‎|x1-x2|=‎2‎·‎48-24b‎2‎+8‎b‎4‎b‎2‎.‎ 由点P到直线l的距离为‎3‎‎2‎及S△PAB=‎1‎‎2‎×‎3‎‎2‎|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,‎ 因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,‎ 从而所求C的方程为x‎2‎‎6‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎4.(2014陕西,20,13分)已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)经过点(0,‎3‎),离心率为‎1‎‎2‎,左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线l:y=-‎1‎‎2‎x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足‎|AB|‎‎|CD|‎=‎5‎‎3‎‎4‎,求直线l的方程.‎ 解析　(1)由题设知b=‎3‎,‎ca‎=‎1‎‎2‎,‎b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎,‎解得a=2,b=‎3‎,c=1,‎ ‎∴椭圆的方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)由(1)知,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,‎ ‎∴圆心到直线l的距离d=‎2|m|‎‎5‎,由d<1得|m|<‎5‎‎2‎.(*)‎ ‎∴|CD|=2‎1-‎d‎2‎=2‎1-‎‎4‎‎5‎m‎2‎=‎2‎‎5‎‎5-4‎m‎2‎.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由y=-‎1‎‎2‎x+m,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎得x2-mx+m2-3=0,‎ 由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3.‎ ‎∴|AB|=‎1+‎‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎[m‎2‎-4(m‎2‎-3)]‎=‎15‎‎2‎‎4-‎m‎2‎.‎ 由‎|AB|‎‎|CD|‎=‎5‎‎3‎‎4‎得‎4-‎m‎2‎‎5-4‎m‎2‎=1,解得m=±‎3‎‎3‎,满足(*).‎ ‎∴直线l的方程为y=-‎1‎‎2‎x+‎3‎‎3‎或y=-‎1‎‎2‎x-‎3‎‎3‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:70分钟　分值:80分 一、选择题(每小题5分,共40分)‎ ‎1.(2018山东济南一模,5)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为(　　)　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.x‎2‎‎36‎+y‎2‎‎32‎=1 B.x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎8‎=1‎ C.x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎5‎=1 D.x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎12‎=1‎ 答案　B　‎ ‎2.(2018安徽合肥一模,7)如图,椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎4‎=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则△F2MN的周长为(　　)‎ A.20 B.10 C.2‎5‎ D.4‎‎5‎ 答案　D　‎ ‎3.(2019届河南郑州一中10月月考,10)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A,B分别为椭圆C的左顶点和上顶点,点M为椭圆C上位于第一象限内的一点,AB∥OM,MF2⊥F1F2,则椭圆C的离心率为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎3‎ 答案　B　‎ ‎4.(2018湖南常德模拟,8)椭圆C1:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1与双曲线C2:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率之积为‎3‎‎2‎,直线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,则椭圆C1的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎2‎+y2=1 B.x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=1‎ C.x‎2‎‎6‎+y‎2‎‎3‎=1 D.x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎8‎=1‎ 答案　C　‎ ‎5.(2019届广东七校第二次联考,11)已知点P为椭圆x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎12‎=1上的动点,EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一直径,则PE·PF的最大值和最小值分别是(　　)‎ A.16,12-4‎3‎ B.17,13-4‎‎3‎ C.19,12-4‎3‎ D.20,13-4‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎6.(2019届湖南衡阳第一中学第一次月考,12)已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程为x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎5‎‎5‎ 答案　C　‎ ‎7.(2017江西九江模拟,10)已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,点P为椭圆上一点,|OP|=‎2‎‎4‎a,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则椭圆的离心率为(　　)‎ A.‎2‎‎4‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎6‎‎3‎ D.‎‎6‎‎4‎ 答案　D　‎ ‎8.(2019届河南顶级名校第三次联考,12)设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)长轴的端点分别为A,B,点C为椭圆上异于A,B的一点,若将△ABC的三个内角分别记为A,B,C,且满足3tan A+3tan B+tan C=0,则椭圆的离心率为(　　)‎ A.‎3‎‎3‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎6‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ 答案　A　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎9.(2019届辽宁重点中学第三次联考,15)已知点P是椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)上的一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,已知∠F1PF2=120°,且|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率为　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎‎3‎ ‎10.(2017江西赣州期末,15)已知圆E:x2+y-‎‎1‎‎2‎‎2‎=‎9‎‎4‎经过椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2,与椭圆在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线,则该椭圆的方程为　　　　　　. ‎ 答案　x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=1‎ 三、解答题(共30分)‎ ‎11.(2019届甘肃西北师大附中11月月考,20)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)过点P‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎,离心率是‎3‎‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M‎1‎‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎.求直线l与坐标轴围成的三角形的面积.‎ 解析　(1)设c为椭圆的半焦距,由已知可得 ca‎=‎3‎‎2‎,‎3‎a‎2‎+‎1‎‎4‎b‎2‎=1,c2=a2-b2,解得a=2,b=1,c=‎3‎.‎ ‎∴椭圆C的标准方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得x‎1‎‎2‎‎4‎+y‎1‎‎2‎=1,x‎2‎‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=1,两式相减得‎(x‎1‎-x‎2‎)(x‎1‎+x‎2‎)‎‎4‎+(y1-y2)(y1+y2)=0,由中点坐标公式得x1+x2=1,y1+y2=1,‎ ‎∴kAB=y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=-‎1‎‎4‎,∴直线AB的方程为y-‎1‎‎2‎=-‎1‎‎4‎x-‎‎1‎‎2‎.‎ 令x=0,可得y=‎5‎‎8‎,令y=0,可得x=‎5‎‎2‎,‎ 则直线l与坐标轴围成的三角形面积S=‎1‎‎2‎×‎5‎‎8‎×‎5‎‎2‎=‎25‎‎32‎.‎ ‎12.(2019届广东七校9月调研,20)已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),若椭圆上一点P与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形.‎ ‎(1)求椭圆E的离心率;‎ ‎(2)如图,若直线l与椭圆相交于A,B,且线段AB是圆(x-1)2+(y+1)2=5的一条直径,求椭圆E的标准方程.‎ 解析　(1)由题意得椭圆上点P的坐标为‎±a‎2‎,±‎a‎2‎,代入椭圆方程得‎1‎‎4‎+a‎2‎‎4‎b‎2‎=1,即a2=3b2,∴a2=3b2=3(a2-c2),∴2a2=3c2,∴e=‎6‎‎3‎.‎ ‎(2)根据(1)可设椭圆方程为x‎2‎‎3‎b‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1,直线AB的方程为y=k(x-1)-1,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则y=k(x-1)-1,‎x‎2‎‎+3y‎2‎=3‎b‎2‎⇒(3k2+1)x2-6k(k+1)x+3(k+1)2-3b2=0(*),‎ ‎∴x1+x2=‎6k(k+1)‎‎3k‎2‎+1‎,x1x2=‎3(k+1‎)‎‎2‎-3‎b‎2‎‎3k‎2‎+1‎.‎ 又x1+x2=2,∴k=‎1‎‎3‎,∴x1x2=‎16-9‎b‎2‎‎4‎,‎ 则|AB|=‎1+‎k‎2‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎=‎10‎‎3‎×‎4-4·‎‎16-9‎b‎2‎‎4‎=2‎5‎.‎ ‎∴b2=‎10‎‎3‎,则a2=10,∴椭圆E的标准方程为x‎2‎‎10‎+‎3‎y‎2‎‎10‎=1.‎ ‎13.(2019届四川成都顶级名校9月调研,20)已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率e=‎3‎‎2‎,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4.‎ ‎(1)求该椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且QA·QB=4,求y0的值.‎ 解析　(1)由e=ca=‎3‎‎2‎得3a2=4c2,再由c2=a2-b2得a=2b.‎ 由题意可知,‎1‎‎2‎×2a×2b=4,即ab=2.‎ 联立a=2b,‎ab=2,‎结合a>b>0,解得a=2,b=1,所以椭圆的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)由(1)可知A(-2,0),设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),‎ 于是A,B两点的坐标满足方程组y=k(x+2),‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎ 消去y,整理得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,‎ 由-2x1=‎16k‎2‎-4‎‎1+4‎k‎2‎得x1=‎2-8‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎,从而y1=‎4k‎1+4‎k‎2‎.‎ 设线段AB的中点为M,则M的坐标为‎-‎8‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎,‎‎2k‎1+4‎k‎2‎.‎ 分两种情况讨论:‎ ‎①当k=0时,点B的坐标为(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是 QA‎=(-2,-y0),QB=(2,-y0),由QA·QB=4,得y0=±2‎2‎.‎ ‎②当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为y-‎2k‎1+4‎k‎2‎=-‎1‎kx+‎‎8‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎.‎ 将(0,y0)代入,解得y0=-‎6k‎1+4‎k‎2‎.‎ 又QA=(-2,-y0),QB=(x1,y1-y0),‎ 所以QA·QB=-2x1-y0(y1-y0)=‎-2(2-8k‎2‎)‎‎1+4‎k‎2‎+‎6k‎1+4‎k‎2‎‎4k‎1+4‎k‎2‎‎+‎‎6k‎1+4‎k‎2‎=‎4(16k‎4‎+15k‎2‎-1)‎‎(1+4‎k‎2‎‎)‎‎2‎=4,‎ 整理得7k2=2,故k=±‎14‎‎7‎,所以y0=±‎2‎‎14‎‎5‎.‎ 综上,y0=±2‎2‎或y0=±‎2‎‎14‎‎5‎.‎