【数学】2020届一轮复习人教B版坐标系与参数方程课时作业(1) 8页

课时作业61　参数方程 ‎1．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ 解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1.‎ C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，‎ d(α)＝＝.‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ ‎2．(2019·南昌一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(φ为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ－kρcos θ＋k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)请写出曲线C的普通方程与直线l的一个参数方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于点A，B，且点M(1,0)为线段AB的一个三等分点，求|AB|.‎ 解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为＋＝1.‎ 直线l的直角坐标方程为y＝k(x－1)，其一个参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)联立(1)中直线l的参数方程与曲线C的普通方程并化简得(3＋sin2α)t2＋6tcos α－9＝0，‎ 设点A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ ‎∴①‎ 不妨设t1>0，t2<0，t1＝－2t2，代入①中得cos2α＝，sin2α＝.‎ ‎|AB|＝|t1－t2|＝＝＝.‎ ‎3．(2019·河北衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；‎ ‎(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M、N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．‎ 解：(1)∵C1的极坐标方程是 ρ＝，‎ ‎∴4ρcos θ＋3ρsin θ＝24，‎ ‎∴4x＋3y－24＝0，‎ 故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.‎ ‎∵曲线C2的参数方程为 ‎∴x2＋y2＝1，‎ 故C2的普通方程为x2＋y2＝1.‎ ‎(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为(α为参数)．设N(2·cos α，2sin α)，则点N到曲线C1的距离 d＝ ‎＝ ‎＝ .‎ 当sin(α＋φ)＝1时，d有最小值，‎ 所以|MN|的最小值为.‎ ‎4．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l与圆C交于A，B两点．‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；‎ ‎(2)动点P在圆C上(不与A，B重合)，试求△ABP的面积的最大值．‎ 解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，‎ 所以x2＋y2－4x＝0，所以圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2.‎ 将直线l的参数方程代入圆C：‎ ‎(x－2)2＋y2＝4，并整理得t2＋2t＝0，‎ 解得t1＝0，t2＝－2.‎ 所以直线l被圆C截得的弦AB的长为 ‎|t1－t2|＝2.‎ ‎(2)由题意得，直线l的普通方程为x－y－4＝0.‎ 圆C的参数方程为(θ为参数)，‎ 可设圆C上的动点P(2＋2cos θ，2sin θ)，‎ 则点P到直线l的距离 d＝ ‎＝，‎ 当cos＝－1时，d取得最大值，且d的最大值为2＋.‎ 所以S△ABP＝×2×(2＋)＝2＋2，‎ 即△ABP的面积的最大值为2＋2.‎ ‎5．(2019·郑州测试)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，α∈[0，π))．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sin θ.‎ ‎(1)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|的最小值．‎ 解：(1)将曲线C的极坐标方程ρcos2θ＝4sin θ，化为直角坐标方程，得x2＝4y.‎ ‎∵M(x，y)为曲线C上任意一点，‎ ‎∴x＋y＝x＋x2＝(x＋2)2－1，‎ ‎∴x＋y的取值范围是[－1，＋∞)．‎ ‎(2)将代入x2＝4y，‎ 得t2cos2 α－4tsin α－4＝0.‎ ‎∴Δ＝16sin2α＋16cos2α＝16>0，‎ 设方程t2cos2α－4tsin α－4＝0的两个根为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝，t1t2＝，‎ ‎∴|AB|＝|t1－t2|＝＝≥4，当且仅当α＝0时，取等号．‎ 故当α＝0时，|AB|取得最小值4.‎ ‎6．(2019·广州调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，将曲线C1经过伸缩变换后得到曲线C2.在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－10＝0.‎ ‎(1)说明曲线C2是哪一种曲线，并将曲线C2的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)已知点M是曲线C2上的任意一点，求点M到直线l的距离的最大值和最小值．‎ 解：(1)因为曲线C1的参数方程为(α为参数)，‎ 且所以曲线C2的参数方程为 所以C2的普通方程为x2＋y2＝4，‎ 所以C2为圆心在原点，半径为2的圆，‎ 所以C2的极坐标方程为ρ2＝4，‎ 即ρ＝2(θ∈R)．‎ ‎(2)解法一　直线l的直角坐标方程为x－y－10＝0，设M(2cos α，2sin α)(α为参数)．‎ 曲线C2上的点M到直线l的距离 d＝ ‎＝.‎ 当cos＝1，即α＝2kπ－(k∈Z)时，d取得最小值，为＝5－2.‎ 当cos＝－1，即α＝＋2kπ(k∈Z)时，d取得最大值，为 ＝2＋5.‎ 解法二　直线l的直角坐标方程为 x－y－10＝0.‎ 因为圆C2的半径r＝2，且圆心到直线l的距离d＝＝5>2，‎ 所以直线l与圆C2相离．‎ 所以圆C2上的点M到直线l的距离的最大值为d＋r＝5＋2，‎ 最小值为d－r＝5－2.‎ ‎7．(2019·洛阳统考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，m∈R)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝(0≤θ≤π)．‎ ‎(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为2，求m的值．‎ 解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为x－y＋m＝0.‎ 由曲线C2的极坐标方程得 ‎3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]，‎ ‎∴曲线C2的直角坐标方程为 ＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ ‎(2)设曲线C2上任意一点P的坐标为 ‎(cos α，sin α)，α∈[0，π]，‎ 则点P到曲线C1的距离 d＝ ‎＝.‎ ‎∵α∈[0，π]，∴cos∈，2cos∈[－2，]，‎ 由点P到曲线C1的最小距离为2得，‎ 若m＋<0，则m＋＝－4，‎ 即m＝－4－.‎ 若m－2>0，则m－2＝4，即m＝6.‎ 若m－2<0，m＋>0，‎ 当|m＋|≥|m－2|，即m≥时，‎ ‎－m＋2＝4，即m＝－2，不合题意，舍去；‎ 当|m＋|<|m－2|，即m<时，‎ m＋＝4，即m＝4－，不合题意，舍去．‎ 综上，m＝－4－或m＝6.‎ ‎8．(2019·成都诊断)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.‎ ‎(1)求θ的值；‎ ‎(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．‎ 解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为 x2＋(y－2)2＝4，‎ ‎∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程为 ‎(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，‎ 即ρ＝4sin θ.‎ 由ρ＝2，得sin θ＝，‎ ‎∵θ∈，∴θ＝.‎ ‎(2)易知直线l的普通方程为 x＋y－4＝0，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ－4＝0.‎ 又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，‎ 联立 解得ρ＝4.‎ ‎∴点B的极坐标为，‎ ‎∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.‎