2020-2021学年高二数学上册同步练习：运用立体几何中的向量方法解决平行问题 11页

2020-2021 学年高二数学上册同步练习：运用立体几何中的向量方法解决平行问题 一、单选题 1．已知点 A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段 AB 上一点,且 2 3A C A B ,则点 C 的坐标为（ ） A． 7 1 5( , , )2 2 2 B． 3( , 3 ,2)8  C． 7( , 1, 1)3  D． 5 7 3( , , )2 2 2 【答案】C 【解析】设 C 的坐标是（x，y，z） ∵A(3,3,-5),B(2,-3,1)， ∴ 1 6 6 , 3 3 5AB AC x y z      （ ， ，） （ ， ， ） ∵ 2 3A C A B ， ∴ 233516 6, 3xyz（ ， ， ） （ ， ，） 由此解得 7 ,1,1,3xyz   ， 故选 C. 2．在正方体 1111ABCDA BC D 中,平面 1A C B 的一个法向量为（ ） A． 1BD B． DB C． 1BA D． 【答案】A 【解析】如图所示， 由正方体的性质可得：BD1⊥B1C，BD1⊥AC． ∴BD1⊥平面 ACB1． ∴平面 ACB1 的一个法向量为 1BD ． 故选 A． 3．已知空间四边形 ABCD 中,AC=BD,顺次连接各边中点 P,Q,R,S,如图,所得图形是（ ） A．长方形 B．正方形 C．梯形 D．菱形 【答案】D 【解析】因为 111 222PQBQBPBCBAAC . 同理 1 2SR AC ,所以 P Q S R , 所以四边形 PQRS 为平行四边形. 又 111 222PSASAPADABBD , 所以| PS |= 1 |2 BD |,即 PS= 1 2 BD. 又| PQ |= 1 |2 AC |, 故 PQ= AC,而 AC=BD, 所以 PS=PQ,故四边形 ABCD 为菱形. 故选 D． 4．如图，在平行六面体 A B C D - 1111ABCD 中，点 ,,M P Q 分别为棱 AB ， ,C D B C 中点，若平行六面体的 各棱长均相等，给出下列说法： ① 1AM ∥ 1DP；② 1AM ∥ 1BQ； ③ 1AM ∥ 平面 11D C C D ；④ 1AM ∥ 平面 11D P Q B ， 则以上正确说法的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】连接 PM，因为 M、P 为 AB、CD 的中点，故 PM 平行且等于 AD。由题意知 AD 平行且等于 11AD 。故 PM 平行且等于 11AD 。所以 11P M A D 为平行四边形，故①正确。 显然 1AM 与 1BQ为异面直线。故②错误。 由①知 1AM ∥ 1 DP。由于 1DP即在平面 11D C C D 内，又在平面 11D P Q B 内。 且 1AM 即不在在平面 11DCC D 内，又不在平面 11D P Q B 内。 故③④正确 故选 C 5．若 AB =λ CD +μ CE ,则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是（ ） A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内. 【答案】D 【解析】∵ =λ +μ ,∴ ,,ABCDCE 共面,则 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或在平面内. 故选 D 6．若点 A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)，则平面 ABC 的一个法向量为（ ） A．(bc,ac,ab) B．(ac,ab,bc) C．(bc,ab,ac) D．(ab,ac,bc 【答案】A 【解析】设法向量为 n=(x,y,z),则 AB ·n=0, AC ·n=0, 则 0 0 axby axcz   ，所以 n=(bc,ac,ab). 故选 A 7．在如图所示的坐标系中， 1 1 1 1ABCD A BC D 为正方体，给出下列结论： ①直线 1DD 的一个方向向量为(0,0,1)； ②直线 1BC 的一个方向向量为(0,1,1)； ③平面 11A B B A 的一个法向量为(0,1,0)； ④平面 1B C D 的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 DD1∥AA1, 1AA =(0,0,1)，故①正确； BC1∥AD1, 1AD =(0,1,1), 故②正确； 直线 AD⊥平面 ABB1A1, AD =(0,1,0). 故③正确； 点 C1 的坐标为(1,1,1), 1AC 与平面 B1CD 不垂直,故④错. 故选 C 8．已知空间三点坐标分别为 A（4,1,3），B(2,3,1），C（3,7，-5），又点 P（x,-1,3) 在平面 ABC 内，则 x 的值（ ） A．-4 B．1 C．10 D．11 【答案】D 【解析】  , 1,3Px点 在平面 ABC 内 ,存在实数 使得等式 AP AB AC成立      4, 2,0 2,2, 2 1,6, 8x          42 226 028 x        ，消去 ， 解得 11x  故选 D 9．若平面  ，  的法向量分别为 1 , 1 , 32a    ，  1,2 ,6b  ，则（ ） A． // B． 与 相交但不垂直 C．  D． 或 与 重合 【答案】A 【解析】因为平面 ， 的法向量分别为 ， 即 2ab ，所以 //ab rr 所以 故选 A 10．若平面 ， 平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（ ） A．  1 1,2,3n  ，  2 3,2,1n  B．  1 1,2,2n  ，  2 2,2,1n  C．  1 1,1,1n  ， D． ，  2 2,2,2n  【答案】D 【解析】两个平面平行时，其法向量也平行， 对于 A 选项， 123 321 ，则 1n ur 与 2n uur 不共线，A 选项不合乎题意； 对于 B 选项， 1 2 2 2 2 1 ，则 与 不共线，B 选项不合乎题意； 对于 C 选项， 1 1 1 2 2 1 ，则 与 不共线，C 选项不合乎题意； 对于 D 选项， 111 222 ，则 与 共线，D 选项合乎题意. 故选 D. 11．已知平面 内的三点  0,0,1A ，  0,1,0B ，  1,0,0C ，平面 的一个法向量为  1, 1, 1n     ，且 与 不重合，则（ ） A． // B．  C．  与  相交但不垂直 D．以上都不对 【答案】A 【解析】  0 ,1, 1AB ，  1,0 , 1AC ，          1,1,10,1,11011110nAB  ，    1,1,11,0,1nAC    110110 ， n A B ， n A C ， n 也为 的一个法向量，又 与 不重合，因此， . 故选 A. 12．直线 l 的方向向量为 a ，平面 内两共点向量 OA 、 OB ，下列关系中能表示 //l  的是（ ） A． a OA B． a kO B C． apOAOB  D．以上均不能 【答案】D 【解析】对于 A 选项， a OA ，则 //l O A ， OA  ，则 或 l  ； 对于 B 选项， a kOB ，则 //l O B ， OB  ，则 或 ； 对于 C 选项，设平面 的法向量为 n ，则 0nOA， 0nOB，   0n a n pOA OB      ， an ，则 或 . 因此，A、B、C 选项都不一定能表示 . 故选 D. 二、填空题 13．已知直线 的方向向量 v =(2, 1,3)，且过 A(0,y,3)和 B(-1,-2,z)两点，则 y=________，z=_________. 【答案】 3 2 3 2 【解析】∵直线 l 的方向向量为v =(2,-1,3)，且直线过 A（0，y，3），B（-1，2，z）两点． 则 1 2 3 213AB y z      （ ,,） （ ,,） 则 113 23222 yz    ， ， 解得： 33 22yz   ． ， 故填 ． 14．已知平面  的一个法向量为 (1,2,2),(2,1,0)nAB ，则直线 AB 与平面 的位置关系为_______. 【答案】直线 在平面 上或直线 与平面 平行 【解析】由  1 2 +2 1+2 0 0n AB       ，所以 n A B . 又向量 n 为平面 的一个法向量. 所以直线 在平面 上或直线 与平面 平行. 故填直线 在平面 上或直线 与平面 平行. 15．平面 α 的法向量 u =(x，1，-2)，平面 β 的法向量 v = 11, , 2y ，已知 α∥β，则 x+y=______. 【答案】 15 4 【解析】因为 α∥β,所以 u∥v.则 1-2 1-1 2 x y , 即 4, 1-,4 x y   故 x+y= . 故填 16．已知平面 内有一个点  2,1,2A  ， 的一个法向量为  3,1,2n  ，则下列各点中，在平面 内的是 ________．（把正确的序号都填上） ① 1, 1,1 ；② 31,3, 2   ；③ 31,3, 2  ；④ 31,3, 2  . 【答案】② 【解析】设①②③④中的点分别为 B 、 C 、 D 、 E . 对于①中的点  1,1,1B  ，  1,0, 1AB    ， 3 2 5 0AB n       ，则 B  ； 对于②中的点 31,3, 2C   ， 11,4, 2AC    ， 13 4 2 02AC n         ，则C  ； 对于③中的点 31, 3 , 2D  ， 11,2, 2AD  ， 3210ADn ，则 D  ； 对于④中的点 31 ,3 , 2E  ， 73,4, 2AE  ， 9470AEn ，则 E  . 因此，②中的点在平面  内. 故填②. 17．已知 a =(2，-1，3)， b =(-1，4，-2)， c =(7，7，λ)，若 ， ， 共面，则实数 λ=_________. 【答案】9 【解析】∵ a =(2,-1,3), b =(-1,4,-2), c =(7,7,λ),， ∴由若 , , 共面，则存在实数 m，n，使得 c m a n b ＝ ， ∴（7，7，λ）=m（2，-1，3）+n（-1，4，-2）， ∴ 27 47 32 mn mn mn     ＝ ＝ ＝ ， 解得 n=3，m=5， ∴λ=3×5-2×3=9． 故填 9． 18．如图，四棱锥 P•ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，PD⊥底面 ABCD，且 PD＝1，若 E，F 分 别为 PB，AD 中点，则直线 EF 与平面 PBC 的位置关系是________. 【答案】垂直 【解析】以 D 为原点，DA，DC，DP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 E 111,,222   ，F 1 ,0,02   ，∴ EF ＝ 110, ,22  ， 平面 PBC 的一个法向量 n ＝(0,1,1)． ∵ EF ＝－ 1 2 n ，∴ ∥ .∴EF⊥平面 PBC． 故填垂直 三、解答题 19．已知三棱锥 O-ABC 中，OA=OB=1，OC=2，OA，OB，OC 两两垂直，试找出一点 D，使 BD∥AC，DC ∥AB． 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，设所求点 D(x，y， z). 由 BD∥AC，DC∥AB⇒ ,BDACDCAB ，因此 1 2 -1,( , -1, )(-1,0,2), 1,(- ,- ,2- )(-1,1,0), 2. xx yzk yxyzk z     即点 D 的坐标为(-1，1，2). 20．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(0，0，2)，B(4，2，0)，C(2，4，0)，求平面 ABC 的单位法向量. 【解析】 AB =(4,2,-2)， AC =(2,4,-2), 设 n=(x,y,z)是平面 ABC 的单位法向量， 则有 2 2 2 2| | 1, 1, · 0, 2 - 0, 2 - 0.· 0 n x y z n AB x y z x y zn AC              取 z>0，得 x=y= 1 11 ,z= 3 11 . 故平面 ABC 的单位法向量为 n= 1 1 3,, 11 11 11   . 21．如图，已知三棱锥 P－ABC，D，E，F 分别是棱 PA，PB，PC 的中点．求证：平面 DEF∥平面 ABC． 【解析】证明如图:设 PD =a， PE =b， PF =c， 则 PA =2a， PB =2b， PC =2c， 所以 DE =b-a， DF =c-a， AB =2b-2a， AC =2c-2a， 对于平面 ABC 内任一直线 l，设其方向向量为 e，由平面向量基本定理知，存在唯一实数对(x，y)，使 e=x +y =x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2x +2y ，因此 e 与 ,D E D F 共面，即 e∥平 面 DEF，所以 l⊄平面 DEF，即 l∥平面 DEF.由 l 的任意性知，平面 ABC∥平面 DEF. 22．如图所示，ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，PA=AD，M，N，Q 分别是 PC，AB，CD 的中点. 求证:（1）MN∥平面 PAD； （2）平面 QMN∥平面 PAD. 【解析】（1）证明:如图以 A 为原点，以 AB，AD，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 设 B(b，0，0)，D(0，d，0)，P(0，0，d)，则 C(b，d，0)， 因为 M，N，Q 分别是 PC，AB，CD 的中点， 所以 M ,,2 2 2 b d d  ，N ,0 ,02 b  ，Q , ,02 b d  ， 所以 0,- ,-22 ddMN   . 因为平面 PAD 的一个法向量为 m=(1，0，0)， 所以 MN ·m=0，即 ⊥m. 因为 MN 不在平面 PAD 内，故 MN∥平面 PAD. （2） QN =(0，-d，0)， ⊥m， 又 QN 不在平面 PAD 内，又 QN∥平面 PAD. 又因为 MN∩QN=N，所以平面 MNQ∥平面 PAD