【数学】2020届一轮复习人教A版 直线与圆的位置关系 课时作业 15页

‎ 1、圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎2、一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为(　　)‎ A. B. C. D .‎ ‎3、如图， 是圆的直径， 是圆上的点， ， ， ，则的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 4、‎ 如图，过点P作⊙O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C，D，若∠AEB＝30°，则∠PCE＝________.‎ ‎5、已知点是半径为4的圆内的一个定点，点是圆上的一个动点，线段的垂直平分线与半径相交于点，则的最大值为_________. 6、已知点在圆直径的延长线上，切圆于点，分别交，于点，，.‎ ‎（1）求证：为的平分线；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎7、已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是的平分线，是下半圆的中点.求证：直线PC经过点.‎ ‎8、如图，是圆的切线，切点为，是过圆心的割线且交圆于点，过作圆的切线交于点，.求证：.‎ ‎9、如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，‎ DA＝DC．求证：CA＝3CB．‎ ‎10、如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．‎ ‎（I）证明：A，P，O，M四点共圆；‎ ‎（II）求∠OAM＋∠APM的大小．‎ ‎11、如图，已知圆是的外接圆，是边上的高，是圆的直径.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）过点作圆的切线交的延长线于点，若，求的长.‎ ‎12、如图，已知圆是的外接圆，，是边上的高，是圆的直径．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）过点作圆的切线交的延长线于点，若，，求的长．‎ ‎13、如图，在中，，以为直径的圆交于点是边上一点，与圆交于点，连接.‎ ‎（1）证明：四点共圆；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎14、如图，已知是圆的切线，为切点，是圆的割线，与圆交于，两点，圆心在的内部，点是的中点.‎ ‎（1）证明，，，四点共圆；‎ ‎（2）求的大小.‎ ‎15、如图，锐角的内心为，过点作直线的垂线，垂足为点，点为内切圆与边的切点.‎ ‎（1）求证: 四点共圆；‎ ‎（2）若，求的度数.‎ ‎16、如图，圆和圆相交于点，半径、半径所在直线分别与圆、圆相交于点，过点作的平行线分别与圆、圆相交于点．证明：．‎ ‎17、如图，已知为圆的一条弦，点为弧的中点，过点任作两条弦分别交于点.‎ 求证：.‎ ‎18、在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．‎ ‎（1）若BC是圆O的切线，且AB＝8，BC＝4，求线段AM的长度；‎ ‎（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB＝2AC，求证：BN＝2MN．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0.求实数a，b的值．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．‎ D．选修4—5：不等式选讲 设a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．‎ ‎19、如图，为的直径，为上一点，过作的切线交的延长线于点，‎ 若，求证：.‎ ‎20、在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2＝AB·ED．‎ 参考答案 ‎1、答案：C 如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，‎ 则线AB所对的圆心角∠AOB=，‎ 作OM⊥AB,垂足为M,在Rt△AOM中,AO=r,∠AOM=，‎ ‎∴AM=r,AB=r，‎ ‎∴l=r，由弧长公式 l=|α|r，‎ 得,α===.‎ 本题选择C选项.‎ ‎2、答案：C 如图，‎ 等边三角形是半径为的圆的内接三角形，则线段所对的圆心角，作，垂足为，在 中， ， ，‎ ‎∴， ，∴，由弧长公式，得．‎ 故选 C.‎ ‎3、答案：B 由题意得 过圆心，所以 ‎4、答案：75°‎ 由题易得∠PEB＝∠PAE，又由三角形外角性质得∠PCE＝∠CPA＋∠PAE，‎ 又△PEC的内角和为2(∠CPA＋∠PAE)＋30°＝180°，‎ 所以∠CPA＋∠PAE＝75°，即∠PCE＝75°.‎ 名师点评：命题要点： (1)利用相似三角形的性质、弦切角定理证明角相等；求角．(2)利用圆的切割线定理、相交弦定理证明线段成比例、线段相等．‎ ‎5、答案：4‎ ‎∵A是半径为4的圆C内一个定点，P是圆C上的一个动点，‎ 线段MP的垂直平分线l与半径CP相交于点Q，‎ ‎∴|CQ|+|QM|=|CQ|+|QP|=|CP|=4，‎ ‎∴，‎ ‎∴|CQ|？|QM|？4，‎ 当且仅当Q为CP中点时取等号，‎ ‎∴|CQ|？|QM|的最大值为4.‎ 故答案为：4.‎ ‎6、答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ 试题分析：判断为等腰直角三角形，根据弦切角定理，三角形外角定理，及圆周角定理的推论即可得证（2）若结合（1）的结论，可以得到三个角的度数，解三角形即可求得结果 ‎（Ⅰ）∵为圆的切线，∴，‎ 又∵为直径，，∴.‎ 又∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴为的平分线 ‎（Ⅱ），∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴ 7、答案：试题分析：因为是下半圆的中点，所以,从而是的平分线．又PC也是的平分线，的平分线有且只有一条，所以PC与重合.所以直线PC经过点.‎ 试题连结，则．‎ 因为是圆周角，同弧上的圆心角，‎ 所以． ‎ 同理可得，，所以是的平分线． ‎ 又PC也是的平分线，的平分线有且只有一条，所以PC与重合.‎ 所以直线PC经过点.10分 考点：等弧对应等角 8、答案：试题分析：由切割线定理得，，即得得，即得，解得.‎ 试题∵是圆的切线，∴，‎ 连结，则，‎ ‎∵是圆的切线，∴，‎ 又，∴，∴，‎ 则，‎ 而，∴，∴，‎ 由得，代入得，‎ 故． 9、答案：试题分析：‎ 连接，,为圆的切线，，从而 ‎,可得，进而可得结果 试题证明：连接OD，因为DA=DC，‎ 所以∠DAO=∠C．‎ 在圆O中，AO=DO，所以∠DAO=∠ADO，‎ 所以∠DOC=2∠DAO=2∠C．‎ 因为CD为圆O的切线，所以∠ODC=90°，‎ 从而？DOC＋？C＝90°，‎ 即2∠C＋∠C＝90°，故∠C＝30°，‎ 所以OC＝2OD＝2OB，‎ 所以CB＝OB，所以CA＝3CB． 10、答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）90°.‎ 试题分析：（1）证明四点共圆，一般利用对角互补进行证明：根据相切及垂径定理得OP⊥AP及OM⊥BC，从而得∠OPA＋∠OMA＝180°.（2）根据四点共圆得同弦所对角相等：∠OAM＝∠OPM，因此 ‎∠OPM＋∠APM＝90°，‎ 试题（1）证明连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.‎ 因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，‎ 于是∠OPA＋∠OMA＝180°.‎ 由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆.‎ ‎（2）解由（1）得A、P、O、M四点共圆，‎ 所以∠OAM＝∠OPM，‎ 由（1）得OP⊥AP，因为圆心O在∠PAC的内部，‎ 所以∠OPM＋∠APM＝90°，‎ 所以∠OAM＋∠APM＝90°.‎ 考点：四点共圆 11、答案：(1)详见解析;(2).‎ 试题分析：（1）连接，由，得~，由对应边成比例即得；（2）是圆的切线，~，设，得，，故.‎ 试题（1）连接.则有为直角三角形，所以，又 所以，所以 即，又，故 ‎（2）因为为圆的切线，所以 又，从而解得 因为，‎ 所以，所以，即. 12、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）连结，则有为直角三角形，∴，再利用，即可证明；（2）证明，即可得到的长．‎ 试题（1）连结，则有为直角三角形，‎ ‎∴‎ 又 ‎∴‎ 即 ‎∵，∴‎ ‎（2）∵为圆的切线，∴‎ ‎∴，∵‎ ‎∴，∴，∴．‎ ‎【考点】相似三角形的应用；与圆有关的比例线段． 13、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）由直角三角形相识，圆周角定理得，从而进而可证结论；（2）先根据射影定理求得，从而得进而利用相交弦定理可得的值．‎ 试题（1）证明:连接是的直径,,‎ ‎,,‎ 四点共圆．‎ ‎（2）连接是的直径,,‎ 即四点共圆,．‎ ‎【考点】1、四点共圆的判定；2、圆周角定理及相交弦定理． 14、答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ 试题分析：（Ⅰ）点P是圆的切点，所以,点M是弦BC的中点，所以,可知四边形的对角互补，所以，，，四点共圆；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，四点共圆，所以根据同弧所对的圆周角相等，得到，再根据,易得的大小.‎ 试题（Ⅰ）证明：连结，．‎ 因为与圆O相切于点，所以．‎ 因为是圆O的弦的中点，所以．‎ 于是．‎ 由圆心在的内部，‎ 可知四边形的对角互补，所以，，，四点共圆．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，，，四点共圆，所以．‎ 由（Ⅰ）得．‎ 由圆心在的内部，可知．‎ 所以．‎ ‎【考点】圆的相关性质 15、答案：（1）见推证过程；（2）。‎ ‎【试题分析】（1）借助题设条件“由圆与边相切于点”可得，再由 ，得进行推证；（2）借助（1）的结论可推得，及，进而求得，由，得到推出：‎ 解：连接.‎ ‎（1）由圆与边相切于点，得，由 ，得，‎ ‎∴点在以为直径的圆上，即四点共圆.‎ ‎（2） 由（1）知四点共圆，‎ ‎∴，‎ 又 ，‎ 由，得，‎ ‎∴，由得.‎ ‎16、答案：见解析 试题分析：根据平角得三点共线，根据同弦所对角相等得四点共圆．根据四点共圆性质得，即得，同理可得，根据等量性质得．‎ 试题解析:解：延长、分别与圆、圆相交于点，连结．则，所以三点共线．‎ 又，于是四点共圆．‎ 故，从而，因此，同理 ‎．所以． 17、答案：试题分析：连结PA，PB，CD，BC，因为∠PAB=∠PCB，‎ 又点P为弧AB的中点，所以∠PAB=∠PBA，所以∠PCB=∠PBA．又∠DCB=∠DPB，‎ 所以∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，所以E，F，D，C四点共圆．‎ 试题 连结PA，PB，CD，BC．‎ 因为∠PAB=∠PCB，‎ 又点P为弧AB的中点，所以∠PAB=∠PBA，‎ 所以∠PCB=∠PBA．又∠DCB=∠DPB，‎ 所以∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，‎ 所以E，F，D，C四点共圆．‎ 所以．‎ ‎ 18、答案：见解析.作差比较，化简得出原式=，即可作出证明。‎ 试题 证明：a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2)＝(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2‎ ‎＝(a2＋b2－2ab)2＝(a－b)4.‎ 因为a≠b，所以(a－b)4＞0，所以a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．‎ 试题分析：（1）因为是圆的切线，故由切割线定理得，设，列出方程，即可求解的值，得到的长；‎ ‎（2）根据和相似，列出比例关系式，即可得出证明。‎ 试题 解：（1）因为BC是圆O的切线，故由切割线定理得BC2＝BM·BA．‎ 设AM＝t，因为AB＝8，BC＝4，‎ 所以42＝8(8－t)，解得t＝6，即线段AM的长度为6.‎ ‎（2）因为四边形AMNC为圆内接四边形，所以∠A＝∠MNB．又∠B＝∠B，所以△BMN∽△BCA，‎ 所以＝．‎ 因为AB＝2AC，所以BN＝2MN．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0.求实数a，b的值． 19、答案：试题分析：根据弦切角定理得，而可得，因此，即得，因此.‎ 试题解：连接，‎ 因为为切线且点为切点，所以，‎ 因为,‎ 所以 又因为 所以 故，所以，从而. 20、答案：试题分析：连接BD，利用相似三角形的结论可得AD2＝AB·ED．‎ 试题 连接BD，因为直线AE与圆O相切，所以∠EAD＝∠ABD．‎ 又因为AB∥CD，所以∠BAD＝∠ADE，‎ 所以△EAD∽△DBA．‎ 从而＝，所以AD2＝AB·ED． ‎