【数学】2020届一轮复习人教B版平摆线与圆的渐开线作业 5页

‎2020届一轮复习人教B版 平摆线与圆的渐开线 作业 ‎1．若某圆的渐开线方程是(φ为参数)，则此圆的方程是_______，对应φ＝0的点的坐标是________，对应φ＝的点是________．‎ ‎【解析】　圆的方程为x2＋y2＝1，φ＝0的点的坐标是(1,0)，对应φ＝的点的坐标是(，1)．‎ ‎【答案】　x2＋y2＝1　(1,0)　(，1)‎ ‎2．摆线(0≤θ≤2π)与直线y＝1交点的直角坐标为________．‎ ‎【导学号：98990039】‎ ‎【解析】　当y＝1时，有2(1－cos θ)＝1，‎ ‎∴cos θ＝，又∵0≤θ≤2π，∴θ＝或，‎ 当θ＝时，x＝－；当θ＝时，x＝＋.‎ ‎【答案】　(－，1)，(＋，1)‎ ‎3．如图448，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中弧AE、EF、FG、GH的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是________．‎ 图448‎ ‎【解析】　＝2π ，‎ 相加得5π.‎ ‎【答案】　5π ‎4．已知一个圆的参数方程为(θ为参数)．那么圆的平摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为________．‎ ‎【解析】　根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为 (φ为参数)，‎ 把φ＝代入参数方程中可得 即A(3(－1)，3)，‎ ‎∴AB＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎5．求平摆线(0≤t＜2π)与直线y＝1的交点的直角坐标．‎ ‎【解】　由题意知，y＝1－cos t＝1，∴cos t＝0，‎ ‎∴sin t＝1，‎ ‎∴t＝2kπ＋(k∈Z)，‎ 又∵0≤t＜2π，‎ ‎∴t＝.∴x＝－1.‎ ‎∴交点的直角坐标为(－1,1)．‎ ‎6．已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．‎ ‎【解】　把已知点(3,0)代入参数方程得 解得所以基圆的面积S＝πr2＝π×32＝9π.‎ ‎7．已知摆线的生成圆的直径为‎80 mm，写出摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．‎ ‎【解】　因为摆线的生成圆的半径r＝40 mm，所以此摆线的参数方程为 它一拱的拱宽为2πr＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r＝2×40＝80(mm)．‎ ‎4．抛物线y2－2x－6ysin θ－9cos2θ＋8cos θ＋9＝0，求顶点的轨迹的普通方程．‎ ‎【解】　抛物线方程可化为(y－3sin θ)2＝2(x－4cos θ)，所以其顶点的参数方程为普通方程为＋＝1.‎ ‎8．已知椭圆(θ为参数)，F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不在x轴上的一点，求△PF‎1F2的重心G的轨迹方程．‎ ‎【解】　F1(－3,0)、F2(3,0)，设P(5cos θ，4sin θ)、G(x，y)，所以G的轨迹方程为(θ为参数，sin θ≠0)．‎ ‎9．如图449，已知半圆x2＋y2＝1(y≥0)，定点A(－2,0)，设B为圆上一动点，以AB为一边在上半平面内作正方形ABCD，设P为正方形ABCD的中心，求点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线．‎ ‎【导学号：98990040】‎ 图449‎ ‎【解】　设轨迹上任意一点为P(x，y)，‎ 又设D(x0，y0)，∠xOB＝θ(0≤θ≤π)，‎ 则B(cos θ，sin θ)，＝(cos θ＋2，sin θ)，＝(x0＋2，y0)．由⊥且||＝||，‎ 得 解得 因为P是BD的中点，所以 (0≤θ≤π)．消去θ，得点P的轨迹方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝(－≤x≤－，‎ ≤y≤)，它表示以(－1,1)为圆心，为半径的半圆的一部分．‎ ‎10．如图4410所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α(以弧度为单位)为参数．求半径为2的圆的摆线的参数方程．‎ 图4410‎ ‎【解】　当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如题图所示，∠ABM＝α.‎ 由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，‎ 向量＝(2α，2)，向量＝(2sin α，2cos α)，‎ ＝(－2sin α，－2cos α)，‎ 因此＝＋ ‎＝(2α－2sin α，2－2cos α)‎ ‎＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．‎ 动点M的坐标为(x，y)，向量＝(x，y)，‎ 所以 这就是所求摆线的参数方程．‎ ‎[能力提升]‎ ‎11．求半径为4的圆的渐开线的参数方程．‎ ‎【解】　以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则AM＝＝4θ.‎ 作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得 ＝(4cos θ，4sin θ)．‎ 由几何知识知 ‎∠MAB＝θ，‎ ＝(4θsin θ，－4θcos θ)，‎ 得＝＋ ‎＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)‎ ‎＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．‎ 又＝(x，y)，‎ 因此有 这就是所求圆的渐开线的参数方程．‎