【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章第8讲曲线与方程(理)作业 7页

对应学生用书[练案61理]‎ 第八讲　曲线与方程(理)‎ A组基础巩固 一、选择题 ‎1．(2019·云南质量检测)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(　D　)‎ A．x2＋y2＝2　　　 B．x2＋y2＝4‎ C．x2＋y2＝2(x≠±)　　　 D．x2＋y2＝4(x≠±2)‎ ‎[解析]　MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D．‎ ‎2．在△ABC中，已知A(－1,0)，C(1,0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B的轨迹方程是(　D　)‎ A．＋＝1　　　 B．＋＝1(x≠±)‎ C．＋＝1　　　 D．＋＝1(x≠±2)‎ ‎[解析]　∵|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，‎ ‎∴|BC|＋|BA|＝2|CA|＝4.‎ ‎∴点B的轨迹是以A，C为焦点，半焦距c＝1，长轴长2a＝4的椭圆，又B是三角形的顶点，A、B、C三点不能共线，故所求的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．‎ ‎3．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　D　)‎ A．双曲线　　　 B．椭圆 C．圆　　　 D．抛物线 ‎[解析]　连接MF，由中垂线性质知|MB|＝|MF|，‎ 即M到定点F的距离与它到直线x＝－1距离相等．‎ ‎∴点M的轨迹是抛物线，∴D正确．‎ ‎4．(2019·金华模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q 是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　D　)‎ A．2x＋y＋1＝0　　　 B．2x－y－5＝0‎ C．2x－y－1＝0　　　 D．2x－y＋5＝0‎ ‎[解析]　设Q(x，y)，∵|PM|＝|MQ|，∴M为线段PQ的中点，∴则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0.‎ ‎5．(2019·四川雅安调研)设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是(　B　)‎ A．圆　　　 B．两条平行直线 C．抛物线　　　 D．双曲线 ‎[解析]　设P(1，a)，Q(x，y)．以点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，＝－1，x＝－ay，∵|OP|＝|OQ|，∴1＋a2＝x2＋y2＝a2y2＋y2＝(a2＋1)y2，而a2＋1>0，∴y2＝1，∴y＝1或y＝－1，∴动点Q的轨迹是两条平行于x轴的直线．‎ ‎6．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”，以下曲线不是“好曲线”的是(　B　)‎ A．x＋y＝5　　　 B．x2＋y2＝9‎ C．＋＝1　　　 D．x2＝16y ‎[解析]　M点的轨迹是双曲线 －＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x2＋y2＝9与M点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M点的轨迹都有公共点，所以圆x2＋y2＝9不是“好曲线”．‎ ‎7．(2019·大同模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　D　)‎ A．y2＝2x　　　 B．(x－1)2＋y2＝4‎ C．y2＝－2x　　　 D．(x－1)2＋y2＝2‎ ‎[解析]　如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，‎ 连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.‎ 又∵|PA|＝1，∴|PM|＝＝，‎ 即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.‎ ‎8．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(　A　)‎ A．x2＝2y－1　　　 B．x2＝2y－ C．x2＝y－　　　 D．x2＝2y－2‎ ‎[解析]　把抛物线方程y＝x2化成标准形式x2＝4y，可得焦点F(0,1)，‎ 设P(x0，y0)，PF的中点为M(x，y)．‎ 由中点坐标公式得，∴ 又∵P(x0，y0)在抛物线y＝x2上，‎ ‎∴2y－1＝(2x)2，即x2＝2y－1，故选A．‎ 二、填空题 ‎9．(2019·梅州质检)动圆M经过双曲线x2－＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是__y2＝－8x___.‎ ‎[解析]　双曲线x2－＝1的左焦点F(－2,0)，动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2＝－8x.‎ ‎10．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是　＋＝1(y≠0) 　.‎ ‎[解析]　设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．‎ ‎11．(2019·江西九江联考)设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，则点N的轨迹方程为__y2＝4x___.‎ ‎[解析]　设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，由＝2，得即因为⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0，即－x＋y2＝0，所以点N的轨迹方程为y2＝4x.‎ 三、解答题 ‎12．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎[解析]　由题设知F(，0)．‎ 设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，‎ 且A(，a)，B(，b)，P(－，a)，Q(－，b)，R(－，)．‎ 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.‎ ‎(1)由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.‎ 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝＝＝＝＝－b＝k2.‎ 所以AR∥FQ.‎ ‎(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，‎ 则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a||x1－|，‎ S△PQF＝.‎ 由题设可得2×|b－a||x1－＝，‎ 所以x1＝0(舍去)，或x1＝1.‎ 设满足条件的AB的中点为E(x，y)．‎ 当AB与x轴不垂直时，‎ 由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．‎ 而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．‎ 当AB与x轴垂直时，E与D重合．所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.‎ ‎13．(2019·湖北武汉模拟)在平面直角坐标系xOy中取两个定点A1(－，0)，A2(，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝2.‎ ‎(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)过R(3,0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若＝λ(λ>1)，求证：＝λ.‎ ‎[解析]　(1)依题意知，直线A1N1的方程为y＝(x＋)，①‎ 直线A2N2的方程为y＝－(x－)，②‎ 设M(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，‎ ‎①×②得y2＝－(x2－6)，‎ 又mn＝2，整理得＋＝1.‎ 故点M的轨迹C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设过点R的直线l：x＝ty＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则N(x1，－y1)，由消去x，得(t2＋3)y2＋6ty＋3＝0，(*)‎ 所以y1＋y2＝－，y1y2＝.‎ 由＝λ，得(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)，‎ 故x1－3＝λ(x2－3)，y1＝λy2，‎ 由(1)得F(2,0)，要证＝λ，‎ 即证(2－x1，y1)＝λ(x2－2，y2)，‎ 只需证2－x1＝λ(x2－2)，只需＝－，‎ 即证2x1x2－5(x1＋x2)＋12＝0，‎ 又x1x2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9，x1＋x2＝ty1＋3＋ty2＋3＝t(y1＋y2)＋6，‎ 所以2t2y1y2＋6t(y2＋y)＋18－5t(y1＋y2)－30＋12＝0.‎ 即2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝0，而2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝2t2·－t·＝0成立，即证．‎ B组能力提升 ‎1．(2019·杭州模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　D　)‎ A．－＝1　　　 B．＋＝1‎ C．－＝1　　　 D．＋＝1‎ ‎[解析]　设圆M的半径为r，‎ 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，‎ 所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，‎ 且2a＝16,2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝4.‎ 故所求的轨迹方程为＋＝1.故选D．‎ ‎2．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　C　)‎ A．－＝1　　　 B．－＝1‎ C．－＝1(x＞3)　　　 D．－＝1(x＞4)‎ ‎[解析]　如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.‎ 根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．‎ ‎3．(2019·扬州模拟)长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足＝2，则动点C的轨迹方程为　x2＋＝1 　.‎ ‎[解析]　设A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，又C(x，y)，则由＝2，得(x－a，y)＝2(－x，b－y)，‎ 即即代入a2＋b2＝9，并整理，得x2＋＝1.‎ ‎4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为__y2＝4(x－2)___.‎ ‎[解析]　设直线方程为y＝k(x－1)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由＝，得(x1，y1)＝(x－x2，y－y2)．‎ 得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y.‎ 由联立得x＝x1＋x2＝.‎ y＝y1＋y2＝，消去参数k，得y2＝4(x－2)．‎ ‎5．(2019·合肥模拟)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC．‎ 所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.‎ 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，‎ 从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.‎ 由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，‎ 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．‎ ‎(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 所以|MN|＝|x1－x2|＝.‎ 过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，‎ A到m的距离为，‎ 所以|PQ|＝2＝4.‎ 故四边形MPNQ的面积 S＝|MN||PQ|＝12.‎ 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．‎ 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，‎ 四边形MPNQ的面积为12.‎ 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．‎