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- 2021-06-16 发布
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【课时训练】坐 标 系
解答题
1.(2018武汉调研)在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin =-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.
【解】在ρsin =-中,令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).
因为圆C经过点P,
所以圆C的半径PC==1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.
2.(2018兰州检测)设M,N分别是曲线ρ+2sin θ=0和ρsin =上的动点,求M,N的最小距离.
【解】因为M,N分别是曲线ρ+2sin θ=0和ρsin =上的动点,即M,N分别是圆x2+y2+2y=0和直线x+y-1=0上的动点,要求M,N两点间的最小距离,即在直线x+y-1=0上找一点到圆x2+y2+2y=0的距离最小,即圆心(0,-1)到直线x+y-1=0的距离减去半径,故最小值为-1=-1.
3.(2018安徽芜湖质检)在极坐标系中,求直线ρ(cos θ-sin θ)=2与圆ρ=4sin θ的交点的极坐标.
【解】ρ(cos θ-sin θ)=2化为直角坐标方程为x-y=2,即y=x-2.
ρ=4sin θ可化为x2+y2=4y,
把y=x-2代入x2+y2=4y,
得4x2-8x+12=0,即x2-2x+3=0,
所以x=,y=1.
所以直线与圆的交点坐标为(,1),化为极坐标为.
4.(2018山西质检)在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=,点R.
(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,点R的极坐标化为直角坐标;
(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.
【解】(1)曲线C:ρ2=,即ρ2+2ρ2sin2 θ=3,
从而 +ρ2sin2 θ=1.
∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,
∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1,
点R的直角坐标为R(2,2).
(2)设P(cos θ,sin θ),
根据题意可得|PQ|=2-cos θ,|QR|=2-sin θ,
∴|PQ|+|QR|=4-2sin ,
当θ=时,|PQ|+|QR|取最小值2,
∴矩形PQRS周长的最小值为4,
此时点P的直角坐标为.
5.(2018南京模拟)已知直线l:ρsin =4和圆C:ρ=2kcos (k≠0).若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标.
【解】圆C的极坐标方程可化为ρ=kcos θ-ksin θ,
即ρ2=kρcos θ-kρsin θ,
所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-kx+ky=0,
即2+2=k2,
所以圆心C的直角坐标为.
直线l的极坐标方程可化为ρsin θ·-ρcos θ·=4,
所以直线l的直角坐标方程为x-y+4=0,
所以-|k|=2.
即|k+4|=2+|k|,
两边平方,得|k|=2k+3,
所以或
解得k=-1,故圆心C的直角坐标为.
6.(2018河南开封模拟)已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.
(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程;
(2)P是l上的点,射线OP交圆C于点R,又点Q在OP上,且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q轨迹的极坐标方程.
【解】(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C:ρ=2,l:ρ(cos θ+sin θ)=2.
(2)设P,Q,R的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),则由|OQ|·|OP|=|OR|2,得ρρ1=ρ.
又ρ2=2,ρ1=,所以=4,
故点Q轨迹的极坐标方程为ρ=2(cos θ+sin θ)(ρ≠0).