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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习人教B版坐标系课时作业

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‎【课时训练】坐 标 系 解答题 ‎1.(2018武汉调研)在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin =-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.‎ ‎【解】在ρsin =-中,令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).‎ 因为圆C经过点P,‎ 所以圆C的半径PC==1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.‎ ‎2.(2018兰州检测)设M,N分别是曲线ρ+2sin θ=0和ρsin =上的动点,求M,N的最小距离.‎ ‎【解】因为M,N分别是曲线ρ+2sin θ=0和ρsin =上的动点,即M,N分别是圆x2+y2+2y=0和直线x+y-1=0上的动点,要求M,N两点间的最小距离,即在直线x+y-1=0上找一点到圆x2+y2+2y=0的距离最小,即圆心(0,-1)到直线x+y-1=0的距离减去半径,故最小值为-1=-1.‎ ‎3.(2018安徽芜湖质检)在极坐标系中,求直线ρ(cos θ-sin θ)=2与圆ρ=4sin θ的交点的极坐标.‎ ‎【解】ρ(cos θ-sin θ)=2化为直角坐标方程为x-y=2,即y=x-2.‎ ρ=4sin θ可化为x2+y2=4y,‎ 把y=x-2代入x2+y2=4y,‎ 得4x2-8x+12=0,即x2-2x+3=0,‎ 所以x=,y=1.‎ 所以直线与圆的交点坐标为(,1),化为极坐标为.‎ ‎4.(2018山西质检)在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=,点R.‎ ‎(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,点R的极坐标化为直角坐标;‎ ‎(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.‎ ‎【解】(1)曲线C:ρ2=,即ρ2+2ρ2sin2 θ=3,‎ 从而 +ρ2sin2 θ=1.‎ ‎∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1,‎ 点R的直角坐标为R(2,2).‎ ‎(2)设P(cos θ,sin θ),‎ 根据题意可得|PQ|=2-cos θ,|QR|=2-sin θ,‎ ‎∴|PQ|+|QR|=4-2sin ,‎ 当θ=时,|PQ|+|QR|取最小值2,‎ ‎∴矩形PQRS周长的最小值为4,‎ 此时点P的直角坐标为.‎ ‎5.(2018南京模拟)已知直线l:ρsin =4和圆C:ρ=2kcos (k≠0).若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标.‎ ‎【解】圆C的极坐标方程可化为ρ=kcos θ-ksin θ,‎ 即ρ2=kρcos θ-kρsin θ,‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-kx+ky=0,‎ 即2+2=k2,‎ 所以圆心C的直角坐标为.‎ 直线l的极坐标方程可化为ρsin θ·-ρcos θ·=4,‎ 所以直线l的直角坐标方程为x-y+4=0,‎ 所以-|k|=2.‎ 即|k+4|=2+|k|,‎ 两边平方,得|k|=2k+3,‎ 所以或 解得k=-1,故圆心C的直角坐标为.‎ ‎6.(2018河南开封模拟)已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.‎ ‎(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)P是l上的点,射线OP交圆C于点R,又点Q在OP上,且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q轨迹的极坐标方程.‎ ‎【解】(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C:ρ=2,l:ρ(cos θ+sin θ)=2.‎ ‎(2)设P,Q,R的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),则由|OQ|·|OP|=|OR|2,得ρρ1=ρ.‎ 又ρ2=2,ρ1=,所以=4,‎ 故点Q轨迹的极坐标方程为ρ=2(cos θ+sin θ)(ρ≠0).‎