【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版4-7正弦定理和余弦定理作业 6页

课时跟踪检测（二十三） 正弦定理和余弦定理 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．(2019·泰州模拟)在△ABC中，BC＝3，B－A＝，且cos B＝－，则AC＝________.‎ 解析：∵B－A＝，∴cos B＝cos＝－sin A＝－，∴sin A＝，sin B＝.‎ ‎∴由正弦定理，得AC＝＝＝4.‎ 答案：4‎ ‎2．(2018·姜堰中学测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则＝________.‎ 解析：由已知及余弦定理得cos B＝＝＝，所以＝.‎ 答案： ‎3．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsin A＝3csin B，a＝3， cos B＝，则b＝________.‎ 解析：bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，‎ 所以b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋1－2×3×1×＝6，b＝.‎ 答案： ‎4．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为________．‎ 解析：由题意得cos A＝＝，‎ 所以sin A＝ ＝，‎ 所以边AC上的高h＝ABsin A＝.‎ 答案： ‎5．(2019·如东调研)设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＝2‎ ，c＝3，C＝，则△ABC的面积为________．‎ 解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－ab，即9＝12－ab，故ab＝3，‎ 则S△ABC＝absin C＝.‎ 答案： ‎6．(2018·苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°－α，其中0°＜α＜30°.由正弦定理得m＝＝·＋＞×＋＝2.‎ 答案：(2，＋∞)‎ 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．在△ABC中，2acos A＋bcos C＋ccos B＝0，则角A的大小为________．‎ 解析：由余弦定理得2acos A＋b·＋c·＝0，即2acos A＋a＝0，‎ 所以cos A＝－，A＝120°.‎ 答案：120°‎ ‎2．(2018·海门中学检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为________．‎ 解析：依题意得cos C＝＝，即C＝60°，因此△ABC的面积等于absin C＝××＝.‎ 答案： ‎3．(2019·镇江调研)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，a＝，c＝4，则b＝________.‎ 解析：∵A＝60°，a＝，c＝4，‎ ‎∴由余弦定理，得13＝b2＋16－8bcos 60°，‎ 即b2－4b＋3＝0，‎ 解得b＝1或3.‎ 答案：1或3‎ ‎4．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，则角B的大小为____．‎ 解析：由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，所以a2＋c2－b2＝ac，又因为cos B＝，所以cos B＝，所以B＝30°.‎ 答案：30°‎ ‎5．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于________．‎ 解析：由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，‎ 故tan B＝2sin A＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝.‎ 故A＝B＝，则△ABC是正三角形，‎ 所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.‎ 答案： ‎6．(2019·无锡调研)在△ABC中，C＝，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－13x＋40＝0的两根，则AB＝________.‎ 解析：∵a，b是方程x2－13x＋40＝0的两根，‎ ‎∴a＋b＝13，ab＝40，‎ 由余弦定理，得AB2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝132－3×40＝49，‎ 则AB＝7.‎ 答案：7‎ ‎7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝________.‎ 解析：因为asin Asin B＋bcos2A＝a，由正弦定理得sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，所以sin B＝sin A，所以＝＝.‎ 答案： ‎8．(2019·苏州一模)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，‎ B，C成等差数列，则＋的值为________．‎ 解析：∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，‎ 又A＋B＋C＝π，∴B＝，‎ 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，‎ 故＋＝＝ ‎＝＝＝1.‎ 答案：1‎ ‎9．(2018·苏锡常镇调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知acos B＝3，bcos A＝1，且A－B＝.‎ ‎(1)求c的长；‎ ‎(2)求B的大小．‎ 解：(1) 法一：在△ABC中，acos B＝3，‎ 由余弦定理，得a·＝3，即a2＋c2－b2＝6c. ①‎ 由bcos A＝1，得b·＝1，即b2＋c2－a2＝2c. ②‎ ‎①＋②得2c2＝8c，所以c＝4.‎ 法二：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，‎ 则sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin C，‎ 由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，‎ 代入上式得，c＝acos B＋bcos A＝3＋1＝4.‎ ‎(2)由正弦定理得＝＝＝3.‎ 又tan(A－B)＝＝＝，‎ 解得tan B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎10．(2019·盐城期中)在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且sin＋sin＝.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若c＝3且sin A＝2sin B，求△ABC的面积．‎ 解：(1)由sin＋sin＝，‎ 得(cos C－sin C)＋(cos C＋sin C)＝，‎ ‎∴cos C＝，‎ 又0＜C＜π，∴C＝.‎ ‎(2)由c＝3且sin A＝2sin B，可得a＝2b，‎ 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C ‎＝4b2＋b2－4b2×＝3b2＝27，‎ ‎∴b＝3，a＝6，‎ 则△ABC的面积为S＝absin C＝×6×3×＝.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(B－A)＋sin(B＋A)＝3sin 2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是________．‎ 解析：由sin(B－A)＋sin(B＋A)＝3sin 2A，得2sin Bcos A＝6sin Acos A，所以cos A＝0或sin B＝3sin A.‎ 若cos A＝0，则A＝，在Rt△ABC中，C＝，‎ 所以b＝＝，此时△ABC的面积S＝bc＝××＝；‎ 若sin B＝3sin A，即b＝3a，由余弦定理得7＝a2＋9a2－2·a·3a·，得a＝1，所以b＝3，此时△ABC的面积S＝absin C＝×1×3×＝.‎ 答案：或 ‎2．(2019·苏州高三期中调研)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若b＝acos C＋csin A且CD＝，则△ABC面积的最大值是________．‎ 解析：由b＝acos C＋csin A及正弦定理可得sin B＝sin Acos C＋sin Csin A，所以sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Csin A，化简可得sin A＝cos A，所以A＝.在△ACD中，由余弦定理可得CD2＝2＝b2＋－2b··cos A≥bc－bc，当且仅当b＝时取“＝”，所以bc≤4＋2 ‎，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝bc≤＋1，所以△ABC面积的最大值是＋1.‎ 答案：＋1‎ ‎3．(2018·苏州模拟)如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cos∠B＝.‎ ‎(1)求△ACD的面积；‎ ‎(2)若BC＝2，求AB的长．‎ 解：(1)因为∠D＝2∠B，cos∠B＝，‎ 所以cos∠D＝cos 2∠B＝2cos2B－1＝－.‎ 因为∠D∈(0，π)，‎ 所以sin∠D＝＝.‎ 因为AD＝1，CD＝3，‎ 所以△ACD的面积 S＝AD·CD·sin∠D＝×1×3×＝.‎ ‎(2)在△ACD中，‎ AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠D＝12，‎ 所以AC＝2.‎ 因为BC＝2，＝，‎ 所以＝＝＝＝，‎ 所以AB＝4.‎