【数学】2020届一轮复习人教B版计数原理和概率作业(8) 7页

‎(八十四)‎ ‎1．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D. 答案　C 解析　两个数都小于的概率为，所以两个数中较大的数大于的概率是1－＝.‎ ‎2．(2019·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f(x)＝sinx＋cosx，当x∈[0，π]时，f(x)≥1的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)≥1及x∈[0，π]得x∈[0，]，∴所求概率为P＝＝.‎ ‎3．(2019·河南濮阳模拟)在[－6，9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图像与x轴有公共点的概率等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　∵f(x)＝－x2＋mx＋m的图像与x轴有公共点，∴Δ＝m2＋4m>0，∴m<－4或m>0，∴在[－6，9]内取一个实数m，函数f(x)的图像与x轴有公共点的概率P＝＝，故选D.‎ ‎4．(2016·课标全国Ⅱ，文)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A，则P(A)＝＝.‎ ‎5．(2019·青岛一模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　易知小正方形的边长为－1，故小正方形的面积为S1＝(－1)2＝4－2，大正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝＝＝.‎ ‎6.(2019·河北衡水联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是(　　)‎ A. mm2 B. mm2‎ C. mm2 D. mm2‎ 答案　A 解析　向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S＝×π×112＝(mm2)．‎ ‎7．(2018·山西太原五中月考)在区间(0，1)上任取两个数，则两个数之和小于的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设这两个数是x，y，则试验所有的基本事件构成的区域即确定的平面区域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－×()2＝，所以这两个数之和小于的概率是.‎ ‎8．(2019·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r，则由等面积法，可得×8×15＝×(8＋15＋17)r，解得r＝3，向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的概率是P＝＝.‎ ‎9．(2019·云南师大附中月考)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　以AB为直径作球，球在正方体内的区域体积为V＝×π×13＝，正方体的体积为8，∴所求概率P＝＝.‎ ‎10．(2019·九江模拟)定义：一个矩形，如果从中截取一个最大的正方形，剩下的矩形与原矩形相似，则称这样的矩形为黄金矩形，其宽与长的比为黄金比．如图，现在在黄金矩形ABCD内随机取一点，则此点取自剩下的矩形EBCF内部的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　设AB＝a，AD＝b，则EB＝a－b，＝，整理得()2＋－1＝0，解得＝(负值已舍去)．∴P＝＝1－＝.故选A.‎ ‎11.(2017·课标全国Ⅰ，理)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可知，圆中黑色部分面积与白色部分面积相等．设正方形的边长为a，则S正方形＝a2，S圆＝π()2＝a2，S黑＝a2.∴p＝＝＝，故选B.‎ ‎12．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站等待乘客，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为________．‎ 答案　 解析　∵公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度LΩ＝20分钟，某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件A，则LA＝5分钟，故P(A)＝＝.‎ ‎13．(2019·湖北鄂南一中模拟)在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，则∠CAM<30°的概率是________．‎ 答案　 解析　因为点M在直角边BC各位置上是等可能出现的，所以测度是长度．设直角边长为a，则所求概率为＝.‎ ‎14．若在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是________．‎ 答案　 解析　将取出的两个数分别用x，y表示，则0≤x≤10，0≤y≤10.如图所示，当点(x，y)落在图中的阴影区域时，取出的两个数的平方和也在区间[0，10]内，故所求概率为＝.‎ ‎15．(2019·安徽合肥一中模拟)已知关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.‎ ‎(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；‎ ‎(2)若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ 答案　(1)　(2) 解析　设事件A为“方程有实根”．‎ 当a≥0，b≥0时，方程有实根的充要条件为a≥b.‎ ‎(1)由题意知本题是一个古典概型，所有的基本事件为(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共12个，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P＝＝.‎ ‎(2)由题意知本题是一个几何概型．试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，‎ ‎∴所求的概率是＝.‎ ‎16．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．‎ ‎(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；‎ ‎(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)设甲、乙两船到达时间分别为x，y，则0≤x<24，0≤y<24且y－x>4或y－x<－4.‎ 作出区域 设“两船无须等待码头空出”为事件A，‎ 则P(A)＝＝.‎ ‎(2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y>2或y－x>4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域 P(B)＝＝＝.‎