安徽省皖南八校2021届高三数学（理）上学期第二次联考试题（Word版附答案） 16页

“皖南八校”2021届高三第二次联考 数学（理科） 18所理事学校 新考文化 2020.12 考生注意： 1．本试卷满分 150分，考试时间 120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．． 3．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用 2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 一、选择题：本题共 12小题；每小题 5 分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．若集合  3{ 2, 1,0,1}, | 2 0A B x x x      ，则 A B （ ） A．{ 1} B．{ 1,0} C．{ 2, 1,0}  D．{ 1,0,1} 2．数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说“上帝创造了整数， 其它一切都是人造的”．设 i为虚数单位，复数 (2 ) 4 3z i i   ，则 z的共轭复数是（ ） A．2 i B． 2 i C．1 2i D．1 2i 3．已知双曲线的渐近线方程是 3 0x y  ，且与椭圆 2 22 8x y  有共同焦点，则双曲线的方程为（ ） A． 2 2 22 1 3 yx   B． 2 2 1 3 yx   C． 2 2 1 4 yx   D． 2 2 1 9 yx   4．若 na 是公比为 e的正项等比数列，则 3 1ln na  是（ ） A．公比为 3e 等比数列 B．公比为 3的等比数列 C．公差为3e的等差数列 D．公差为 3的等差数列 5． (6,13)A 和 (12,11)B 是平面上圆 C上两点，过 A，B两点作圆 C的切线交于 x轴上同一点，则圆 C的 面积为（ ） A． 83 8  B． 21 2  C． 85 8  D． 43 4  6．如图，四棱锥 P ABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD是边长为 1的正方形， 1PA ．过 BD 作与侧棱 PC垂直的平面 BDE，交 PC于点 E．则CE的长为（ ） A． 2 3 B． 3 2 C． 2 2 D． 3 3 7．已知正实数 a，b，满足 a b ，则（ ） A． ln( 1) 0a b   B． 3a b a b   C． 1 1a b a b    D． 1 1a b a b    8．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的 几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 ∶ 4．在某一球内任意取一点，则此点取自球的一个内接正方体的“牟合方盖”的概率为（ ） A． 1 2 B． 2 3 C． 4 3 9 D． 3 9 9．如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 ( , )M x y 为阴影区域内的动点（不包括边界），这里 | | ,| |x y   ， 则下列不等式恒成立的是（ ） A．sin( ) 0x y  B． sin( ) 0x y  C． cos( ) 0x y  D．cos( ) 0x y  10．设正实数 a，b，c，满足 2 ln 2a ce b b ce   ，则 a，b，c的大小关系为（ ） A．a b c  B．a c b  C． c a b  D．b a c  11．已知正项数列  na 的前 n 项和为 nS ，如果 *n N 都有 1 1 2n n n S a a        ，数列  nb 满足 *9 , 2n nb S n  N ，数列 nc 满足 1 2 ,n n n nc b b b n    N ．设 nT 为 nc 的前 n项和，则当 nT 取得最大值 时，n的值等于（ ） A．17 B．18 C．19 D．20 12．已知直线 ( 1)( 0)y a x a   与曲线 ( ) cos ( ( , ))f x x x     相切于点 A、与曲线的另一交点为 B， 若 A、B两点对应的横坐标分别为 1 2 1 2, ( )x x x x ，则  1 11 tanx x （ ） A． 1 B．2 C．1 D． 2 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分． 13．已知角 6   的终边与单位圆交于点 4 3, 5 5 P      ，则 cos 2 6      的值为_________． 14．若 2 1 n x x      展开式的各项系数之和为 32，则展开式中的含 4x 项的系数为________．（用数字作答）． 15．如图所示，已知 M，N为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     上关于原点对称的两点，点 M与点 Q关于 x 轴对称， 25 16 ME MQ   ，直线NE交双曲线右支于点 P，若 2 NMP    ，则 e  _____________． 16．已知 ( ,0)( 0), (1,0)a x x b     ，若 2 2| | | | | | | | | |a b a b a a          ，则 a   ___________． 三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60分． 17．（12分） 已知三角形 ABC三内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 2sin 2 3 cos 2 A Cb A a   ． （1）求角 B； （2）若 4 A   ，角 B的平分线交 AC 于点 D， 2CD  ，求 BCDS ． 18．（12分） 8月 10日，2020年《财富》世界 500强排行榜正式发布．中国大陆（含香港）公司数量达到 124家，历史 上第一次超过美国（121家）．2008年中国加入世贸组织时中国大陆进入世界 500强的企业 12 家，以后逐 年增加，以下是 2016——2020年（年份代码依次为 1，2，3，4，5）中国大陆进入世界 500强的企业数量． 年份代码 x 1 2 3 4 5 进入 500强的企业数理 y 103 109 111 119 124 （1）已知可用线性回归模型拟合 y与 x的关系，求 y关于 x的回归方程．并预测 2021年中国大陆进入世界 500强的企业数量，结果取整； （2）2020年《财富》榜单显示共有 7家互联网公司上榜，中国大陆 4家、美国 3家．现某财经杂志计划从 这 7家公司中随机选取 3家进行深度报道，记选取的 3 家公司中，中国大陆公司个数为 ，求 的分布列 与期望． 参考数据： 5 1 566i i y   ， 5 1 1750i i i x y   ． 参考公式：回归方程  y a bx   中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为       1 1 2 2 2 1 1 , n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b a y bx x x x nx                      ． 19．（12分） 如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD所在平面互相垂直，已知 1/ / , , 2 AB CD AD CD AB AD CD   ，M 为 EC的中点． （1）求证： / /BM 平面 ADEF ； （2）求平面 BMD与平面 ABF所成锐二面角的余弦值． 20．（12分） 已知函数 1( ) ( )xf x x m e m x          R ． （1）求证：当 0m  时，函数 ( )f x 在 ( ,0) 内单调递减； （2）若函数 ( )f x 在区间 (1,2)内有且只有一个极值点，求 m的取值范围． 21．（12分） 已知抛物线 C： 2 2 ( 0)y px p  ，点 P为 y轴左侧一点，A，B为抛物线 C上两点，当直线 AB过抛物线 C焦点 F且垂直于 x轴时， AOB 面积为 2． （1）求抛物线 C标准方程； （2）若直线 ,PA PB为抛物线 C的两条切线，设 PAB 的外心为 M（点 M不与焦点 F重合），求 sin PFM 的所有可能取值． （二）选考题：共 10分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分） 已知在平面直角坐标系 xOy中，圆 C的参数方程为 2 2cos 2sin x y       （ 为参数）以原点 O为极点，x轴 的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 (sin cos ) 1    ． （1）求圆 C普通方程和直线 l直角坐标方程； （2）点 P极坐标为 1, 2       ，设直线 l与圆 C的交点为 A，B两点 A，B中点为 Q求线段 PQ的长． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10分） 已知 0, 0, 2x y x y    ，证明： （1） 2 2 2x y  ； （2） 1 1 1 x y x y    … ． “皖南八校”2021届高三第二次联考·数学（理科） 参考答案、解析及评分细则 1．A 因为  2| 2 0B x x x   ，所以 { | 2 0}B x x    ，因为 { 2, 1,0,1}A    ，所以 { 1}A B   ． 2．C ∵ 4 3 (4 3 )(2 ) 5 10(2 ) 4 3 , 1 2 2 (2 )(2 ) 5 i i i iz i i z i i i i                ，∴ 1 2z i  ． 3．B 椭圆 2 22 8x y  ，即 2 2 1 8 4 x y   的焦点为 ( 2,0) ．可设双曲线的方程为 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     ， 可得 2 2 4a b  ．由渐近线方程是 3 0x y  ，可得 3b a  ，解得 1, 3a b  ，则双曲线的方程为 2 2 1 3 yx   ． 4．D 令 3 1lnn nb a  ，则 1 3 2lnn nb a  ，所以 33 2 1 3 1 ln ln 3n n n n ab b e a        ． 5．C 由题意可知 AB中垂线为 ,CD AB中点 (9,12)E ，则直线CD方程为： 3 15y x  ，故 (5,0)D ，在 ACD 中， 2 2(6 5) (13 0) 170AD      ， 10 2 ABAE   ， 2 2(9 5) (12 0) 4 10DE      ， ∵ CAD AED ∽ ，故 CA AE AD ED  ， 170 4 AD AEr CA ED     ，故圆 C面积为 85 8  ． 6．D 依题意， ,PB BC PC BE  ，所以 2BC CE CP  ，易知 2, 3PB CP  ，则CE的长为 3 3 ． 7．D 对 A，取 3, 2a b  ，则 ln( 1) ln2 0a b    ，故错误；对 B，取 3, 2a b  ，则 1 13  ，故 错误；对 C，取 1 1, 2 4 a b  ，则 1 5 1 172 4 2 2 4 4      ，故错误；对 D，由 0a b  可知 1 1 b a  ，由同 向不等式相加的性质可得 1 1a b b a    ，可得 1 1a b a b    ． 8．C 设球的直径为 3a，则球的内接正方体的棱长为 a，正方体的内切球的半径 2 ar  ， ∴ 正 方 体 的 内 切 球 的 体 积 3 3   4 3 2 6 aV a       内接球 ， 又 由 已 知     4 V V  内接球 牟合方盖 ， ∴ 3 3   4 2 6 3 V a a     牟合方盖 ，∴此点取自球的内接正方体的“牟合方盖”的概率为 3 3 2 4 33 94 3 3 2 a a          ． 9．A 由于 | | ,| |x y   ，则 | | 2x y   ．设与 y x 相平行的直线的方程为 x y m  ，当直线 x y m  过点 ( , )  时， 2m   ；当直线 x y m  过点 ( ,0) 和 (0, ) 时， m   ；直线 x y m  过点 (0, ) 和 ( ,0) 时，m  ．则由图中阴影部分可得 2 x y      或0 x y    ， 这里 ,x y         ．则一定有 sin( ) 0x y  ． 10．B 设 ( ) ( 0)xf x xe x  ，易得 ( )f x 在 (0, ) 单调递增， 1 ,1 2 x      时， ( ) , 2 ef x e       ，而 2 2 e  ， 所以 1 ,1 2 c      ， lnln ln b cb b b e ce   ，故 ln b c ，即 ( , )cb e e e  ，而 ln 2 1 2 2 a   ，所以 a c b  ． 11．D 当 1n  时， 1 1 1 1 1 1 2 S a a a         ，整理得 2 1 1a  ，因为 0na  ，所以 1 1a  ， 当 2n… 时， 1 1 1 1 2n n n n n S S S S S         ，可得 1 1 1 n n n n S S S S     ，所以 2 2 1 1n nS S   ，即数列 2nS 是一个以 1为首项，1为公差的等差数列，所以 2 1 ( 1)nS n n    ，由 0na  ，可得 0nS  ，故 nS n ， 则 9 9 91 2 2 2 2nc n n n                ， 当1 20n„ „ 时， 0nb  ；当 21n… 时， 0nb  ， 故当1 18n„ „ 时， 0nc  ；当 19n  时， 19 0c  ；当 20n  时， 20 0c  ，当 21n… 时， 0nc  ， 又 19 20 9 920 21 (9 19 22) 0 2 2 c c               ，故当 20n  时， nT 取得最大值． 12．C 如图直线 l与 ( ) cosf x x 相切于点 A，则  1 1,cos , ( ) sinA x x f x x   ，直线过定点 (1,0)，则 1 1 1 cos sin 1 x x x    ，∴  1 11 tan 1x x  ． 13 ． 24 25  由 题 意 3 4sin ,cos 6 5 6 5                  ， 则 24cos 2 cos 2 2sin cos 6 6 2 6 6 25                                         ． 14．10 由展开式的各项系数之和为 32，则  52 10 3 1 5 52 32, 5, rn r r r r rn T C x x C x        ．令10 3 4r  ， 解得 2r  ，所以展开式中的含 4x 项的系数为 10． 15． 5 4 设    1 1 2 2, , ,M x y P x y ，则    1 1 1 1, , ,N x y Q x y   ．由 25 16 ME MQ   ，得 1 1 17, 8 E x y     从 而有 1 1 1 1 9, 16MN PN EN y yk k k x x     ，又 1 1 90 , MN yNMP k x    ，所以 1 1 MP xk y   ， 又由         2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 22 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x y a b x x x x y y y y a bx y a b             ， 从而得到 2 2PM PN bk k a   所以 2 1 1 2 1 1 9 9 16 16PM PN x y bk k y x a             ，所以 2 2 51 4 be a    ． 16． 5 1,0 2       2 2| | | | | | | | | |a b a b a a          等价于 2 1 1x x x x    ， 如图，构造三角形 ,ABC AD 为 BC边上的高且 1AD  ，其中 ,AB x AC x  ，则 2 1BD x  ， 1DC x  ， 1 1sin 2 2ABCS AB AC BAC AD BC      ， 即  21 1 1sin 1 1 2 2 2 x x BAC x x x x      ， 则 sin 1BAC  ，故 2 2 2AB AC BC  ， 则  22 2 21 1 ( )x x x x x x      ，化简得 2 1 0x x   ，又 0x  ，解得 5 1 2 x   ，故 5 1,0 2 a         ． 17．解：（1）因为 2sin 2 3 cos 2 A Cb A a   ，由正弦定理可得 2 2sin sin 2 3sin cos 2 3sin sin 2 2 2 B BB A A A       ， 2分 因为0 ,0A B     ，所以 sin 0, 0, ,sin 0 2 2 2 B BC        ， 则 22sin cos 2 3sin 2 2 2 B B B  ， 4分 故 3tan 2 3 B  ，所以 3 B   ． 6分 （2）由（1）可知 6 ABD CBD      ，又 4 A   ；所以 7 5, 12 12 ADB CDB      ，可得 5 12 BCD    ， 所以 BC BD ， 8分 在 BCD 中，由正弦定理可得 5sin sin 6 12 CD BD   ， 故 5sin 12 6 2 sin 6 BD CD      ， 10分 21 1sin sin 3 2 2 2 6BCDS CB BD CBD BD           ． 12分 18．解：（1）由题意可知 3x  ， 113.2y  ，   5 2 1 10i i x x    ，     5 5 1 1 1 1750 3 566 52 n i i i i i i i i x x y y x y x y              ， 2分       1 2 1 52ˆ 5.2 10 n i i i n i i x x y y b x x           ， ˆˆ 113.2 5.2 3 97.6a y bx      ， 所以 y关于 x的回归方程为 ˆ ˆ97.6 5.2y x  ． 5分 将 ˆ 6x  代入，得 ˆ 128.8 129y   ，故预计 2021年中国大陆进入世界 500强的企业数量大约 129家． 6 分 （2）由题意知 的所有可能取值为 0，1，2，3， 8分 0 1 2 4 4 3 3 3 7 7 1 12( 0) , ( 1) 35 35 C C CP P C C        ， 2 1 3 0 4 3 4 3 3 3 7 7 18 4( 2) , ( 3) 35 35 C C C CP P C C        ． 所以 的分布列为： 10分  0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 1 12 18 4 120 1 2 3 35 35 35 35 7 E          ． 12分 19．（1）证明：设 N为DE中点， 连接 ,MN AN （如图）， 因为 M为 EC的中点， 所以MN 为 CDE 中位线， 所以 / /MN CD，且 1 2 MN CD ． 又因为 / /AB CD，且 1 2 AB CD ， 所以 / /AB MN ，且 AB MN ． 所以四边形 ABMN 为平行四边形， 所以 / /BM AN ． 2分 因为 AN 平面 ,ADEF BM 平面 ADEF ， 所以 / /BM 平面 ADEF ． 4分 （2）解：由已知，平面 ADEF 平面 ABCD，且四边形 ADEF 为正方形，所以DE AD ． 又平面 ADEF 平面 ABCD AD ，所以DE 平面 ABCD，又DC 平面 ABCD 所以DE DC ．又因为 ,AD CD DE DA  ，所以 , ,DA DC DE两两互相垂直． 如图，以 D为坐标原点，以 , ,DA DC DE所在的直线分别为 x轴、y轴、之轴，建立空间直角坐标系． 6 分 不妨设 1AB  ，则 (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,2,0), (0,0,1)D A B C E ， 因为 M为 EC的中点，所以 10,1, 2 M       ．于是 1(1,1,0), 0,1, 2 DB DM          ， 设平面 BDM 的法向量为 ( , , )n x y z  ，则 0, 0. n DB n DM           所以 0, 1 0. 2 x y y z       令 1x  ，则 (1, 1,2)n    ． 易知平面 ABF的法向量为 (1,0,0)DA   ， 8分 设平面 BMD与平面 ABF所成锐二面角为 ， 则 1 6cos | cos , | 6| | | | 6 n DAn DA n DA               ． 所以平面 BMD与平面 ABF所成锐二面角的余弦值为 6 6 ． 12分 20．（1）证明：函数 ( )f x 的定义域为 ( ,0) (0, )   ． 1分 当 0m  时， 3 2 2 1( ) x x x xf x e x       ． 2分 设 3 2( ) 1g x x x x    ，则 2( ) 3 2 1 (3 1)( 1)g x x x x x       ． 则当 1, 3 x        时， ( ) 0g x  ，函数 ( )g x 单调递增； 当 1 ,0 3 x       时 ( ) 0g x  ，函数 ( )g x 单调递减． 4分 所以在 ( ,0) 内，函数 ( )g x 的最大值为 1 22 3 27 g        ． 即在 ( ,0) 内，函数 ( ) 0g x  ． 由于 20, 0xe x   ，所以在 ( ,0) 上， ( ) 0f x  ． 5分 所以函数 ( )f x 在 ( ,0) 上单调递减． 6分 （2）解： 3 2 2 ( 1) 1( ) x x m x xf x e x        ． 7分 设 3 2 2( ) ( 1) 1, ( ) 3 2( 1) 1g x x m x x g x x m x         ． 若函数 ( )f x 在区间 (1,2)内有且只有一个极值点，则函数 ( )g x 在区间 (1,2)上有且只有一个零点，且 ( )g x 在 这个零点两侧异号． 设  1 2 1 2,x x x x 是函数 ( )g x 的两个零点 （ 24( 1) 12 0m     ，方程 ( ) 0g x  有两个不相等的实数根）． 则函数 ( )g x 在  1, x 内单调递增，在  1 2,x x 内单调递减，在  2 ,x  内单调递增．由于  1 2 1 2,x x x x 是方程 23 2( 1) 1 0x m x    的两根，且 1 2 1 3 x x   ， 则 1 20, 0x x  ，又 (0) 1g   ，则  2 0g x  ． 9分 若函数 ( )g x 在区间 (1,2)上有且只有一个零点 0x ，则 (1) 0 (2) 0 g g    ． 解得 12 4 m   ． 10分 当  01,x x 时，  0( ) 0, , 2g x x x  时， ( ) 0g x  ，所以 ( )g x 在这个零点两侧异号，即 ( )f x 在这个零 点两侧异号． 11分 当 2m   时， (1) 2 0g m   … ． 又 (1) 0, ( ) 0g g x   在 (1,2)内成立， 所以 ( )g x 在 (1,2)内单调递增，故 ( )f x 无极值点． 当 1 4 m… 时， (2) 0, (0) 0g g „ ，易得 (1,2)x 时， ( ) 0g x  ，故 ( )f x 无极值点． 所以当函数 ( )f x 在区间 (1,2)内有且只有一个极值点时，m的取值范围是 12, 4      ． 12分 21．解：（1）当直线 AB过抛物线焦点 F且垂直于 x轴时，A，B两点横坐标为 2 p ， 代入抛物线方程，可得 2 2y p ，故 2AB p∣ ， 2分 21 2 2 2 2 2ABO p pS p     ，得 2p  ， 3分 故抛物线 C标准方程为 2 4y x ． 4分 （2）设    2 2 1 1 2 24 ,4 , 4 ,4A t t B t t ． 5分 易知直线 2 1 1: 2 4PA t y x t  ，直线 2 2 2: 2 4PB t y x t  ， 6分 联立得   1 2 1 24 ,2P t t t t 则 ,PA PB的中垂线方程分别为： 1l ：    2 1 1 1 2 1 22 4 3y t x t t t t t     ， 2l ：    2 2 2 1 2 2 12 4 3y t x t t t t t     ． 8分 联立 1 2,l l 解得：       2 1 2 1 2 1 2 1 22 1, 4M t t t t t t t t      ， 9分 由于 (1,0)F ，故  1 2 1 2 12 2 ,2 2 FP t t t t          ，       2 1 2 1 2 1 2 1 22 , 4FM t t t t t t t t               2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 2 ,2 2 , 4 2 FP FM t t t t t t t t t t t t                         2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 28 2 8 2 0t t t t t t t t t t t t         ， 11分 故 FP FM   ，所以 2 PFM    ，则 sin PFM 的所有可能取值为 1． 12分 22．解：（1）由题意可知圆 C普通方程为 2 2( 2) 4x y   ，直线 l直角坐标方程为 1 0x y   ． 4 分 （2）点 P直角坐标为 (0,1)，设直线 l的参数方程为 2 2 21 2 x t y t        代入圆普通方程得 2 3 2 1 0t t   ， 6分 设 A，B对应参数为 1 2,t t ，则 Q对应的参数为 1 2 2 t t ， 8分 故 1 2 3 2| | | 2 2 t tPQ   ∣ ． 10分 23．解：（1） 2 2 2 ( ) 2 x yx y   … ， 2分 而 2( ) 2 2 x yx y   … ， 4分 故 2 2 2x y … ，当且仅当 1x y  不等式取等号； 5分 （2）由柯西不等式可得 2( 1 1) ( ) 4 1 1 x yx y x y x y             … ， 8分 而 1 1 4x y    ，故 1 1 1 x y x y    … ，当且仅当 1x y  不等式取等号． 10分