【数学】2020届一轮复习人教A版 排列与组合 课时作业 8页

‎58　排列与组合 ‎　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．[2019·兰州市诊断考试]将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有(　　)‎ A．24种 B．12种 C．10种 D．9种 解析：第一步，为甲校选1名女老师，有C＝2种选法；第二步，为甲校选2名男教师，有C＝6种选法；第三步，为乙校选1名女教师和2名男教师，有1种选法．故不同的安排方案共有2×6×1＝12种，选B.‎ 答案：B ‎2．[2019·河北唐山模拟]用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是(　　)‎ A．18 B．16‎ C．12 D．9‎ 解析：根据题意，分3步进行分析：①0不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有3种情况，②在剩下的3个数位中任选1个，安排2，有3种情况，③在最后2个数位安排2个1，有1种情况，则可组成3×3＝9个不同四位数，故选D.‎ 答案：D ‎3．[2019·开封市高三考试]某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为(　　)‎ A．6 B．12‎ C．18 D．19‎ 解析：通解　在物理、政治、历史中选一科的选法有CC ‎＝9种；在物理、政治、历史中选两科的选法有CC＝9种；物理、政治、历史三科都选的选法有1种．所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19种，故选D.‎ 优解　从六科中选考三科的选法有C种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C－1＝19种，故选D.‎ 答案：D ‎4．[2019·广州市高三调研]某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　　)‎ A．36种 B．24种 C．22种 D．20种 解析：根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法，选B.‎ 答案：B ‎5．市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数为(　　)‎ A．48 B．54‎ C．72 D．84‎ 解析：先把3名乘客进行全排列，有A＝6种排法，排好后，有4个空，再将1个空位和余下的2个连续的空位插入4个空中，有A＝12种排法，则共有6×12＝72种候车方式．‎ 答案：C ‎6．[2019·河南豫北名校联考]2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有(　　)‎ A．18种 B．24种 C．48种 D．36种 解析：由题意，有两类：第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个，有C＝3种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生，有CC＝4种，故有3×4＝12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，有C＝3种，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人，有CC＝4种，这时共有3×4＝12种，根据分类计数原理得，共有12＋12＝24种不同的乘车方式，故选B.‎ 答案：B ‎7．[2019·安徽黄山模拟]我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼15”飞机准备着舰，规定乙机不能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻)，那么不同的着舰方法种数为(　　)‎ A．24 B．36‎ C．48 D．96‎ 解析：根据题意，分2种情况讨论：①丙机最先着舰，此时只需将剩下的4架飞机全排列，有A＝24种情况，即此时有24种不同的着舰方法；②丙机不最先着舰，此时需要在除甲、乙、丙之外的2架飞机中任选1架，作为最先着舰的飞机，将剩下的4架飞机全排列，丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有×CA＝24种情况，即此时有24种不同的着舰方法．则一共有24＋24＝48种不同的着舰方法．故选C.‎ 答案：C ‎8．[2019·南昌调研]某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(　　)‎ A．120种 B．156种 C．188种 D．240种 解析：解法一　记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法种数分别为AA，AA，CAA，CAA，CAA，故总编排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(种)．‎ 解法二　记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．‎ 答案：A ‎9．[2019·广东珠海模拟]将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有(　　)‎ A．480种 B．360种 C．240种 D．120种 解析：根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有2个小球放入1个盒子，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：①先将5个小球分成4组，有C＝10种分法；②将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A＝24种情况．则不同放法有10×24＝240种．故选C.‎ 答案：C ‎10．[2019·河南商丘模拟]高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有(　　)‎ A．A×A种 B．A×54种 C．C×A种 D．C×54种 解析：根据题意，分2步进行分析：①先从6名同学中任选2人，去日月湖景区旅游，有C种方案，②对于剩下的4名同学，每人都有5种选择，则这4人有5×5×5×5＝54种方案，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有C×54种，故选D.‎ 答案：D 二、填空题 ‎11．[2019·洛阳统考]某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．‎ 解析：解法一　第一步，选2名同学报名某个社团，有C·C＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C·C＝3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．‎ 解法二　第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A种方法．由分步乘法计数原理得共有C·A＝36种报法．‎ 答案：36‎ ‎12．[2019·黄冈质检]在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．‎ 解析：不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A×A＝72种，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A×A＝12种，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.‎ 答案：60‎ ‎13．[2019·湖北省四校联考]来自甲、乙、丙3个班级的5名同学站成一排照相，其中甲班有2名同学，乙班有2名同学，丙班有1名同学，则仅有一个班级的同学相邻的站法种数为________．‎ 解析：由题意知，可以是甲班的2名同学相邻也可以是乙班的2名同学相邻，相邻的2名同学和丙班的1名同学站队，共有CAA种站法，再将另外一个班级的2名同学进行插空，共有A种站法，由分步乘法计数原理知，仅有一个班级的同学相邻的站法种数为CAAA＝48.‎ 答案：48‎ ‎14．[2019·上海崇明模拟]从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．‎ 解析：要求服务队中至少有1名女生，则分3种情况讨论：‎ ‎①选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有CC＝30种选法，‎ 这4人选2人作为队长和副队长有A＝12种，其余2人为普通队员，有1种情况，‎ 此时有30×12＝360种不同的选法．‎ ‎②选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有CC＝30种选法，‎ 这4人选2人作为队长和副队长有A＝12种，其余2人为普通队员，有1种情况，‎ 此时有30×12＝360种不同的选法．‎ ‎③选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有CC＝5种选法，‎ 这4人选2人作为队长和副队长有A＝12种，其余2人为普通队员，有1种情况，‎ 此时有5×12＝60种不同的选法．‎ 则一共有360＋360＋60＝780种不同的选法．‎ 答案：780‎ ‎15.‎ ‎[2019·山西长治模拟]某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有(　　)‎ A．22种 B．24种 C．25种 D．36种 解析：由题意知正方形ABCD(边长为3个单位)的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处表示三次骰子的点数之和是12，在点数中三个数字能够使得和为12的有1,5,6；2,4,6；3,4,5；3,3,6；5,5,2；4,4,4，共有6种组合，前三种组合1,5,6；2,4,6；3,4,5各可以排出A＝6种结果，3,3,6和5,5,2各可以排出＝3种结果，4,4,4只可以排出1种结果．根据分类计数原理知共有3×6＋2×3＋1＝25种结果，故选C.‎ 答案：C ‎16．[2019·天津和平模拟]把8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则不同的放法种数为(　　)‎ A．35 B．70‎ C．165 D．1 860‎ 解析：根据题意，分4种情况讨论：‎ ‎①没有空盒，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，顺次对应4个盒子，有C＝35种放法；‎ ‎②有1个空盒，在4个盒中任选3个，放入小球，有C＝4种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选2个，插入隔板，将小球分成3组，顺次对应3个盒子，有C＝21种分组方法，则有4×21＝84种放法；‎ ‎③有2个空盒，在4个盒中任选2个，放入小球，有C＝6种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选1个，插入隔板，将小球分成2组，顺次对应2个盒子，有C＝7种分组方法，则有6×7＝42种放法；‎ ‎④有3个空盒，即将8个小球全部放进1个盒子，有4种放法．‎ 故一共有35＋84＋42＋4＝165种放法．故选C.‎ 答案：C ‎17．方程3A＝2A＋6A的解为________．‎ 解析：由排列数公式可知 ‎3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，‎ ‎∵x≥3且x∈N*，‎ ‎∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，‎ 即3x2－17x＋10＝0，‎ 解得x＝5或x＝(舍去)，∴x＝5.‎ 答案：5‎