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- 2021-06-16 发布
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[基础达标]
1.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:选C.设扇形的半径为r,弧长为l,则由扇形面积公式可得2=lr=r2α=r2×4,求得r=1,l=αr=4,所以所求扇形的周长为2r+l=6.
2.若角α与β的终边相同,则角α-β的终边( )
A.在x轴的正半轴上 B.在x轴的负半轴上
C.在y轴的负半轴上 D.在y轴的正半轴上
解析:选A.由于角α与β的终边相同,
所以α=k·360°+β(k∈Z),从而α-β=k·360°(k∈Z),此时角α-β的终边在x轴正半轴上.
3.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则m的值为( )
A.- B.
C.- D.
解析:选B.因为r=,
所以cos α==-,
所以m>0,所以=,因此m=.
4.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析:选C.当k=2n时,2nπ+≤α≤2nπ+(n∈Z),此时α的终边和≤α≤的终边一样.当k=2n+1时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+(n∈Z),此时α的终边和π+≤α≤π+的终边一样.故选C.
5.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=++的值为( )
A.1 B.-1
C.3 D.-3
解析:选B.由α=2kπ-(k∈Z)及终边相同的概念知,角α的终边在第四象限,
又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,
所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.
所以y=-1+1-1=-1.故选B.
6. 已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从点A出发,P沿直线l匀速向右,Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动,当点Q运动到如图所示的位置时,点P也停止运动,连接OQ,OP,则阴影部分的面积S1,S2的大小关系是( )
A.S1≥S2
B.S1≤S2
C.S1=S2
D.先S1S2
解析:选C.因为圆O与直线l相切,所以OA⊥AP,
所以S扇形AOQ=··r=··OA,S△AOP=OA·AP,因为=AP,
所以S扇形AOQ=S△AOP,即S扇形AOQ-S扇形AOB=S△AOP-S扇形AOB,则S1=S2.故选C.
7. 如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为,则cos α=________.
解析:因为A点纵坐标yA=,且A点在第二象限,又因为圆O为单位圆,所以A点横坐标xA=-,由三角函数的定义可得cos α=-.
答案:-
8.已知点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,则角θ是第________象限角.
解析:因为点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,所以sin θcos θ<0,2cos θ<0,即所以θ为第二象限角.
答案:二
9.函数y=的定义域为________.
解析:因为2cos x-1≥0,
所以cos x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示).
所以x∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z).
答案:(k∈Z)
10.已知角α的终边上有一点的坐标为,若α∈(-2π,2π),则所有的α组成的集合为________.
解析:因为角α的终边上有一点的坐标为,所以角α为第四象限角,且tan α=-,即α=-+2kπ,k∈Z,因此落在(-2π,2π)内的角α的集合为.
答案:
11.已知角θ的终边上有一点P(x,-1)(x≠0),且tan θ=-x,求sin θ+cos θ的值.
解:因为θ的终边过点(x,-1)(x≠0),所以tan θ=-.
又tan θ=-x,所以x2=1,即x=±1.
当x=1时,sin θ=-,cos θ=.
因此sin θ+cos θ=0;
当x=-1时,sin θ=-,cos θ=-,
因此sin θ+cos θ=-.故sin θ+cos θ的值为0或-.
12.已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解:设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α,
(1)由题意可得解得或
所以α==或α==6.
(2)因为2r+l=8,
所以S扇=lr=l·2r
≤()2=×()2=4,
当且仅当2r=l,即α==2时,扇形面积取得最大值4.所以圆心角α=2,弦长AB=2sin 1×2=4sin 1.
[能力提升]
1.若-<α<-,从单位圆中的三角函数线观察sin α,cos α,tan α的大小是( )
A.sin α<tan α<cos α B.cos α<sin α<tan α
C.sin α<cos α<tan α D.tan α<sin α<cos α
解析:选C.如图所示,作出角α的正弦线MP,余弦线OM,正切线AT,观察可得,AT>OM>MP,故有sin α<cos α<tan α.
2.已知θ∈[0,π),若对任意的x∈[-1,0],不等式x2cos θ+(x+1)2sin θ+x2+x>0恒成立,则实数θ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:选A.由题意知,令f(x)=(cos θ+sin θ+1)·x2+(2sin θ+1)x+sin θ>0,因为cos θ+sin θ+1≠0,所以f(x)>0在[-1,0]上恒成立,只需满足
⇒⇒
θ∈,故选A.
3.若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4,则这两个扇形的周长之比为________.
解析:设两个扇形的圆心角的弧度数为α,半径分别为r,R(其中r<R),则=,
所以r∶R=1∶2,两个扇形的周长之比为=1∶2.
答案:1∶2
4.已知x∈R,则使sin x>cos x成立的x的取值范围是________.
解析:在[0,2π]区间内,由三角函数线可知,当x∈(,)时,sin x>cos x,所以在(-∞,+∞)上使sin x>cos x成立的x的取值范围是(2kπ+,2kπ+),k∈Z.
答案:(2kπ+,2kπ+),k∈Z
5.若角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0).
(1)求sin θ+cos θ的值;
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号.
解:(1)因为角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0),
所以x=-4a,y=3a,r=5|a|,
当a>0时,r=5a,sin θ+cos θ=-.
当a<0时,r=-5a,sin θ+cos θ=.
(2)当a>0时,sin θ=∈,
cos θ=-∈,
则cos(sin θ)·sin(cos θ)
=cos ·sin<0;
当a<0时,sin θ=-∈,
cos θ=∈,
则cos(sin θ)·sin(cos θ)
=cos·sin >0.
综上,当a>0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负;当a<0时,cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正.
6.设α为锐角,求证:1OP,
所以sin α+cos α>1.①
而S△OPB=OB·RP=cos α,
S△OAP=OA·QP=sin α,
S扇形OAB=×1×=.
又因为四边形OAPB被扇形OAB覆盖,
所以S△OPB+S△OAP