【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 (1) 17页

‎ 2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 ‎1、如图，是⊙直径，与⊙相切于，为线段上一点，连接分别交⊙于 两点，连接交于点.‎ ‎（1）求证：四点共圆；‎ ‎（2）若为的三等分点且靠近，，，求线段的长.‎ ‎2、如图，为的直径，过点作的切线交于点的延长线交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求和的长．‎ ‎3、,斜边为，以的中点为圆心，作半径为的圆，分别交于两点，求证：为定值．‎ ‎4、如图，点是△外接圆圆在处的切线与割线的交点．‎ ‎（1）若，求证：是圆的直径；‎ ‎（2）若是圆上一点，，，，，求的长．‎ ‎5、如图，点是△外接圆圆在处的切线与割线的交点．‎ ‎（1）若，求证：是圆的直径；‎ ‎（2）若是圆上一点，，，，，求的长．‎ ‎6、如图，点是圆直径的延长线上一点，是圆的切线，为切点，的平分线与相交于点，与相交于点.‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）若，证明：.‎ ‎7、如图，过点分别作⊙的切线与割线，为切点，与⊙交于两点，圆心在的内部，，与交于点.‎ ‎（1）在线段上是否存在一点，使四点共圆？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）若，证明：.‎ ‎8、如图，是圆的内接三角形，是的延长线上一点，且切圆于点.‎ P C B A ‎.O ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若，且，求的长.‎ ‎9、如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点垂直 的延长线于点．求证：‎ ‎10、如图，为圆上一点，点在直线的延长线上，过点作圆的切线交的延长线于点，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求圆的半径.‎ ‎11、如图，已知圆是的外接圆,,是边上的高,是圆的直径，过点作圆的切线交的延长线于点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求的长.‎ ‎12、如图5,四边形是圆内接四边形,、的延长线交于点,且,.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）当,时,求的长.‎ ‎13、如下图，四边形内接于，过点作的切线交的延长线于，已知.‎ ‎（Ⅰ）若是的直径，求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：.‎ ‎14、如图，是圆的直径，弦于点，是延长线上一点，，，，切圆于，交于．‎ ‎（1）求证：△为等腰三角形；‎ ‎（2）求线段的长．‎ ‎15、如图，是以为直径的半圆上两点，且．‎ ‎（1）若，证明：直线平分；‎ ‎（2）作交于．证明：．‎ ‎16、如图，是以为直径的半圆上两点，且．‎ ‎（1）若，证明：直线平分；‎ ‎（2）作交于．证明：．‎ ‎17、如图，是半径为的上的点，在点处的切线交的延长线于点.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）若为的直径，求的长.‎ ‎18、如图，是圆的直径，，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎19、如图，是圆的直径，，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎20、如图，已知是的外接圆，，是边上的高，是的直径，过点作的切线交的延长线于点．‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若，，求的长．‎ 参考答案 ‎1、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）连接，则，可证，进而得四点共圆；（2）根据切割线定理，由为的三等分点且靠近，可得，进而.‎ 试题（1）证明：（1）连接，则，∵，，∴，∴，∴四点共圆.‎ ‎（2）∵，，，∴，又∵为的三等分点且靠近，∴，，∴，∴.‎ 考点：1、四点共圆定理；2、切割线定理. 2、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）要证，结合题意，只需证明即可，故连接，利用弦切角的知识即可证明；（2）由，得出，即，由（1），即可得到和的长．‎ 试题 ‎（1）证明：连接，‎ ‎∵为的切线，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，‎ 由（1），得，‎ ‎∴．‎ 考点：与圆有关的比例线段． 3、答案：详见解析 试题分析：利用余弦定理，求出|AP|2、|AQ|2，结合∠AOP+∠AOQ=180°，即可求的值 试题证明：如图，以为原点,以直线为轴，建立直角坐标系 于是有 设，由已知，点在圆上 ‎（定值）‎ 考点：与圆有关的比例线段 4、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）利用弦切角等于所夹的弧所对的圆周角，可得，根据三角形内角和定了有，故是圆的直径；（2）易证，有，根据切割线定理有 ‎，再结合已知可求得.‎ 试题 ‎（1）证明：∵是圆的切线，∴，‎ 又∵，∴，‎ 而，‎ ‎∴，∴是圆的直径．‎ ‎（2）解：∵，，‎ ‎∴△△，∴，∴，①‎ 又由切割线定理，，，‎ 得，②‎ 由①②得．‎ 考点：几何证明选讲． 5、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）利用弦切角等于所夹的弧所对的圆周角，可得，根据三角形内角和定了有，故是圆的直径；（2）易证，有，根据切割线定理有，再结合已知可求得.‎ 试题 ‎（1）证明：∵是圆的切线，∴，‎ 又∵，∴，‎ 而，‎ ‎∴，∴是圆的直径．‎ ‎（2）解：∵，，‎ ‎∴△△，∴，∴，①‎ 又由切割线定理，，，‎ 得，②‎ 由①②得．‎ 考点：几何证明选讲． 6、答案：（1）；（2）详见解析 试题分析：（1）∵是圆的切线，∴，又是的角平分线，，∴，∴，又∵是圆的直径，∴，，∵与为对顶角，由此即可求出结果.（2）∵，∴，∴，由此即可求出结果.‎ 试题解：（1）∵是圆的切线，‎ ‎∴，‎ 又是的角平分线，，‎ ‎∴，∴，‎ 又∵是圆的直径，∴，，‎ ‎∵与为对顶角，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即 考点：与圆有关的比例线段． 7、答案：(1)存在，为中点；(2)证明见解析.‎ 试题分析：(1)由对角互补,可得四点共圆；(2)由弦切角的性质和同弧所对的圆周角相等得证.‎ 试题（1）解：当点为中点时，四点共圆.证明如下：‎ ‎∵为中点，故，即，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴与互补，∴四点共圆.‎ ‎（2）证明：∵，∴，‎ 连接，∵为切线，∴，∴，‎ ‎∵，∴，又∵，∴，∴.‎ 考点：弦切角的应用. 8、答案：（I）详见解析（II）2‎ 试题分析：（I）证明线段成比例，一般方法为利用三角形相似，由弦切角定理得，再有，因此，即得（II）由切割线定理可得，解出，再根据，求出 试题解：（I）∵为圆的切线，∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，∴，‎ 即.‎ ‎（II）设，则，‎ 由切割线定理可得，，∴，‎ 解得或（舍），∴，‎ 由（I）知，，∴，‎ ‎∴‎ 考点：三角形相似，弦切角定理，切割线定理 ‎【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握.‎ ‎2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等. 9、答案：试题分析：从证明形式看要利用圆中的比例线段，证明四点共圆有，证明四点共圆或相似三角形可得，代入待证式右边可得结论．‎ 试题证明：连接，∵为圆的直径，∴，‎ 又，则四点共圆，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴．‎ 考点：四点共圆，相似三角形的判断，切割线定理． 10、答案：（1）详见解析（2）3‎ 试题分析：（1）证明线段成比例，一般利用三角形相似：由弦切角定理得 ‎，再由=，可得，可得，（2）先由得，再由直角三角形得，解得AB=8，即得 试题(1)由已知连接，因为 且公用，所以即 因为，所以 因为，所以，即 ‎，则，故，‎ 所以半径是.‎ 考点：三角形相似 ‎【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．‎ ‎2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 11、答案：（1）详见解析；（2）‎ 试题分析：（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是弧AB所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，，即可得出答案．‎ 试题解析:（Ⅰ）证明：连结，由题意知为直角三角形 因为，，‎ 所以 即 又，所以 ‎（Ⅱ）因为是圆的切线，所以，‎ 又，所以，‎ 因为，所以 所以，得,‎ 所以 考点：与圆有关的比例线段． 12、答案：（1）详见解析；（2）‎ 试题分析：（Ⅰ）证明：△APD∽△CPB，利用AB=AD，BP=2BC，证明PD=2AB；（Ⅱ）利用割线定理求AB的长．‎ 试题（1）因为四边形是圆内接四边形,‎ 所以,1分 又,所以,,‎ 而,所以,又,所以.‎ ‎（2）依题意,设,由割线定理得,‎ 即,解得,即的长为.‎ 考点：与圆有关的比例线段． 13、答案：（I）；（II）证明见解析.‎ 试题分析：（I）由弦切角等于所夹弧所对圆周角有，利用直径所对圆周角是直角，有，再由圆的内接四边形对角互补，求得；（II）因为，所以，，对应边成立比，，所以.‎ 试题 ‎（Ⅰ）与相切于点，∴，‎ 又是的直径，∴‎ 四边形内接于，∴‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ），∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 又，∴.‎ 考点：几何证明选讲. 14、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）由，，，四点共圆，得到，再得到 ‎，得出为等腰三角形；（2）由勾股定理算出,由，求出，由切割线定理求出,再求出.‎ 试题（1）证明：连接，，则，，，共圆，‎ ‎∴，∵，∴，‎ ‎∴，∴，∴△为等腰三角形．‎ ‎（2）解：由，，可得，‎ ‎∴，，∴，‎ 连接，则，‎ ‎∴．‎ 考点：1.勾股定理；2.切割线定理. 15、答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ 试题分析：（1）两直线平行则内错角相等，则由可知，，又，所以，由此可得：得证；（2）因为，所以要证，可证，根据圆周角定理和三角形相似即得．‎ 试题（1）由题设可知，，‎ 因为，所以，‎ 从而，因此，平分 ‎（2）连结，由知，，‎ 因为为直径，所以，‎ 从而，又因为，‎ 所以，‎ 因此，‎ 所以，而，‎ 所以 考点：1.圆周角定理；2.三角形相似的证明．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查的是三角形相似的证明和圆周角定理，属于容易题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，凡是题目中涉及到类似于的，通常会使用到相似三角形等基础知识，可以根据需证明的结论找出那两个三角形相似，再利用条件进行证明． 16、答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ 试题分析：（1）两直线平行则内错角相等，则由可知，，又，所以，由此可得：得证；（2）因为 ‎，所以要证，可证，根据圆周角定理和三角形相似即得．‎ 试题（1）由题设可知，，‎ 因为，所以，‎ 从而，因此，平分 ‎（2）由知，，‎ 因为为直径，所以，‎ 从而，又因为，‎ 所以，‎ 因此，‎ 所以，而，‎ 所以 考点：1.圆周角定理；2.三角形相似的证明． 17、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）利用弦切角定理和圆周角定理能证明；（2）连结,则，由，能求出.‎ 试题（1）因为是的切线，所以,因为,所以,‎ 所以,所以.‎ ‎（2）若为的直径（如图），连结，则，由，可得，在中，因为，所以.‎ 考点：圆的综合性质. 18、答案：（1）见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）首先利用圆周角定理结合直径的性质证得，从而根据相似比使问题得证；（2）首先利用相交弦定理与射影定理求得的长，然后利用勾股定理可使问题得解．‎ 试题（1）证明：由同弧所对圆周角相等可知，，‎ 又是圆的直径，所以，‎ 又，所以，所以，‎ 所以，即，．．‎ ‎（2）解：由（1）得，即，解得，‎ 由勾股定理得．‎ 考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、相交弦定理．‎ ‎【思路名师点评】解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握． 19、答案：（1）见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）首先利用圆周角定理结合直径的性质证得，从而根据相似比使问题得证；（2）首先利用相交弦定理与射影定理求得的长，然后利用勾股定理可使问题得解．‎ 试题（1）证明：由同弧所对圆周角相等可知，，‎ 又是圆的直径，所以，‎ 又，所以，所以，‎ 所以，即，．‎ ‎（2）解：由（1）得，即，解得，‎ 由勾股定理得．‎ 考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、相交弦定理． 20、答案：（I）证明见解析；（II）．‎ 试题分析：（I）借助题设条件运用相似三角形的性质推证；（II）借助题设运用圆幂定理及正弦定理建立方程探求．‎ 试题 ‎（I）证明：连接，由题意知为直角三角形．‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴，即，又，∴．5分 ‎（II）∵是的切线，∴，‎ 又，，∴，，‎ ‎∵，又，∴．‎ ‎∴，．‎ ‎∴，，‎ ‎∴．10分 考点：相似三角形的性质和圆幂定理等有关知识的综合运用． ‎