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- 2021-06-16 发布
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对应学生用书[练案59理][练案55文]
第六讲 双曲线
A组基础巩固
一、选择题
1．(2019·河北保定模拟)若方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是( A )
A．m<2或m>6 B．2－2 D．－60，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D )
A． B．2
C． D．2
[解析] ∵e＝＝＝，且a>0，b>0，
∴＝1，∴C的渐近线方程为y＝±x，
∴点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.
6．(2019·河南中原名校、大连市、赤峰市联考)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1(a>0)交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，联立双曲线－y2＝1，解得|y|＝，由题意得＝2，所以a2＝，所以e＝＝＝，故选D．
7．(2019·河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2，一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝( C )
A．2或14 B．2
C．14 D．2或10
[解析] 由题意知＝，故a＝4，则c＝5.由|MF2|＝60)的左、右焦点，点P在双曲线上，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( C )
A．8 B．6
C．4 D．2
[解析] 在△F1PF2中，由余弦定理得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，
得4c2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
由||PF1|－|PF2||＝2a，得|PF1|·|PF2|＝4b2＝16.
△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|sin 60°＝4.故选C．
10．(2019·湖北省武汉市部分重点高中联考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋(y－2)2＝3相切，则该双曲线的离心率为( B )
A． B．
C． D．2
[解析] 令－＝0，得y＝±x，即bx±ay＝0，
故双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0.
由题意得＝，整理得a2＝3b2，
∴e＝＝＝.选B．
二、填空题
11．(2019·陕西模拟)双曲线－＝1的离心率为，则m等于9 .
[解析] 由双曲线方程知a＝4.又e＝＝，解得c＝5.故16＋m＝25，m＝9.
12．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝ .
[解析] 由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
又∵|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝＝.故填.
13．(2020·北京清华附中检测)过点P(2，－2)，且与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－＝1 .
[解析] 设双曲线方程为－y2＝λ，则λ＝－4＝－2，∴双曲线方程为－y2＝－2，即－＝1.
14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.
[解析] 根据已知可得，|PF1|＝且|PF2|＝，
故－＝2a，所以＝2，＝，
双曲线的渐近线方程为y＝±x.
15．(2020·河南顶尖名校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右顶点为A1，A2，右焦点为F1，B为虚轴的上端点，在线段BF1上(不含端点)有且只有一点P满足·＝0，则双曲线离心率为 .
[解析] 由题意，F1(c,0)，B(0，b)，
则直线BF1的方程为bx＋cy－bc＝0，
在线段BF1上(不含端点)有且只有一点满足·＝0，则PO⊥BF1，且PO＝a.
∴a＝，即a2＝.
∵a2＋b2＝c2，∴c4－3a2c2＋a2＝0，e4－3e2＋1＝0.
解得e2＝，∴e＝.
B组能力提升
1．(2019·辽宁盘锦模拟)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( D )
A． B．2
C． D．
[解析] 如图，作MD⊥x轴于点D，在Rt△MBD中，|BD|＝a，|MD|＝a，∴M(2a，a)
∴M点在双曲线上，∴a2＝b2，即a＝b.∴e＝.
2．(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( C )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析] 由题意知右焦点到渐近线的距离b＝＝3，又e＝＝＝＝2，∴a2＝3，故双曲线方程为－＝1，选C．
3．(2019·安徽省淮南市模拟)已知点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋S△IF1F2成立，则双曲线的渐近线方程为( A )
A．2x±y＝0 B．8x±y＝0
C．x±y＝0 D．3x±y＝0
[解析] 设内切圆半径为r，
∵S△IPF1＝S△IPF2＋S△IF1F2，
∴|PF1|r＝|PF2|·r＋·|F1F2|·r，
∴|PF1|－|PF2|＝|F1F2|，
根据双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，
∴3a＝c，b＝＝2a，＝2，
可得双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
即为2x±y＝0，故选A．
4．(2020·广东佛山质检)已知F为双曲线C：－＝1(a>b>0)的右焦点，A、B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF⊥BF，且AF的中点在双曲线C上，则C的离心率为( D )
A．－1 B．2－1
C．＋1 D．＋1
[解析] 由双曲线的渐近线方程y＝±x及AF⊥BF，可得AO＝OB＝OF＝c，不妨设A在第二象限，设A(x0，y0)，由，可得A(－a，b)，双曲线的右焦点坐标(c,0)，可得AF的中点坐标(，)，所以－＝1.∴＝5，整理得：e－1＝±，所以e＝＋1或e＝－＋1(舍去)，故选D．
5．(2020·四川省联合诊断)设双曲线C：－＝1的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限交点为P，|OP|＝|OF|，其中O为坐标原点，则双曲线C
的离心率为( D )
A． B．
C． D．5
[解析] 如图所示：
∵直线4x－3y＋20＝0过点F，
∴F(－5,0)，半焦点c＝5，
设A为PF中点，∵|OP|＝|OF|，∴OA⊥PF，
又∵OA为△PFF2中位线，∴OA∥PF2，
由点到直线距离公式可得|OA|＝＝4，
∴|PF2|＝2|OA|＝8，
由勾股定理可得：|FP|＝＝6，
再由双曲线定义可得：|PF2|－|PF|＝2a＝2，
∴a＝1，
双曲线的离心率e＝＝5.答案选D．
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