【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第四章第4讲简单的三角恒等变换作业 7页

‎1．已知cos＝，则sin 2x＝(　　)‎ A．　　　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析：选C．因为cos＝coscos x＋sinsin x＝(cos x＋sin x)＝，‎ 所以sin x＋cos x＝，所以1＋2sin xcos x＝，‎ 即sin 2x＝－1＝－.‎ ‎2．已知sin＝cos，则cos 2α＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C． D．0‎ 解析：选D.因为sin＝cos，‎ 所以cos α－sin α＝cos α－sin α，‎ 即sin α＝－cos α，‎ 所以tan α＝＝－1，‎ 所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.‎ ‎3．已知sin 2α＝(＜2α＜π)，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．－ D． 解析：选A．由题意，可得cos 2α＝－，‎ 则tan 2α＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.‎ ‎4.的值是(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选C．原式＝ ‎＝＝＝.‎ ‎5．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos Bcos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选A．由题意知，sin A＝－cos Bcos C＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，‎ 在等式－cos Bcos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C两边同除以cos Bcos C得tan B＋tan C＝－，‎ 又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，‎ 即tan A＝1，所以A＝ .‎ ‎6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β的值为________．‎ 解析：因为cos(α＋β)＝，‎ 所以cos αcos β－sin αsin β＝.①‎ 因为cos(α－β)＝，‎ 所以cos αcos β＋sin αsin β＝.②‎ ‎①＋②得cos αcos β＝.‎ ‎②－①得sin αsin β＝.‎ 所以tan αtan β＝ ＝.‎ 答案： ‎7．若tan α＝3，则sin的值为________．‎ 解析：因为sin 2α＝2sin αcos α＝ ‎＝＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－，‎ 所以sin＝sin 2α＋cos 2α＝×＝－.‎ 答案：－ ‎8．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝________．‎ 解析：由已知得tan α＋tan β＝－3a，‎ tan αtan β＝3a＋1，所以tan(α＋β)＝1.‎ 又因为α，β∈，tan α＋tan β＝－3a＜0，‎ tan αtan β＝3a＋1＞0，‎ 所以tan α＜0，tan β＜0，‎ 所以α，β∈，‎ 所以α＋β∈(－π，0)，‎ 所以α＋β＝－.‎ 答案：－ ‎9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．‎ 解：由cos β＝，β∈，‎ 得sin β＝，tan β＝2.‎ 所以tan(α＋β)＝＝＝1.‎ 因为α∈，β∈，‎ 所以<α＋β<，所以α＋β＝.‎ ‎10．已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．‎ 解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.‎ ‎(2)由f＝2cos(α＋＋)＝2cos＝－2sin α＝－，‎ 得sin α＝，又α∈，所以cos α＝.‎ 由f＝2cos(β－＋)＝2cos β＝，‎ 得cos β＝，又β∈，所以sin β＝，‎ 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.‎ ‎1．cos·cos·cos＝(　　)‎ A．－ B．－ C． D． 解析：选A．cos·cos·cos＝cos 20°·cos 40°·cos 100°‎ ‎＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－ ‎＝－＝－ ‎＝－＝－＝－.‎ ‎2．设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 解析：选B．因为tan α＝，所以＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝sin，又α，β均为锐角，且y＝sin x在上单调递增，所以α－β＝－α，即2α－β＝，故选B．‎ ‎3．已知cos＝－，则cos x＋cos＝(　　)‎ A．－ B．± C．－1 D．±1‎ 解析：选C．因为cos＝－，‎ 所以cos x＋cos＝cos x＋cos xcos＋sin xsin ‎＝cos x＋sin x＝ ‎＝cos＝×＝－1.‎ ‎4．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________．‎ 解析：因为tan β＝，‎ 所以tan β＝＝tan.‎ 又α、β均为锐角，所以β＝－α，即α＋β＝，‎ 所以tan(α＋β)＝tan ＝1.‎ 答案：1‎ ‎5．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.‎ ‎(1)求sin 2β的值；‎ ‎(2)求cos的值．‎ 解：(1)法一：因为cos＝coscos β＋sinsin β＝cos β＋sin β＝，‎ 所以cos β＋sin β＝，‎ 所以1＋sin 2β＝，所以sin 2β＝－.‎ 法二：sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－.‎ ‎(2)因为0<α<<β<π，‎ 所以<β－<π，<α＋β<.‎ 所以sin>0，cos(α＋β)<0，‎ 因为cos＝，sin(α＋β)＝，‎ 所以sin＝，cos(α＋β)＝－.‎ 所以cos＝cos ‎＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin ‎＝－×＋×＝.‎ ‎6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．‎ ‎(1)求sin 2α－tan α的值；‎ ‎(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域．‎ 解：(1)因为角α的终边经过点P(－3，)，‎ 所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.‎ 所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.‎ ‎(2)因为f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R，‎ 所以g(x)＝cos－2cos2x ‎＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1，‎ 因为0≤x≤，‎ 所以－≤2x－≤.所以－≤sin≤1，‎ 所以－2≤2sin－1≤1，‎ 故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2，1]．‎