【数学】2021届一轮复习人教A版平面向量的数量积与平面向量应用举例作业 4页

第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 ‎1．设向量a，b满足|a＋b|＝，‎ ‎|a－b|＝，则a·b＝(　　)‎ A．1　　B．‎2 ‎　　　C．3　　　D．5‎ 解析：A　[由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得a·b＝1.]‎ ‎2．(2019·玉溪市一模)已知a与b的夹角为，a＝(1,1)，|b|＝1，则b在a方向上的投影为(　　 )‎ A. B. C. D. 解析：C　[根据题意，a与b的夹角为，且|b|＝1，则b在a方向上的投影|b|cos ＝.]‎ ‎3．已知D是△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(－)＝0，则△ABC是(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：A　[(－)·(－)＝(－)·＝0，所以·＝·，设BC＝a，AC＝b，所以acos B＝bcos A，利用余弦定理化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．]‎ ‎4．(2019·重庆市模拟)如图，在圆C中，弦AB的长为4，则·＝(　　 )‎ A．8 B．－‎8 C．4 D．－4‎ 解析：A　[如图所示，在圆C中，过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点；‎ 在Rt△ACD中，AD＝AB＝2，可得cos A＝＝，∴·＝||×||×cos A＝4×||×＝8.故选A.]‎ ‎5．已知正方形ABCD的边长为2，点F是AB的中点，点E是对角线AC上的动点，则·的最大值为(　　 )‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 解析：B　[以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F(1,0)，C(2,2)，D(0,2)，设E(λ，λ)(0≤λ≤2)，则＝(λ，λ－2)，＝(1,2)，所以·＝3λ－4≤2.‎ 所以·的最大值为2.故选B.]‎ ‎6．(2019·珠海市模拟)设向量a＝(1,‎3m)，b＝(2，－m)，满足(a＋b)·(a－b)＝0，则m＝________.‎ 解析：向量a＝(1,‎3m)，b＝(2，－m)，则a＋b＝(3,‎2m)，a－b＝(－1,‎4m)，由(a＋b)·(a－b)＝0，得－3＋‎8m2‎＝0，解得m＝±.‎ 答案：± ‎7．(2019·内江市一模)已知正方形ABCD的边长为2，则·(＋)＝________.‎ 解析：如图所示，正方形ABCD的边长为2，‎ ·(＋)＝·(＋2)＝‎ 2＋2·＝4.‎ 答案：4‎ ‎8．(2019·吕梁市一模)已知a＝(1，λ)，b＝(2,1)，若向量‎2ab与c＝(8,6)共线，则a在b方向上的投影为______．‎ 解析：‎2a＋b＝(4,2λ＋1)，∵‎2a＋b与c＝(8,6)共线，‎ ‎∴2λ＋1＝3，即λ＝1.∴a·b＝2＋λ＝3，‎ ‎∴a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝＝＝ 答案： ‎9．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．‎ ‎(1)设c＝‎4a＋b，求(b·c)a；‎ ‎(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；‎ ‎(3)求向量a在b方向上的投影．‎ 解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，‎ ‎∴c＝‎4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．‎ ‎∴b·c＝2×6－2×6＝0，‎ ‎∴(b·c)a＝0·a＝0.‎ ‎(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，‎ 由于a＋λb与a垂直，‎ ‎∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.∴λ的值为.‎ ‎(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cos θ.‎ ‎∴|a|cos θ＝＝ ‎＝－＝－.‎ ‎10．已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且·＝－.‎ ‎(1)求△ABC的面积；‎ ‎(2)若AB＝5，求AD的长．‎ 解：(1)∵·＝－，∴||·||·cos∠BAC＝－||·||＝－，即||·||＝15，‎ ‎∴S△ABC＝||·||sin ∠BAC＝×15×＝.‎ ‎(2)法一：由AB＝5得AC＝3，‎ 延长AD到E，使AD＝DE，连接BE.‎ ‎∵BD＝DC, ‎ ‎∴四边形ABEC为平行四边形，∴∠ABE＝60°，‎ 且BE＝AC＝3.‎ 设AD＝x，则AE＝2x，在△ABE中，由余弦定理得：‎ ‎(2x)2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos ∠ABE＝25＋9－15＝19，解得x＝，即AD的长为.‎ 法二：由AB＝5得AC＝3，‎ 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC＝25＋9＋15＝49，得BC＝7.‎ 由正弦定理得＝，‎ 得sin ∠ACD＝＝＝.‎ ‎∵0°<∠ACD<90°‎ ‎∴cos∠ACD＝＝.‎ 在△ADC中，AD2＝AC2＋CD2－‎2AC·‎ CDcos∠ACD＝9＋－2×3××＝，‎ 解得AD＝.‎ 法三：由AB＝5得AC＝3，‎ 在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝25＋9＋15＝49, 得BC＝7.在△ABC中，cos∠ACB＝＝＝.‎ 在△ADC中，由AD2＝AC2＋CD2－‎2AC·‎ CDcos ∠ACD＝9＋－2×3××＝.‎ 解得AD＝.‎