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- 2021-06-16 发布
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(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2018·合肥模拟)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|3x-6>0},则A∩B=
( )
A.(-2,1) B.(-2,3)
C.(1,2) D.(2,3)
【解析】选D.解不等式得A={x|12},所以A∩B={x|22时,2x=,解得x=-1(不合题意,舍去),则输入的x的最大值为1.
9.数列{an}满足a1=1,且an+1=a1+an+n(n∈N*),则++…+等于 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为an+1=a1+an+n(n∈N*),a1=1,
所以an+1-an=n+1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=,
所以==2,
++…+=2
=2=.
10.设曲线y=sin x+cos x在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于 ( )
A.-1 B.
C.-2 D.2
【解析】选A.y′=cos x-sin x,当x=时,y′=0-1=-1,因为曲线在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,所以=-1,a=-1.
11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则的取值范围是( )
A. B.(0,1)
C. D.[1,3]
【解析】选B.f′(x)=x2+ax+b,由极值的概念知,x1,x2是方程f′(x)=0的两个实数根,由根与系数的关系得x1+x2=-a,x1x2=b,因为x1∈(-1,0),x2∈(0,1),所以-10,若|a-b|=,则(a-b)2=a2-2a·b+b2=9-2×6+t2=13,解得t=4,则cos θ==,则θ=.
答案:
16.已知集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|-m0时,因为A={x|x2-2x-3<0}
={x|-10,则lg ≥;
(2)+>2+2.
【证明】(1)当a,b>0时,有≥,
所以lg≥lg,
所以lg≥lg ab=.
(2)要证+>2+2,
只需证(+)2>(2+2)2,
即2>2,显然成立,
所以,原不等式成立.
18.(12分)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,求:
(1)仓库面积S的最大允许值是多少?
(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?
【解析】(1)设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米,则S=xy,由已知,
40x+2×45y+20xy=3 200,由基本不等式得
3 200≥2+20xy=120+20xy=120+20S.
所以S+6-160≤0,即(-10)(+16)≤0,所以≤10,从而S≤100,
所以S的最大允许值是100平方米.
(2)取得最大值的条件是40x=90y且xy=100,
求得x=15,即铁栅的长是15米.
19.(12分)(2018·襄阳模拟)已知命题p:函数f(x)=的定义域
为R;命题q:∃x∈R,使不等式a>e2x-ex成立;命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
【解析】若命题p为真命题,则ax2-x+a≥0在x∈R恒成立,当a=0时显然不成立,
当a≠0时,⇒a≥2;
若命题q为真命题,则a>[(ex)2-ex]min=-,
由命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题知p,q一真一假,
若p真q假,则,无解,
若p假q真,则⇒-0,r(2)=2-e-2>0,
r(3)=-e-3<0,
所以存在x0∈(2,3),使得r(x0)=φ′(x0)=0,
当1≤x0,
当x>x0时,有φ′(x)<0,
所以y=φ(x)在[1,x0]上增加,
在[x0,+∞)上减少,
又φ(1)=e-1+2>0,φ(2)=e-2+5>0,
φ(3)=e-3+6>0,φ(4)=e-4+5>0,
φ(5)=e-5+2>0,φ(6)=e-6-3<0,
所以当1≤x≤5时,恒有φ(x)>0;
当x≥6时,恒有φ′(x)<0.
所以使命题成立的正整数m的最大值为5.
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