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- 2021-06-16 发布
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课时跟踪检测（三） 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．(2019·河南教学质量监测)已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16>8x，则命题p的否定为( )
A．綈p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16≤8x
B．綈p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16<8x
C．綈p：∃x0∈(1，＋∞)，x＋16≤8x0
D．綈p：∃x0∈(1，＋∞)，x＋16<8x0
解析：选C 全称命题的否定为特称命题，故命题p的否定綈p：∃x0∈(1，＋∞)，x＋16≤8x0.故选C.
2．(2019·太原一模)已知命题p：∃x0∈R，x－x0＋1≥0；命题q：若a.则下列为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
解析：选B 因为x2－x＋1＝2＋>0，所以p为真命题，则綈p为假命题；当a＝－2，b＝1时，<，所以q为假命题，则綈q为真命题．故p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.
3．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 充分性：若綈p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则綈p为假命题．所以“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．故选B.
4．如果命题“(綈q)∨p”与“(綈p)∨q”都是真命题，则下列结论中一定不成立的是( )
A．命题“p∧q”是真命题 B．命题“p∨q”是假命题
C．命题“(綈p)∧q”是假命题 D．命题“(綈p)∧q”是真命题
解析：选D 若命题“(綈q)∨p”与“(綈p)∨q”都是真命题，则p，q全为真命题或全为假命题，所以命题“(綈p)∧q”一定为假命题，故选D.
5．(2018·渭南尚德中学一模)如果命题“p且q”的否定为假命题，则( )
A．p，q均为真命题
B．p，q中至少有一个为真命题
C．p，q均为假命题
D．p，q中至多有一个为真命题
解析：选A 若“p且q”的否定是假命题，则“p且q”是真命题，故p，q均是真命题．故选A.
6．(2018·益阳市、湘潭高三调考)已知命题p：若复数z满足(z－i)(－i)＝5，则z＝6i；命题q：复数的虚部为－i，则下面为真命题的是( )
A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．p∧q
解析：选C 由已知可得，复数z满足(z－i)(－i)＝5，所以z＝＋i＝6i，所以命题p为真命题；复数＝＝，其虚部为－，故命题q为假命题，命题綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选C.
7．(2018·河南师范大学附属中学开学考)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．[1,4]
C．(－∞，1] D．[e,4]
解析：选D 命题p等价于ln a≥x对x∈[0,1]恒成立，所以ln a≥1，解得a≥e；命题q等价于关于x的方程x2＋4x＋a＝0有实根，则Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.因为命题“p∧q”是真命题，所以命题p真，命题q真，所以实数a的取值范围是[e,4]，故选D.
8．(2019·武汉部分学校调研)给出下列四个说法：
①命题“∀x∈(0,2)，3x>x3”的否定是“∃x0∈(0,2)，3x0≤x”；
②“若θ＝，则cos θ＝”的否命题是“若θ≠，则cos θ≠”；
③p∨q是真命题，则命题p，q一真一假；
④“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的充要条件．
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 对于①，根据全称命题的否定，可知①正确；对于②，原命题的否命题为“若θ≠，则cos θ≠”，所以②正确；对于③，若p∨q是真命题，则命题p，q至少有一个是真命题，故③错误；对于④，由函数y＝2x＋m－1有零点，得1－m＝2x>0，解得m<1，若函数y＝logmx在(0，＋∞)上是减函数，则00,2x－a>0.若“綈p”和“p∧q”都是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－2,1]
C．(1,2) D．(1，＋∞)
解析：选C 方程x2＋ax＋1＝0无实根等价于Δ＝a2－4<0，即－20,2x－a>0等价于a<2x在(0，＋∞)上恒成立，即a≤1.因为“綈p”是假命题，则p是真命题，又“p∧q”是假命题，则q是假命题，∴得1x＋1”，则命题p可写为________________________．
解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
12．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________.
解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，因为“綈q”为假，则q为真，即x∈Z，又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－30成立；命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，若p∧q为真，则a的取值范围是________．
解析：当p为真命题时，对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立⇔a＝0或
∴0≤a<4.当q为真命题时，关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇔Δ＝1－4a≥0，
∴a≤.p∧q为真时，0≤a≤.
答案：
15．已知p：－11，綈q是綈p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：由－11，得x＋a<0，解得x<－a，所以綈q：x≥－a，设集合B＝{x|x≥－a}．又綈q是綈p的充分不必要条件，所以BA，所以－a≥4，解得a≤－4，所以实数a的取值范围是(－∞，－4]．
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