【数学】2020届一轮复习（理）通用版7-1不等关系与一元二次不等式作业 5页

课时跟踪检测(三十七) 不等关系与一元二次不等式 一、题点全面练 1．已知 a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与 N 的大小关系是 ( ) A．M＜N B．M ＞N C．M＝N D．不确定 解析：选 B M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)， 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)， ∴a1－1＜0，a2－1＜0. ∴(a1－1)(a2－1)＞0，即 M－N＞0， ∴M ＞N. 2．若 m＜0，n＞0 且 m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( ) A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m 解析：选 D m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于 m＜0＜n，故 m＜－n＜n＜－m 成 立． 3．若1 a ＜1 b ＜0，给出下列不等式：① 1 a＋b ＜ 1 ab ；②|a|＋b＞0；③a－1 a ＞b－1 b ；④ln a2 ＞ln b2.其中正确的不等式的序号是( ) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 解析：选 C 因为1 a ＜1 b ＜0，故可取 a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以 ②错误；因为 ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误，综上所述，可排 除 A、B、D，故选 C. 4．已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数 x 都有 f(1－x)＝f(1 ＋x)成立，若当 x∈[－1,1]时，f(x)＞0 恒成立，则 b 的取值范围是( ) A．(－1,0) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．不能确定 解析：选 C 由 f(1－x)＝f(1＋x)知 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，即a 2 ＝1，解得 a＝ 2. 又因为 f(x)的图象开口向下， 所以当 x∈[－1,1]时，f(x)为增函数， 所以 f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0 恒成立，即 b2－b－2＞0 恒成立， 解得 b＜－1 或 b＞2. 5．已知 a∈Z，关于 x 的一元二次不等式 x2－6x＋a≤0 的解集中有且仅有 3 个整数， 则所有符合条件的 a 的值之和是( ) A．13 B．18 C．21 D．26 解析：选 C 设 f(x)＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是 x＝3 的抛物线，如图 所示． 若关于 x 的一元二次不等式 x2－6x＋a≤0 的解集中有且仅有 3 个整数， 则 f2≤0， f1＞0， 即 22－6×2＋a≤0， 12－6×1＋a＞0， 解得 5＜a≤8，又 a∈Z，故 a＝6,7,8. 则所有符合条件的 a 的值之和是 6＋7＋8＝21. 6．若不等式 2kx2＋kx－3 8 ＜0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为________． 解析：当 k＝0 时，显然成立； 当 k≠0 时 ， 即 一 元 二 次 不 等 式 2kx2 ＋ kx － 3 8 ＜ 0 对 一 切 实 数 x 都 成 立 ， 则 k＜0， Δ＝k2－4×2k× －3 8 ＜0， 解得－3＜k＜0.综上，满足不等式 2kx2＋kx－3 8 ＜0 对一切实 数 x 都成立的 k 的取值范围是(－3,0]． 答案：(－3,0] 7．若不等式 x2＋ax－2＞0 在区间[1,5]上有解，则 a 的取值范围是________． 解析：由Δ＝a2＋8＞0，知方程 x2＋ax－2＝0 恒有两个不等实数根，又知两根之积为负， 所以方程 x2＋ax－2＝0 必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是 f(5)＞0，解得 a＞－23 5 ，故 a 的取值范围为 －23 5 ，＋∞ . 答案： －23 5 ，＋∞ 8．对于实数 x，当且仅当 n≤x＜n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于 x 的不等式 4[x]2－ 36[x]＋45＜0 的解集为________． 解析：由 4[x]2－36[x]＋45＜0，得3 2 ＜[x]＜15 2 ，又当且仅当 n≤x＜n＋1(n∈N*)时，[x] ＝n，所以[x]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)． 答案：[2,8) 9．若不等式 ax2＋5x－2＞0 的解集是 x|1 2 ＜x＜2 . (1)求实数 a 的值； (2)求不等式 ax2－5x＋a2－1＞0 的解集． 解：(1)由题意知 a＜0，且方程 ax2＋5x－2＝0 的两个根为1 2 ，2，代入解得 a＝－2. (2)由(1)知不等式为－2x2－5x＋3＞0， 即 2x2＋5x－3＜0，解得－3＜x＜1 2 ， 即不等式 ax2－5x＋a2－1＞0 的解集为 －3，1 2 . 10．已知函数 f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R. (1)若 a＝2，试求函数 y＝fx x (x＞0)的最小值； (2)对于任意的 x∈[0,2]，不等式 f(x)≤a 成立，试求实数 a 的取值范围． 解：(1)依题意得 y＝fx x ＝x2－4x＋1 x ＝x＋1 x －4. 因为 x＞0，所以 x＋1 x ≥2，当且仅当 x＝1 x 时，即 x＝1 时，等号成立．所以 y≥－2. 所以当 x＝1 时，y＝fx x 的最小值为－2. (2)因为 f(x)－a＝x2－2ax－1， 所以要使“∀x∈[0,2]，不等式 f(x)≤a 成立”， 只要“x2－2ax－1≤0 在[0,2]上恒成立”． 不妨设 g(x)＝x2－2ax－1， 则只要 g(x)≤0 在[0,2]上恒成立即可． 所以 g0≤0， g2≤0， 即 0－0－1≤0， 4－4a－1≤0， 解得 a≥3 4. 则实数 a 的取值范围为 3 4 ，＋∞ . 二、专项培优练 易错专练——不丢怨枉分 1．不等式 x 2x－1 ＞1 的解集为( ) A. 1 2 ，1 B．(－∞，1) C. －∞，1 2 ∪(1，＋∞) D. 1 2 ，2 解析：选 A 原不等式等价于 x 2x－1 －1＞0， 即x－2x－1 2x－1 ＞0，整理得 x－1 2x－1 ＜0， 不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0，解得1 2 ＜x＜1. 2．若1 a ＜1 b ＜0，则下列结论不正确的是( ) A．a2＜b2 B．ab＜b2 C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b| 解析：选 D 由题可知 b＜a＜0，所以 A、B、C 正确，而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋b|，故 D 错误． 3．已知 x＞y＞z，且 x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是( ) A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y| 解析：选 C 因为 x＞y＞z， 所以 3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0， 所以 x＞0，z＜0， 由 x＞0， y＞z 得 xy＞xz.故选 C. 4．若α，β满足 －1≤α＋β≤1， 1≤α＋2β≤3， 则α＋3β的取值范围是________． 解析：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β. 则 x＋y＝1， x＋2y＝3， 解得 x＝－1， y＝2. 因为－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得 1≤α＋3β ≤7. 所以α＋3β的取值范围为[1,7]． 答案：[1,7] 5．求使不等式 x2＋(a－6)x＋9－3a＞0，|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围． 解：将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9＞0. 令 f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，则－1≤a≤1. 因为 f(a)＞0 在|a|≤1 时恒成立，所以 ①若 x＝3，则 f(a)＝0，不符合题意，应舍去． ②若 x≠3，由一次函数的单调性， 可得 f－1＞0， f1＞0， 即 x2－7x＋12＞0， x2－5x＋6＞0， 解得 x＜2 或 x＞4. 则实数 x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．