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- 2021-06-16 发布
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对应学生用书[练案56理][练案52文]
第三讲 圆的方程
A组基础巩固
一、选择题
1．(2019·江西南昌)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( C )
A．(－1,1) B．(－，)
C．(－，) D．(－，)
[解析] ∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－0得(－2)2＋62－4×5a>0，解得a<2，由圆关于直线y＝x＋2b对称可知圆心(1，－3)在直线y＝x＋2b上，所以－3＝1＋2b，得b＝－2，故a－b<4.
9．(2020·湘东五校联考)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，∴圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2个．故选B．
二、填空题
10．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是(－2，－4) ，半径是5 .
[解析] ∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2，∴a＝－1或a＝2(舍)，∴圆的方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0.∴圆心坐标为(－2，－4)，半径r＝5.
11．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为(x－2)2＋y2＝10 .
[解析] 依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程，得解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
12．(2019·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2 .
[解析] 因为直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝，
所以半径最大时的半径r＝，
所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
三、解答题
13．(2020·洛阳统考)已知圆S经过点A(7,8)和点B(8,7)，圆心S在直线2x－y－4＝0上．
(1)求圆S的方程；
(2)若直线x＋y－m＝0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围．
[解析] (1)线段AB的中垂线方程为y＝x，
由得所以圆S的圆心为S(4,4)，
圆S的半径为|SA|＝5，故圆S的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝25.
(2)由x＋y－m＝0变形得y＝－x＋m，代入圆S的方程，消去y并整理得2x2－2mx＋m2－8m＋7＝0.
令Δ＝(－2m)2－8(m2－8m＋7)>0，得
8－50，b>0)对称，则＋的最小值是( C )
A．2 B．
C． D．
[解析] 由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，∴＋＝(a＋3b)(＋)＝(1＋＋＋9)≥(10＋2)＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选C．
4．(2019·南通模拟)点P是圆(x＋3)2＋(y－1)2＝2上的动点，点Q(2,2)，O为坐标原点，则△OPQ面积的最小值是2 .
[解析] 因为|OQ|＝2，直线OQ的方程为y＝x，圆心(－3,1)到直线OQ的距离d＝＝2，所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为2－＝，所以△OPQ面积的最小值为×2×＝2.
5．(2020·新乡模拟)若圆C：x2＋(y＋)2＝n的圆心为椭圆M：x2＋my2＝1的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4 .
[解析] C(0，－)，∴椭圆焦点在y轴上且m>0，由题意可知－1＝，解得m＝.∴n＝＝4，∴圆C：x2＋(y＋1)2＝4.
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