山西省实验中学2020届高三下学期3月开学摸底数学（文）试题 Word版含解析 23页

www.ks5u.com 山西省实验中学高三年级开学摸底考试 数 学 试 题 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合，再由集合的运算计算．‎ ‎【详解】由题意，，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，考查解对数不等式及一元二次不等式，掌握对数函数的性质是解题关键．‎ ‎2.已知是虚数单位，则复数的共轭复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数除法求出复数，再写出共轭复数，得其虚部．‎ ‎【详解】由题意，，虚部为．‎ 故选：C.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念及复数的概念．解题关键是掌握复数除法法则．‎ ‎3.向量（1，﹣2），（2，﹣1），则（　 　）‎ A 9 B. 11 C. 13 D. 15‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 先得出，再根据向量数量积的坐标表示即可得解.‎ ‎【详解】由题意，则.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标表示，属于基础题.‎ ‎4.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，成等差数列，则( )‎ A. 3 B. 9 C. 10 D. 13‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的公比为，由成等差数列，可得，解得，再利用求和公式即可得结果.‎ ‎【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，‎ 满足成等差数列，‎ ‎，‎ ‎，解得，‎ 则，故选C.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.‎ ‎5.现有甲班三名学生，乙班两名学生，从这名学生中选名学生参加某项活动，则选取的名学生来自于不同班级的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】解：从这名学生中选名学生参加某项活动，‎ 基本事件总数n10，‎ 抽到2名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m4，‎ ‎∴抽到2名学生来自于不同班级的概率是P．‎ 故选D ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎6.函数的图象大致为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 23 -‎ 设，由得，则函数的定义域为．‎ ‎∵，‎ ‎∴函数为奇函数，排除D．‎ 又，且，故可排除B．‎ ‎，且，故可排除C．选A．‎ ‎7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入，的值分别为5，2，则输出的值为（ ）‎ ‎ ‎ A. 64 B. 68 C. 72 D. 133‎ ‎【答案】B - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．‎ ‎【详解】模拟程序的运行，可得：‎ n＝5，x＝2，‎ v＝1，m＝2，‎ 满足进行循环的条件n＞0，执行循环体，v＝4，m＝1，n＝4，‎ 满足进行循环的条件n＞0，执行循环体，v＝9，m＝0，n＝3，‎ 满足进行循环的条件n＞0，执行循环体，v＝18，m＝﹣1，n＝2，‎ 满足进行循环的条件n＞0，执行循环体，v＝35，m＝﹣2，n＝1，‎ 满足进行循环的条件n＞0，执行循环体，v＝68，m＝﹣3，n＝0，‎ 不满足进行循环的条件n＞0，退出循环，输出v的值为68．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．‎ ‎8.对于函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期为；②若，则；③的图象关于直线对称；④在上是减函数，其中正确结论的个数为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 1 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式以及倍角公式化简函数解析式，根据周期公式判断①；举反例判断②；根据正弦函数的对称轴判断③；根据正弦函数的单调性判断④.‎ ‎【详解】解：根据题意得：‎ 函数 - 23 -‎ ‎①根据周期公式可得：的周期为．所以①正确；‎ ‎②，但是不满足，所以②错误；‎ ‎③的所有对称轴为， 显然③正确；‎ ‎④的单调减区间为，显然④正确，‎ 则其中正确结论的个数为3．‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的周期，对称轴，单调性，属于中档题.‎ ‎9.已知函数，若对任意的正数，满足，则的最小值为（ ）‎ A. 6 B. 8 C. 12 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得，最后根据基本不等式求最值.‎ ‎【详解】因为所以定义域为，‎ 因为，所以为减函数 因为，,所以为奇函数，‎ 因为，所以，即，‎ 所以，‎ 因为，‎ - 23 -‎ 所以（当且仅当，时，等号成立），选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎10.已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为( )‎ A. 1 B. 2 C. D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由圆的标准方程求得圆心，可得抛物线方程，利用运用抛物线的定义可得，从而可得结果.‎ 详解：因为的圆心 所以，可得以为焦点的抛物线方程为，‎ 由，解得，‎ 抛物线的焦点为，准线方程为，‎ 即有，‎ 当且仅当在之间）三点共线，可得最大值，故选A.‎ 点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及平面向量的数量积公式，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.‎ ‎11.如图，正方体的对角线上存在一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于两点.设，的面积为，则当点由点运动到的中点时，函数的图象大致是（ ）‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设，而由运动到的中点的过程中，，由相似三角形，可知为定值，设正方体的边长为，当为线段的中点时，，则的面积为，故选D.‎ ‎12.已知，若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 利用导数分析函数单调性，再利用单调性求解不等式即可.‎ ‎【详解】因为在区间上 故是增函数，又，则该函数为偶函数，‎ 则不等式 等价于在有解 等价于在区间有解 即：或 等价于，或在区间有解 等价于或 解得或 故 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数单调性奇偶性解不等式，涉及用导数判断函数单调性.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若实数满足约束条件，则的最小值是____.‎ ‎【答案】－ln3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，目标函数z＝lny﹣lnx＝ln，由图求出的最大值即可．‎ ‎【详解】由实数x，y满足约束条件作出可行域如图所示，联立，解得B（3,1），‎ - 23 -‎ 由目标函数z＝lny﹣lnx＝ln，而的最小值为＝，∴z＝lny﹣lnx的最小值是﹣ln3．‎ 故答案为﹣ln3．‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．‎ ‎14.已知点分别是圆及直线上的动点，是坐标原点则最小值为_____.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，表示圆上的点到直线上点的距离，要求最小值，则转化为圆上的点到直线的距离，为此最小值即为圆心到直线的距离减去半径，所以再求圆心到直线的距离即可.‎ ‎【详解】因为，表示两点间的距离，‎ 又因为分别是圆及直线上的动点，‎ 所以的最小值为圆心到直线的距离减半径，‎ 圆心到直线的距离 ‎ 所以圆上的点到直线的最小值为 所以最小值为1‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量模的几何意义和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ - 23 -‎ ‎15.若侧面积为的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆柱的底面圆的半径为，高为，则球的半径，由圆柱的侧面积，求得，得出，得到得最小值，进而求得圆柱的表面积.‎ ‎【详解】由题意，设圆柱的底面圆的半径为，高为，则球的半径.‎ 因为球体积，故最小当且仅当最小.‎ 圆柱的侧面积为，所以，所以，所以，‎ 当且仅当时，即时取“=”号，此时取最小值，‎ 所以,圆柱的表面积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了球的体积公式，以及圆柱的侧面公式的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，得出求得半径和圆柱的底面半径的关系式，求得圆柱的底面半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎16.已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】当时，，得， ‎ 当时，，‎ 又，‎ 两式相减得，得，‎ - 23 -‎ 所以．‎ 又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，‎ ‎，即．‎ 因为，所以不等式，等价于．‎ 记，‎ 时，．‎ 所以时，‎ 综上，，‎ 所以，所以整数的最大值为4．‎ 考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在中，角A，B，C对边分别为，，，且是与的等差中项. ‎ ‎（1）求角A； ‎ ‎（2）若，且的外接圆半径为1，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，得，由正弦定理，化简，进而得到，即可求解；‎ ‎（2）设的外接圆半径为，求得，利用余弦定理求得，进而利用面积公式，即可求解．‎ - 23 -‎ ‎【详解】（1）因为是与的等差中项.‎ 所以.‎ 由正弦定理得 ‎，‎ 从而可得，‎ 又为三角形的内角，所以，于是，‎ 又为三角形内角，因此.‎ ‎（2）设的外接圆半径为，则，‎ ‎，‎ 由余弦定理得，‎ 即，所以.‎ 所以的面积为.‎ ‎【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎18.《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.‎ - 23 -‎ ‎（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；‎ ‎（2）试估计该市市民正确书写汉字的个数的众数与中位数；‎ ‎（3）已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市同组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率.‎ ‎【答案】（1）0.32 ；（2）众数170，中位数是168.25 ；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率分布直方图能求出被采访人恰好在第2组或第6组的概率；‎ ‎（2）利用频率分布直方图能求出众数和中位数；‎ ‎（3）共50×012＝6人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，f，利用列举法能求出至少有1名女性市民的概率．‎ ‎【详解】（1）被采访人拾好在第2组或第6组的概率.‎ ‎（2）众数：；‎ 设中位数为，则 ‎∴中位数.‎ ‎（3）共人，其中男生3人，设为，，，女生三人，设为，，，则任选2人，‎ - 23 -‎ 可能为，，，，，，，，，，，，，，，共15种，‎ 其中两个全是男生的有，，，共3种情况，‎ 设事件：至少有1名女性，则至少有1名女性市民的概率.‎ ‎【点睛】本题考查概率、众数、中位数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎19.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为的菱形，，点E是棱BC的中点，，点P在平面ABCD的射影为O，F为棱PA上一点．‎ ‎(1)求证：平面PED平面BCF；‎ ‎(2)若BF//平面PDE，PO=2，求四棱锥F-ABED的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出BC⊥PO，BC⊥DE，从而BC⊥平面PED，由此能证明平面PED⊥平面BCF；‎ ‎（2）取AD的中点G，连结BG，FG，从而BG∥DE，进而BG∥平面PDE，平面BGF∥平面PDE，由此能求出四棱锥F﹣ABED的体积．‎ ‎【详解】证明：平面ABCD，平面ABCD，，‎ 依题意是等边三角形，E为棱BC的中点，，‎ 又，PO，平面PED，平面PED，‎ 平面BCF，平面平面BCF．‎ - 23 -‎ 解：Ⅱ取AD的中点G，连结BG，FG，‎ 底面ABCD是菱形，E是棱BC的中点，，‎ 平面PDE，平面PDE，平面PDE，‎ 平面PDE，，平面平面PDE，‎ 又平面平面，平面平面，‎ ‎，为PA的中点，‎ ‎，‎ 点F到平面ABED的距离为，‎ 四棱锥的体积：‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎20.已知是椭圆的左右顶点，点为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，且.‎ ‎（1）若椭圆经过圆的圆心，求椭圆的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.‎ - 23 -‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，由在椭圆上求出，再由椭圆过点得，从而可得，得椭圆方程；‎ ‎（2）由题意可知直线的斜率存在，设，，，，直线方程与椭圆方程联立，并消元后应用韦达定理得，同时注意，由弦长公式表示出后可得的取值范围，由向量线性运算求出点坐标，交代入椭圆方程得出的关系，从而得的范围．‎ ‎【详解】（1）设，因为，则点关于轴的对称点.‎ ‎，，又由椭圆的方程得，‎ 所以，‎ 又椭圆过圆的圆心，‎ 所以，，所以椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）由题意可知直线的斜率存在，设，，，‎ 由得：由，得：‎ ‎，.‎ - 23 -‎ ‎，‎ ‎，，结合（*）得：.‎ ‎，.‎ 从而，.‎ ‎∵点在椭圆上，，‎ 整理得：即，，‎ 或.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交一般采取设而不求思想，即设交点坐标为，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理得，并把这个结论代入题中其他条件中求解．‎ ‎21.已知函数， 在点处的切线与轴平行.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若存在，当时，恒有成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)增区间 减区间 (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先求出函数的导数，令导函数大于，解出即可；‎ ‎（2）构造新函数，求导，分类讨论的取值，在不同情况下讨论，取得最后结果 - 23 -‎ 解析：（1）由已知可得的定义域为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）不等式可化为，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，不适合题意.‎ ‎ ‎ ‎ 适合题意.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 适合题意.‎ 综上，的取值范围是 点睛：含有参量的不等式题目有两种解法，一是分离含参量，二是带着参量一起计算，本题在处理问题时含有参量运算，然后经过分类讨论，求得符合条件情况的参量范围 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ - 23 -‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，直线的直角坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若曲线的极坐标方程为，与直线在第三象限交于点，直线与在第一象限的交点为，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将化为普通方程，再由，即可得到极坐标方程.‎ ‎（2）根据题意求得A、B两点的坐标，得到极径，再由可得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意知的直角坐标方程为，由，可得的极坐标方程为，化简整理得.‎ ‎（2）由题意得直线的极坐标方程为，所以可得．同理可得，.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化、普通方程与极坐标方程的互化，极坐标方法求两点间的距离，需熟记公式，考查学生化简计算的能力，属基础题．‎ ‎23.已知函数 - 23 -‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）对于任意的实数，存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后求解不等式的解集．‎ ‎（2）不等式　，根据已知条件，结合绝对值不等式的几何意义，转化求解即可．‎ ‎【详解】因为，所以．‎ ‎（1）当时， ‎ 所以由，可得或 或 ，‎ 解得或， ‎ 故原不等式的解集为．‎ ‎（2）因为，‎ 令，则由题设可得 ，‎ - 23 -‎ 由，得． ‎ 因为，所以．‎ 故，从而，即， ‎ 又已知，故实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值不等式的几何意义的应用；绝对值不等式问题中的求参数范围问题，一般思路是：借助绝对值的几何意义、零点分段法等，先求出相关函数的最值或值域，再根据题目要求求解.‎ - 23 -‎ - 23 -‎