河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月模拟2数学（文）试题 Word版含解析 23页

2020 届 3 月模拟考试（SE） 文科数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数 （ 为虚数单位），则 （ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出复数的模，利用复数的性质即可求解. 【详解】由题意知 ， 利用性质 ，得 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了复数的模、复数的性质，考查了基本运算能力，属于基础题. 2. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为 （ ） A. 2 B. 3 C. 1 或 2 或 3 D. 2 或 3 【答案】D 【解析】 【分析】 求出集合 中的元素，再根据集合的运算结果可得 ，进而可求解. 【详解】由题意知， ，且 ， 由 ，知 ，则实数 的值为 2 或 3， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据集合的运算结果求参数值，考查了基本运算，属于基础题. 3. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ） 2 1 iz i = + i z z⋅ = 2 1 2 2 2 21 2 iz i = = =+ 2z z z⋅ = 2z z⋅ = { }24 3A x Z y x x= ∈ = − − { },1B a= A B B= a A B A⊆ { } { }24 3 1,2,3A x Z y x x= ∈ = − − = { },1B a= A B B= B A⊆ a ( ), 1,a b∈ +∞ a b> log 1ab < A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】∵a，b∈（1，+∞）， ∴a＞b⇒logab＜1， logab＜1⇒a＞b， ∴a＞b 是 logab＜1 的充分必要条件， 故选 C． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关 键． 4. 已知 a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是（　　） A. sina＞sinb B. ca＞cb C. ac＜bc D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数单调性逐项判断即可 【详解】对 A,由正弦函数的单调性知 sina 与 sinb 大小不确定，故错误； 对 B,因为 y＝cx 为增函数，且 a＞b，所以 ca＞cb，正确 对 C,因为 y＝xc 为增函数,故 ，错误； 对 D, 因为 在 为减函数，故 ，错误 故选 B． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题． 5. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 1 1c c b a − −＜ c ca b> 1cy x -= ( )0, ∞+ 1 1c c b a - -> 3cos( )4 5 π α− = sin 2α = 7 25 1 5 1 5 − 7 25 − 【答案】D 【解析】 试题分析： ， 且 ，故选 D. 【考点】三角恒等变换 【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差． （2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系． 6. 某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是腰长为 2 的等腰直角三角形，该几何体 的外接球的体积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面是边长为 2 的三角形. 【详解】由三视图知该几何体的直观图放在正方体中是如图所示的三棱锥 ， 其外接球就是正方体的外接球．设外接球的半径为 ， 因为正方体的棱长为 2，其体对角线为外接球的直径，即 ， 2 2 3 7cos 2 2cos 1 2 14 4 5 25 π πα α      − = − − = × − = −             cos 2 cos 2 sin 24 2 π πα α α    − = − =         4 3π 32 3 π 4π 8 2 3 π A BCD− R 2 2 3R = 所以外接球的体积 ． 故选：A． 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高 平齐，宽相等”的基本原则. 7. 数列{an}是等差数列，a1＝1，公差 d∈[1，2]，且 a4+λa10+a16＝15，则实数 λ 的最大值为 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等差数列通项公式推导出 λ ，由 d∈[1，2]，能求出实数 λ 取最大值． 【详解】∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差 d∈[1，2]，且 a4+λa10+a16＝15， ∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得 λ ， ∵d∈[1，2]，λ 2 是减函数， ∴d＝1 时，实数 λ 取最大值为 λ ． 故选 D． 【点睛】本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题． 8. 已知 x，y 满足条件 (k 为常数)，若目标函数 z＝x＋3y 的最大值为 8，则 k ＝(　　) ( )334 4 3 4 33 3V Rπ π π= = = 7 2 53 19 23 19 − 1 2 − 13 18 1 9 d d −= + 13 18d 1 9d −= + 13 18d 1 9d −= = −+ 15 1 9d + + 13 18 1 1 9 2 −= = −+ 0 { 2 0 x y x x y k ≥ ≤ + + ≤ A. －16 B. －6 C. - D. 6 【答案】B 【解析】 【 详 解 】 由 z ＝ x ＋ 3y 得 y ＝ － x ＋ ， 先 作 出 的 图 象 ， 如 图 所 示 ， 因为目标函数 z＝x＋3y 的最大值为 8，所以 x＋3y＝8 与直线 y＝x 的交点为 C，解得 C(2,2)， 代入直线 2x＋y＋k＝0，得 k＝－6. 9. 如图，在正四棱锥 S－ABCD 中，E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点，动点 P 在线段 MN 上 运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面 SBD；④EP⊥平面 SAC，其中恒 成立的为( ) A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②③④ 【答案】A 【解析】 分析】 在①中：由题意得 AC⊥平面 SBD，从而平面 EMN∥平面 SBD，由此得到 AC⊥EP；在②中： 由异面直线的定义可知：EP 与 BD 是异面直线；在③中：由平面 EMN∥平面 SBD，从而得到 EP∥平面 SBD；在④中：由已知得 EM⊥平面 SAC，从而得到 EP 与平面 SAC 不垂直． 【详解】如图所示，连接 AC、BD 相交于点 O，连接 EM，EN． 【 8 3 1 3 3 z 0{x y x ≥ ≤ 在①中：由正四棱锥 S﹣ABCD，可得 SO⊥底面 ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC． ∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面 SBD，∵E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点， ∴EM∥BD，MN∥SD，而 EM∩MN＝M，∴平面 EMN∥平面 SBD， ∴AC⊥平面 EMN，∴AC⊥EP．故正确． 在②中：由异面直线的定义可知：EP 与 BD 是异面直线，不可能 EP∥BD，因此不正确； 在③中：由①可知平面 EMN∥平面 SBD，∴EP∥平面 SBD，因此正确． 在④中：由①同理可得：EM⊥平面 SAC， 若 EP⊥平面 SAC，则 EP∥EM，与 EP∩EM＝E 相矛盾， 因此当 P 与 M 不重合时，EP 与平面 SAC 不垂直．即不正确． ∴恒成立的结论是：①③． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查空间线面、面面的位置关系判定，考 查空间想象能力和思维能力，属于中档题． 10. 正三角形 边长等于 ，点 在其外接圆上运动，则 的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设正三角形 的外接圆圆心为 ，半径为 ，则 ，且 ，由题意可得 ， 设 的 中 点 为 ， 则 ， 且 ABC 3 P AP PB⋅  3 3,2 2  −   3 1,2 2  −   1 3,2 2  −   1 1,2 2  −   ABC O R 1R = 120AOB∠ = ° ( ) 1 2AP PB OP OA OB⋅ == ⋅ + −     AB M 2OA OB OM+ =   ，设 与 的夹角为 ，利用向量的数量积即可求解. 【详解】设正三角形 的外接圆圆心为 ，半径为 ，则 ，且 ． 由题意知 ． 设 的中点为 ，则 ，且 ， 设 与 的夹角为 ， 则 ． 又因为 ，所以 的范围为 ． 故选：B 【点睛】本题考考查了向量的数量积的运算，考查了数量积在几何中的应用，属于中档题. 11. 已知点 是抛物线 的焦点，若点 在抛物线 上，且 ，斜率为 的直线 经过点 ，且与抛物线 交于 ， （异于 ）两 点，则直线 与直线 的斜率之积为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据抛物线的焦半径公式 ，即可求出 的值，求出 ，设直线 方程与 抛物线方程联立，求出 两点的坐标关系，再将直线 与直线 的斜率之积用 坐标表示，化简即可证明结论. 1 2OM = OM OP θ ABC O R 1R = 120AOB∠ = ° ( ) ( )AP PB OP OA OB OP⋅ = − ⋅ −      2 OP OB OP OA OB OA OP= ⋅ − − ⋅ + ⋅       1 1 1 cos120OP OB= ⋅ − − × × °  OA OP+ ⋅  ( ) 1 2OP OA OB= ⋅ + −   AB M 2OA OB OM+ =   1 2OM = OM OP θ 1 12 2 cos2 2AP PB OM OP OM OP θ⋅ = ⋅ − = −      1 1 12 1 cos cos2 2 2 θ θ= × × × − = − [ ]0,θ π∈ AP PB⋅  3 1,2 2  −   F ( )2: 2 0C x py p= > ( )01,M y C 05 4 yMF = k l ( )1,3Q − C A B M AM BM 1 2 1 2 − | | 1 2 pMF = + p ( )1,1M l ,A B AM BM ,A B 【详解】由抛物线的定义知 ，则 ，解得 ， 又点 在抛物线 上，代入 ，得 ，得 ， ， 所以 ，抛物线 ， 因为斜率为 的直线 过点 ，所以 的方程为 ， 联立方程得 ，即 ， 设 ， ，由根与系数的关系得 ， 则直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， . 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数 关系设而不求的方法求解相交弦的问题，考查计算求解能力，属于中档题. 12. 若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 对于 A，构造函数 ，求导，利用函数的单调性即可求解；对于 B，构造函 数 ，根据函数的单调性即可判断；对于 C，构造函数 ，利用导 数判断函数的单调性即可判断；对于 D，同样构造 ，由 C 选项分析可判断 D. 【详解】A 选项： ， 0 2 pMF y= + 0 0 5 2 4 py y+ = 0 2y p= ( )01,M y C 2: 2C x py= 02 1py = 0 1y = 1 2p = ( )1,1M 2:C x y= k l ( )1,3Q − l ( )3 1y k x− = + ( ) 2 3 1y k x x y  − = +  = 2 3 0x kx k− − − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 1 2 3 x x k x x k + =  = − − AM 2 1 1 1 1 11AM xk xx −= = +− BM 2 2 2 2 1 11BM xk xx −= = +− ( )( )1 2 1 2 1 21 1 1 3 1 2AM BMk k x x x x x x k k= + + = + + + = − − + = − 1 20 1x x< < < 2 1 2 1ln lnx xe e x x− > − 1 2 2 1ln lnx xe e x x− > − 1 2 2 1 x xx e x e> 1 2 2 1 x xx e x e< ( ) lnxf x e x= − ( ) lnxf x e x= + ( ) xef x x = ( ) xef x x = 2 1 2 1 2 1 2 1ln ln ln lnx x x xe e x x e x e x− > − ⇔ − > − 设 ，∴ ， 设 ，则有 恒成立， 所以 在 调递增，所以 ， ， 从而存在 ，使得 ， 由单调性可判断出： ， ， ， ，所以 在 不单调，不等式不会恒成立； B 选项： ， 设 可知 单调递增．所以应该 ，B 错误； C 选项： ， 构造函数 ， ，则 在 恒成立． 所以 在 单调递减，所以 成立； D 选项： ， 同样构造 ，由 C 选项分析可知 D 错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了构造函数，利用函数的单调性证明不等式，属于难题. 二、填空题 13. 某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 3：2：5.现用分层抽样 方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 18 件，那么此样本的容量 n=________. 【答案】60 【解析】 【分析】 ( ) lnxf x e x= − ( ) 1 1x x xef x e x x −′ = − = ( ) 1xg x xe= − ( ) ( )1 0xg x x e′ = + > ( )g x ( )0,1 ( )0 1 0g = − < ( )1 1 0g e= − > ( )0 0,1x ∈ ( )0 0g x = ( )00,x x∈ ( ) ( )0 0g x f x′ ′< ⇒ < ( )0 ,1x x∈ ( ) ( )0 0g x f x′ ′> ⇒ > ( )f x ( )0,1 1 2 1 2 2 1 1 2ln ln ln lnx x x xe e x x e x e x− > − ⇔ + > + ( ) lnxf x e x= + ( )f x ( ) ( )1 2f x f x< 1 2 1 2 2 1 1 2 x x x x e ex e x e x x > ⇔ > ( ) xef x x = ( ) ( ) 2 1 xx ef x x −′ = ( ) 0f x′ < ( )0,1x∈ ( )f x ( )0,1 ( ) ( )1 2f x f x> 1 2 1 2 2 1 1 2 x x x x e ex e x e x x < ⇔ < ( ) xef x x = 先求出总体中中 种型号产品所占的比例，是样本中 种型号产品所占的比例，再由条件 求出样本容量． 【详解】解：由题意知，总体中 种型号产品所占的比例是 ， 因样本中 种型号产品有 18 件，则 ，解得 ． 故答案为：60 【点睛】本题考查了分层抽样的定义应用，即保证样本结构与总体结构一致按一定的比例进 行抽取，再由条件列出式子求出值来，属于基础题． 14. 某公司 105 位员工的月工资（单位：元）为 ， ，…， ，其均值和方差分别为 3800 和 500，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 105 位员工下月工资的均值和方差 分别为________． 【答案】3900；500 【解析】 【分析】 根据样本同时加上一个数对均值和方差的影响，求得下个月工资的均值和方差. 【详解】依题意，本月工资均值 ，方差 . 从下个月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 105 位员工下月工资的均值为 ，方差为 . 故答案为：3900；500 【点睛】本小题主要考查样本均值和方差的性质，属于基础题. 15. 设偶函数 满足 ，则满足 的实数 的取值范围 为________． 【答案】 【解析】 分析】 由题可知数 在 上为增函数，不等式可化为 ，利用单调性可 得 ，解出即可. 【 A A A 3 3 2 3 5 10 =+ + A 3 1810 n× = 60n = 1x 2x 105x 3800x = 2 500S = 100 3800 100 3900x + = + = 2 500S = ( )f x ( ) ( )2 4 0xf x x= − ≥ ( )2 0f a − > a ( ) ( ),0 4,−∞ +∞ ( )f x [ )0,+∞ ( ) ( )22f a f− > 2 2a − > 【详解】∵偶函数 满足 ， 函数 在 上为增函数，且 ， ∴不等式 等价为 ， ，即 或 ，解得 或 ． 故答案为： . 【点睛】本题考查利用函数 奇偶性和单调性解不等式，属于基础题. 16. 已知数列 的前 项和为 ，对任意 ， ，且 恒成立，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 通过 与 作差，进而整理可得 数列 的通项公式，分 为奇偶两种情况解不等式即得结论． 【详解】∵ ，当 时， ，两 式相减得， ， 整理得 ．又 ， ∴ ，即 ．①当 为偶数时，化简 式可知， ， ∴ （ 为奇数）；②当 为奇数时，化简 式可知， ， 即 ，即 ，∴ （ 为偶数）． 的 ( )f x ( ) ( )2 4 0xf x x= − ≥ ∴ ( )f x [ )0,+∞ ( )2 0f = ( )2 0f a − > ( ) ( )22f a f− > ∴ 2 2a − > 2 2a − > 2 2a − < − 4a > 0a < ( ) ( ),0 4,−∞ +∞ { }na n nS *n∈N ( ) 11 2 62 n n n nS a n= − + + − ( )( )1 0n na p a p+ − − < p 7 23,4 4  −   1( 1) 2 62 n n n nS a n= − + + − 1 1 1 1 1( 1) 2 8( 2)2 n n n nS a n n− − − −= − + + −  { }na n ( ) 11 2 62 n n n nS a n= − + + − 2n ≥ ( ) 1 1 2 1 1 11 2 8n n n nS a n− − − −= − + + − ( ) ( ) 1 1 1 1 11 2 6 1 2 82 2 n n n n nn na a n a n− − −  = − + + − − − + + −   ( ) ( ) ( )1 11 1 1 2 22 n n n n na a n−  − − = − + − ≥  ( )* ( ) 11 2 62 n n n nS a n= − + + − 1 1 1 2 62S a= − + + − 1 7 4a = − n ( )* 1 1 22n na − = − 1 1 22n na += − n n ( )* 1 12 2 2n n na a −= − + − 1 1 14 22 2nn na −− = + − 1 1 16 2n na − −= − 16 2n na = − n 于是 ．∵对任意 ， 恒成立， ∴对任意 ， 恒成立．又数列 单调递减，数列 单 调递增， ∴当 为奇数时，有 ，则 ，即 ； 当 为偶数时，有 ，则 ，即 ．综上所述， . 故答案为： . 【点睛】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力， 注意解题方法的积累，属于难题． 三、解答题（本大题共 6 小题，解答适应写出文字说明，证明过程或演算步 骤）． 17. 已知锐角 面积为 ， ， ， 所对边分别是 ， ， ， ， 平 分线相交于点 ， 且 ．求： （1） 的大小； （2） 周长的最大值． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （ 1 ） 由 结 合 三 角 形 的 面 积 公 式 和 余 弦 定 理 可 得 ，从而可求出 的大小； 1 1 2,2 1 6,2 n n n n a n +  −=  − + 为奇数 为偶数 *n∈N ( )( )1 0n na p a p+ − − < *n∈N ( )( )1 0n np a p a+− − < { }2 1ka − { }2ka n 1n na p a +< < 1 1 1a p a +< < 7 23 4 4p− < < n 1n na p a+ < < 2 1 2a p a+ < < 31 23 16 4p− < < 7 23 4 4p− < < 7 23,4 4  −   ABC S A∠ BÐ C∠ a b c A∠ C∠ O 2 3b = 2 2 23 ( )4S a c b= + − BÐ AOC△ 3B π= 4 2 3+ 2 2 23 ( )4S a c b= + − 1 3csin 2 cos2 4a B a B= ⋅ BÐ （2）设 周长为 ， ，则 ，由正弦定理可得 ，得 ，再用三角恒等变换 公式化简，结合三角函数的性质可得答案 【详解】（1）∵ ，∴ ， 故： ． （2）设 周长为 ， ，则 ， ∵ 、 分别是 、 的平分线， ， ∴ ． 由正弦定理得 ， 所以 所以 ， ． ∵ ，∴ ， 当 时， 周长的最大值为 ． 【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的运用，考查三角函 数的恒等变换公式的运用，属于中档题 18. 对某电子元件进行寿命追踪调查，所得样本数据的频率分布直方图如下. AOC△ l OAC α∠ = ,12 4 π πα  ∈   2 3 2sin sinsin 33 OA OC ππ αα = = −   4sin 4sin 2 33l πα α = + − +   ( )2 2 23 4S a c b= + − ( )2 2 21 3sin2 4ac B a c b= + − 1 3csin 2 cos tan 32 4 3a B a B B B π= ⋅ ⇒ = ⇒ = AOC△ l OAC α∠ = ,12 4 π πα  ∈   OA OC A∠ C∠ 3B π= 2 3AOC π∠ = 2 3 2sin sinsin 33 OA OC ππ αα = = −   4sin , 4sin 3OC OA πα α = = −   4sin 4sin 2 33l πα α = + − +   ,12 4 π πα  ∈   4sin 2 33 πα = + +   ,12 4 π πα  ∈   5 7,3 12 12 π π πα  + ∈   6 πα = AOC△ 4 2 3+ （1）求 ，并根据图中的数据，用分层抽样的方法抽取 个元件，元件寿命落在 之间的应抽取几个？ （2）从（1）中抽出的寿命落在 之间的元件中任取 个元件，求事件“恰好有一 个元件寿命落在 之间，一个元件寿命落在 之间”的概率. 【答案】（1）5；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图各矩形面积和为 1 可得 ，分层抽样是按比例抽取，所以根据比 值可求得件寿命落在 之间的抽取个数； （2）分别求出落在 之间和落在 之间的元件个数。人后用例举法将寿 命落在 之间的元件中任取 个元件的所有事件一一例举出来，再将“恰好有一个 元件寿命落在 之间，一个元件寿命落在 之间”的事件一一例举，最后 根据古典概型概率公式可求其概率。 【详解】（1）根据题意： ， 解得 ， 设在寿命落在 之间的应抽取 个， 根据分层抽样有： 解得： 所以寿命落在 之间的元件应抽取 个； （2）记“恰好有一个寿命落在 之间， 0y 20 100 ~ 300 100 ~ 300 2 100 ~ 200 200 ~ 300 3 5 0y 100 ~ 300 100 ~ 200 200 ~ 300 100 ~ 300 2 100 ~ 200 200 ~ 300 00.001 100 2 100 0.002 100 0.004 100 1y× + ⋅ + × + × = 0 0.0015y = 100 300 x (0.001 0.0015) 100,20 x = + × 5x = 100 300 5 100 200 一个寿命为 之间”为事件 ， 易知，寿命落在 之间的元件有 个，分别记 ， 落在 之间的元件有 个，分别记为： ， 从中任取 个元件，有如下基本事件： ， 共有 个基本事件， 事件 “恰好有一个寿命落在 之间， 一个寿命为 之间”有： 共有 个基本事件，∴ . ∴事件“恰好有一个寿命落在 之间， 一个寿命为 之间”的概率为 . 19. 如图 1，正方形 的边长为 ， 、 分别是 和 的中点， 是正方形 的对角线 与 的交点， 是正方形两对角线的交点，现沿 将 折起到 的位置，使得 ，连接 ， ， （如图 2） （1）求证： ； （2）求三棱锥 的高． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）首先根据题意易证 平面 ，从而得到 ，再根据 ， 200 300 A 100 200 2 1 2,a a 200 300 3 1 2 3, ,b b b 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3, , , , , , , , , , , , ,a a a b a b a b a b a b a b ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 3, , , , ,b b b b b b 10 A 100 200 200 300 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3, , , , , , , , , , ,a b a b a b a b a b a b 6 6 3( ) 10 5P A = = 100 200 200 300 3 5 ABCD 2 2 E F DC BC H AC EF N EF CEF△ PEF PH AH⊥ PA PB PD BD AP⊥ −A BDP 2 PH ⊥ ABFED PH BD⊥ BD AH⊥ 利用线面垂直的判定证明 平面 ，从而得到 . （2）利用等体积转化法，根据 即可得到三棱锥 的高. 【详解】（1）∵ 、 分别是 和 的中点，∴ ． 又∵ ，∴ ，故折起后有 ． 又∵ ， ，∴ 平面 ． 又∵ 平面 ，∴ ， 又∵ ， ，∴ 平面 ， 又∵ 平面 ，∴ ． （2）∵正方形 的边长为 ， ∴ ， ， ， ， ∴ 是等腰三角形，连接 ，如图所示： 则 ， ． ∴ 的面积 设三棱锥 的高为 ，则三棱锥 的体积为 ． 由（1）可知 是三棱锥 的高， ∴三棱锥 的体积为 ． ∵ ，即 ，解得 ，即三棱锥 的高为 ． 【点睛】本题第一问考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时考查了线面垂直的证明， BD ⊥ APH BD AP⊥ A BDP P ABDV V− −= −A BDP E F CD BC EF BD AC BD⊥ AC EF⊥ PH EF⊥ PH AH⊥ =AH EF H PH ⊥ ABFED BD ⊂ ABFED PH BD⊥ BD AH⊥ AH PH H∩ = BD ⊥ APH AP ⊂ APH BD AP⊥ ABCD 2 2 4AC BD= = 2AN = 1NH PH= = PE PF= PBD△ PN PN BD⊥ 2 2 2PN NH PH= + = PBD△ 1 1 4 2 2 22 2PBDS BD PN= ⋅ = × × =  −A BDP h −A BDP 1 2 2 3 3A BDP PBD hV S h− = ⋅ =△ PH P ABD− P ABD− 1 1 1 42 2 2 2 13 3 2 3P ABD ABDV S PH− = ⋅ = × × × × =△ A BDP P ABDV V− −= 2 2 4 3 3 h = 2h = −A BDP 2 第二问考查等体积法求三棱锥的高，属于中档题. 20. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右焦点 作互相垂直的两条直线 、 ，其中直线 交椭圆于 两点，直 线 交直线 于 点，求证：直线 平分线段 . 【答案】(1) (2)见证明 【解析】 【分析】 （1）利用 ，得到 ，然后代入点 即可求解 （2）设直线，以斜率 为核心参数，与椭圆联立方程，把 两点全部用参数 表示，得 出 的中点坐标为 ，然后再求出直线 的方程，代入 的中点 即可证明成立 【详解】（1）由 得 ，所以 由点 在椭圆上得 解得 ， 所求椭圆方程为 （2）解法一：当直线 的斜率不存在时，直线 平分线段 成立 当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ， 联立方程得 ，消去 得 因为 过焦点，所以 恒成立，设 ， ， 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2 31, 2      F 1l 2l 1l ,P Q 2l 4x = M OM PQ 2 2 14 3 x y+ = 1 2 ce a = = 2 23b c= 31, 2      k ,P Q k PQ 2 2 2 4 3,4 3 4 3 k k k k  − + +  OM PQ 1 2 ce a = = 2a c= 2 23b c= 31, 2      2 2 9 1 4 14 3c c + = 12 25 2 2 3b a c= − = 2 2 14 3 x y+ = 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ OM PQ 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ ( )1y k x= − ( ) 2 2 1 14 3 y k x x y  = − + = y ( )2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ > 0∆ ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 则 ， 所以 的中点坐标为 直线 方程为 ， ，可得 ， 所以直线 方程为 ， 满足直线 方程，即 平分线段 综上所述，直线 平分线段 （2）解法二：因为直线 与 有交点，所以直线 的斜率不能为 0， 可设直线 方程为 ， 联立方程得 ，消去 得 因为 过焦点，所以 恒成立，设 ， ， ， 所以 的中点坐标为 直线 方程为 ， ，由题可得 ， 所以直线 方程为 ， 满足直线 方程，即 平分线段 综上所述，直线 平分线段 2 1 2 2 8 4 3 kx x k + = + 2 1 2 2 4 12 4 3 kx x k −= + ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 61 1 2 4 3 ky y k x k x k x x k + = − + − = + − = − + PQ 2 2 2 4 3,4 3 4 3 k k k k  − + +  2l ( )1 1y xk = − − ( )4, MM y 34,M k  −   OM 3 4y xk = − 2 2 2 4 3,4 3 4 3 k k k k  − + +  OM OM PQ OM PQ 2l 4x = 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ 1x my= + 2 2 1 14 3 x my x y = + + = x ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ > 0∆ ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 1 2 2 6 3 4 my y m + = − + 1 2 2 9 3 4y y m = − + ( )1 2 1 2 2 82 3 4x x m y y m + = + + = + PQ 2 2 4 3,3 4 3 4 m m m  − + +  2l ( )1y m x= − − ( )4, MM y ( )4, 3M m− OM 3 4 my x= − 2 2 4 3,3 4 3 4 m m m  − + +  OM OM PQ OM PQ 【点睛】本题考查求椭圆标准方程，以及证明直线过定点问题，属于中档题 21. 已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时， ，求 的取值范围． 【答案】（1）详见解析（2） 或 【解析】 【分析】 （1）将函数求导并化简，对 分成 两种情况，讨论函数 的单调性.（2） 原不等式即 （ ），当 时，上述不等式显然成立.当 时，将不等式 变为 ，构造函数 ，利用导数研究函数的单调性， 由此求得 的取值范围. 【详解】解：（1） ． ①若 ，当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， 在 上单调递减． ②若 ，当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增． ∴当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增． 1( ) ( , 0)ekx kxf x k kk −= ∈ ≠R ( )f x 1x lnxf xk      k k 0< 1k e ≥ k 0, 0k k> < ( )f x 1 lnx x xke − ≤ 1x ≥ k 0< 0k > 1 ln 0x x k xe − − ≤ ( ) ( )1 ln 1x xg x k x xe −= − ≥ k ( ) ( ) ( )2 11' kx kx kx ke kx kef x k e − −= ⋅ 2 kx kx e −= 2 kx k x k e  − −  = 0k > 2,x k  ∈ −∞   ( )' 0f x > ( )f x 2, k  −∞   2 ,x k  ∈ + ∞   ( )' 0f x < ( )f x 2 ,k  + ∞   0k < 2,x k  ∈ −∞   ( )' 0f x < ( )f x 2, k  −∞   2 ,x k  ∈ + ∞   ( )' 0f x > ( )f x 2 ,k  + ∞   0k > ( )f x 2, k  −∞   2 ,k  + ∞   0k < ( )f x 2, k  −∞   2 ,k  + ∞   （2） （ ）， 当 时，上不等式成立，满足题设条件； 当 时， ，等价于 ， 设 ，则 ， 设 （ ），则 ， ∴ 在 上单调递减，得 ． ①当 ，即 时，得 ， ， ∴ 在 上单调递减，得 ，满足题设条件； ②当 ，即 时， ，而 ， ∴ ， ，又 单调递减， ∴当 ， ，得 ， ∴ 在 上单调递增，得 ，不满足题设条件； 综上所述， 或 ． 【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题，考查利用导数求解含有 参数不等式恒成立问题.对函数求导后，由于导函数含有参数，故需要对参数进行分类讨论， 分类讨论标准的制定，往往要根据导函数的情况来作出选择，目标是分类后可以画出导函数 图像，进而得出导数取得正、负的区间，从而得到函数的单调区间. 请考生在第 22~23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 选修 4-4：坐标系与参数方程 22. 已知曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极 轴建立极坐标系，过极点的两射线 、 相互垂直，与曲线 C 分别相交于 A、B 两点（不同 于点 O），且 的倾斜角为锐角 . 1 lnx x xf xk ke −  = ≤   1x ≥ 0k < 0k > 1 lnx x xf xk ke −  = ≤   1 ln 0x x k xe − − ≤ ( ) ( )1 ln 1x xg x k x xe −= − ≥ ( ) 2' x x kg x e x −= − 22 x x x x ke xe − −= ( ) 22 xh x x x ke= − − 1x ≥ ( ) ( )' 2 1 0xh x x ke= − − < ( )h x [ )1,+ ∞ ( ) ( )1 1h x h ke≤ = − 1 0ke− ≤ 1k e ≥ ( ) 0h x ≤ ( )' 0g x ≤ ( )g x [ )1,+ ∞ ( ) ( )1 0g x g≤ = 1 0ke− > 10 k e < < ( )1 0h > ( ) 22 0h ke= − < ( )0 1,2x∃ ∈ ( )0 0h x = ( )h x ( )01,x x∈ ( ) 0h x > ( )' 0g x > ( )g x [ )01, x ( ) ( )1 0g x g≥ = 0k < 1k e ≥ 2 2x t y t =  = 1l 2l 1l α （1）求曲线 C 和射线 的极坐标方程； （2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时 的值． 【答案】（1）C 的极坐标方程为 ，[或 ]； 的极坐标方程为 ；（2）16， 【解析】 【分析】 （1）消去参数 ，求得曲线 的普通方程，再转为极坐标方程.射线 过原点，根据角度直 接写出 的极坐标方程.（2）利用极坐标方程求得 的表达式，求得三角形 面 积的表达式，利用三角函数的的最值求得三角形 面积的最小值，同时求得 的值. 【详解】解：（1）由曲线 C 的参数方程，得普通方程为 ， 由 ， ，得 ， 所以曲线 C 的极坐标方程为 ，[或 ] 的极坐标方程为 ； （2）依题意设 ，则由（1）可得 ， 同理得 ，即 ， ∴ ∵ ∴ ，∴ ， △OAB 的面积的最小值为 16，此时 ， 得 ，∴ ． 【点睛】本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求三角形的面积，考 2l α 2cos 4sinρ θ θ= 2 4sin cos θρ θ= 2l 2 πθ α= + 4 πα = t C 2l 2l ,OA OB OAB OAB α 24y x= cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 24 sin cosρ θ ρ θ= 2cos 4sinρ θ θ= 2 4sin cos θρ θ= 2l 2 πθ α= + ( ), , , 2A BA B πρ α ρ α +   2 4sin cosA αρ α= 2 4sin 2 cos 2 B πα ρ πα  +  =  +   2 4cos sinB αρ α= 1 1 2 2OAB A BS OA OB ρ ρ∆ = ⋅ = ⋅ 2 2 8 sin cos cos sin α α α α ⋅= ⋅ 0 2 πα< < 0 α π< < 8 cos sinOABS α α∆ = ⋅ 16 sin2α= 16≥ sin2 1α = 2 2 πα = 4 πα = 查三角函数求最值，属于中档题. 选修 4-5：不等式选讲 23. [选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 . （1）解不等式： ； （2）当 时，函数 的图象与 轴围成一个三角形，求实数 的 取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由已知，可按不等中两个绝对值式 零点将实数集分为三部分进行分段求 解，然后再综合其所得解，从而求出所求不等式的解集； （Ⅱ）由题意，可将 的值分为 和 进行分类讨论，当 时，函数 不过原点，且最小值为 ，此时满足题意；当 时，函数 ，再由函数 的单调性及值域，求出实数 的范围，最 后综合两种情况，从而得出实数 的范围. 试题解析：（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于 或 或 ， 解得 或 或 ， 综上所述，不等式 的解集为 . （Ⅱ）当 时，则 ， 此时 的图象与 轴围成一个三角形，满足题意： 当 时， ， 的 ( ) 2 2 5f x x= + − ( ) | 1|f x x≥ − 1m ≥ − ( ) ( ) | |g x f x x m= + − x m ( ] [ ), 8 2,−∞ − ∪ +∞ { }3 ,4 12  ∪ −  m 1m = − 1m > − 1m = − ( ) 3 1 5g x x= + − 5− 1m > − ( ) 3 7, 1 3, 1 3 3, x m x g x x m x m x m x m − + − ≤ − = + − − < ≤  − − > ( )g x m m 1 2 2 5 1 x x x ≤ − − − − ≥ − 1 1 2 2 5 1 x x x − < ≤  + − ≥ − 1 2 2 5 1 x x x >  + − ≥ − 8x ≤ − ∅ 2x ≥ ( ) 1f x x≥ − ( ] [ ), 8 2,−∞ − ∪ +∞ 1m = − ( ) 2 2 5 1g x x x= + − + + 3 1 5x= + − ( )g x x 1m > − ( ) 2 2 5g x x x m= + − + − 3 7, 1 3, 1 3 3, x m x x m x m x m x m − + − ≤ − = + − − < ≤  − − > 则函数 在 上单调递减，在 上单调递增. 要使函数 的图象与 轴围成一个三角形， 则 ，解得 ； 综上所述，实数 的取值范围为 . ( )g x ( ), 1−∞ − ( )1,− +∞ ( )g x x ( ) ( ) 1 4 0 2 3 0 g m g m m  − = − < = − ≥ 3 42 m≤ < m { }3 ,4 12  ∪ − 