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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习人教B版(文)8-8-1直线与圆锥曲线作业

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课时作业50 直线与圆锥曲线 ‎ [基础达标]‎ ‎1.过椭圆+=1内一点P(3,1),求被这点平分的弦所在直线方程.‎ 解析:设直线与椭圆交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,‎ 由于A、B两点均在椭圆上,‎ 故+=1,+=1,‎ 两式相减得 +=0.‎ 又∵P是A、B的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=2,‎ ‎∴kAB==-.‎ ‎∴直线AB的方程为y-1=-(x-3).‎ 即3x+4y-13=0.‎ ‎2.‎ ‎[2019·郑州入学测试]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)如图,斜率为的直线l与椭圆C交于A,B两点,点P(2,1)在直线l的左上方.若∠APB=90°,且直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,求线段MN的长度.‎ 解析:(1)由题意知解得 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设直线l:y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立,得消去y,化简整理,得x2+2mx+2m2-4=0.‎ 则由Δ=(2m)2-4(2m2-4)>0,得-2b>0),右焦点为F2(c,0).‎ 因为△AB1B2是直角三角形,且|AB1|=|AB2|,‎ 所以∠B1AB2=90°,‎ 因此|OA|=|OB2|,得b=.‎ 由c2=a2-b2得4b2=a2-b2,‎ 故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e==.‎ 在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故S△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2.由题设条件S△AB1B2=4得b2=4,所以a2=5b2‎ ‎=20.因此所求椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆方程并整理得(m2+5)y2-4my-16=0.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 则y1+y2=,y1·y2=-,‎ 又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),‎ 所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=--+16=-,‎ 由PB2⊥QB2,得·=0,‎ 即16m2-64=0,解得m=±2.‎ 所以满足条件的直线l有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.‎ ‎5.[2019·唐山五校联考]在直角坐标系xOy中,长为+1的线段的两端点C,D分别在x轴、y轴上滑动,= .记点P的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程;‎ ‎(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A,B两点,=+,当点M在曲线E上时,求四边形AOBM的面积.‎ 解析:(1)设C(m,0),D(0,n),P(x,y).‎ 由= ,得(x-m,y)=(-x,n-y),‎ 所以得 由||=+1,得m2+n2=(+1)2,‎ 所以(+1)2x2+y2=(+1)2,‎ 整理,得曲线E的方程为x2+=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由=+,知点M坐标为(x1+x2,y1+y2).‎ 由题意知,直线AB的斜率存在.‎ 设直线AB的方程为y=kx+1,代入曲线E的方程,得 ‎(k2+2)x2+2kx-1=0,‎ 则x1+x2=-,x1x2=-.‎ y1+y2=k(x1+x2)+2=.‎ 由点M在曲线E上,知(x1+x2)2+=1,‎ 即+=1,解得k2=2.‎ 这时|AB|=|x1-x2|==,‎ 原点到直线AB的距离d==,‎ 所以平行四边形OAMB的面积S=|AB|·d=.‎ ‎6.[2018·天津卷]设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.‎ 解析:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得|FB|=a,|AB|=b,‎ 由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.‎ 所以,椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).‎ 由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.‎ 又因为|AQ|=,而∠OAB=,所以|AQ|=y2.‎ 由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.‎ 由方程组消去x,可得y1=.‎ 易知直线AB的方程为x+y-2=0,‎ 由方程组消去x,可得y2=.‎ 由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,‎ 整理得56k2-50k+11=0,解得k=或k=.‎ 所以k的值为或.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎7.[2018·江苏卷]如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点,焦点为F1(-,0),F2(,0),圆O的直径为F‎1F2.‎ ‎(1)求椭圆C及圆O的方程;‎ ‎(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;‎ ‎②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.‎ 解析:解法一 (1)因为椭圆C的焦点为F1(-,0),F2(,0),‎ 所以可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).‎ 又点,在椭圆C上,‎ 所以解得 因此,椭圆C的方程为+y2=1.‎ 因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.‎ ‎(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则x0+y0=3.‎ 所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,即y=-x+.‎ 由消去y,得 ‎(4x0+y0)x2-24x0x+36-4y0=0.(*)‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,‎ 所以Δ=(-24x0)2-4(4x0+y0)·(36-4y0)=48y0 (x0-2)=0.‎ 因为x0>0,y0>0,‎ 所以x0=,y0=1.‎ 因此,点P的坐标为(,1).‎ ‎②因为三角形OAB的面积为,‎ 所以AB·OP=,从而AB=.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由(*)得x1,2=,‎ 所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2‎ ‎=1+·.‎ 因为x0+y0=3,‎ 所以AB2==,‎ 即2x0-45x0+100=0,‎ 解得x0=(x0=20舍去),则y0=,因此P的坐标为,.‎ 则直线l的方程为y=-x+3.‎ 解法二 (1)由题意知c=,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点在椭圆上,‎ 所以2a=+=4,‎ 所以a=2.‎ 因为a2=b2+c2,所以b=1,‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)①由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k<0,‎ 设直线l的方程为y=kx+m(k<0,m>0),‎ 将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3,‎ 整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,‎ 因为直线l与圆O相切,所以Δ=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,‎ 将直线l的方程代入椭圆C的方程,‎ 得+(kx+m)2=1,‎ 整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,‎ 因为直线l与椭圆C相切,‎ 所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,‎ 整理得m2=4k2+1,‎ 所以3k2+3=4k2+1,因为k<0,所以k=-,‎ 则m=3,‎ 将k=-,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,‎ 整理得x2-2x+2=0,‎ 解得x1=x2=,将x=代入x2+y2=3,‎ 解得y=1(y=-1舍去),所以点P的坐标为(,1).‎ ‎②设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),‎ 由①知m2=3k2+3,且k<0,m>0,‎ 因为直线l和椭圆C相交,所以结合②的过程知m2<4k2+1,解得k<-,‎ 将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2+1)2+8kmx+4m2-4=0,‎ 解得x1,2=,‎ 所以|x1-x2|=,‎ 因为AB==|x1-x2|=·,‎ O到l的距离d==,‎ 所以S△OAB=···=···=,解得k2=5,因为k<0,所以k=-,则m=3,即直线l的方程为y=-x+3.‎