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  • 2021-06-16 发布

2020-2021学年高二数学上册同步练习:点到直线的距离、两条平行线间的距离

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2020-2021 学年高二数学上册同步练习:点到直线的距离、两条平行线间的距离 一、单选题 1.点 (1,2 ) 到直线 3 4 1 0xy   的距离为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 00 22 10 25 AxByCd AB   , 故选 B 2.若点(2,k)到直线 5x-12y+6=0 的距离是 4,则 k 的值是( ) A.1 B.-3 C.1 或 5 3 D.-3 或 17 3 【答案】D 【解析】由题得 22 25126 4 5(12) k   ,解方程即得 k=-3 或 17 3 . 故选 D 3.点  0,3A  关于直线 : 3 0l x y   的对称的点坐标为( ) A.  5 ,2 B.  6,3 C.  3 ,6 D.  6 , 3 【答案】B 【解析】设点 关于直线 的对称的点为 ( , )B x y ,根据对称性的性质有: 0330 622 3 3(1)10 xy x y y x          , 所以点 关于直线 的对称的点坐标为 . 故选 B 4.两条平行线 1 5:20 2lxy  与 2 : 2 4 3 5 0l x y   间的距离为( ) A.3 B. 2 C. 2 D.1 【答案】B 【解析】 2l 的方程可化为 35202xy   , 故 12,ll之间的距离为 22 535 222 12 d    , 故选 B. 5.若光线从点 ( 3,3 )P  射到 y 轴上,经 y 轴反射后经过点 ( 1, 5 )Q  ,则光线从点 P 到点 Q 走过的路程为 ( ) A.10 B.5+ 17 C.4 5 D.2 【答案】C 【解析】找到 Q 点关于 y 轴的对称点 1 (1, 5 )Q  , 由对称性可知 P,Q 间距离等于 1,P Q 间的距离, 求得 22 1||4845PQPQ . 故选 C. 6.已知实数满足 250xy ,那么 22xy 的最小值为( ) A. B. 5 C. 25 D. 5 5 【答案】A 【解析】依题意可知 表示直线上的点到原点的距离,故原点到直线的距离为最小值,即最小 值为 22 5 5 12   , 故选 A. 7.两条平行直线3 4 12 0xy   与 8 11 0ax y   之间的距离为( ) A. 23 5 B. 23 10 C. 7 D. 7 2 【答案】D 【解析】由已知有 34,68 aa ,所以直线 可化为6 8 24 0xy   ,利用两平行直线 距离公式有 22 2411 7 268 d   , 故选 D. 8.若直线 1 : ( 4)l y k x与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 过定点( ) A. (0 ,4 ) B. (0 ,2 ) C. ( 2 ,4 ) D. (4 , 2) 【答案】B 【解析】直线 恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又由于直线 与直线 l2 关于点(2,1)对称,故直线 l2 恒过定点(0,2). 故选 B 9.过点  2 ,1M  ,且与点  1,0A  ,  3 ,0B 距离相等的直线方程是( ) A. 3 1 0xy   B. 1y  C. 或 D. 2x  或 【答案】C 【解析】由题意得:满足条件的直线斜率存在, 所以可设所求直线方程为 (2)1,210yk xkxyk 因为与点 , 距离相等, 所以 22 |21|| 321| |1| | 51|0 11 kkkk kkk kk      或 1 3k  即 或 故选 C 10.若动点  11,A x y ,  22,B x y 分别在直线 1 :70lxy  和 2 :50lxy  上移动,则线段 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( ) A. 32 B. 22 C.33 D. 42 【答案】A 【解析】由题意知: 点的轨迹为平行于直线 1l 、 2l 且到 、 距离相等的直线l , 故其方程为 60xy   , ∴ M 到原点的距离的最小值为 6 32 2 d  . 故选 A 11.已知点  2 ,0A 、  0 , 2B  .若点 P 在函数 yx 的图象上,则使得 PAB△ 的面积为 2 的点 的个 数为( ) A. 1 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】设点 的坐标为 ,aa,直线 AB 的方程为 122 xy,即 20xy   , 设点 到直线 的距离为 d ,则 1122222PABSABdd ,解得 2d  , 另一方面,由点到直线的距离公式得 2 2 2 aa d  , 整理得 0aa或 40aa   , 0a  ,解得 0a  或 1a  或 917 2a  . 综上,满足条件的点 共有三个. 故选 C. 12.直线 1l , 2l 分别过点 (1,4)M , ( 3,1)N  ,它们分别绕点 和 N 旋转,但必须保持平行,那么它们之 间的距离 的最大值是( ) A.5 B.4 C. 13 D.3 【答案】A 【解析】根据题意画出图像,如图所示: 根据图像可得:当 12ll// ,且 1l M N , 2l M N 时, 1l 与 2l 之间的距离为 MN ; 当 ,但是 与 MN 不垂直, 与 不垂直时,过 M 点向 引垂线,垂足为 P ,则 与 之间的 距离为 MP ; 因为 MN MP , 所以    2 2 max 13415dMN  . 故选 A . 二、填空题 13.直线 : 2 1 0l x y    关于点 A(1,2)的对称直线方程为_________________ 【答案】 2 9 0xy   【解析】在所求直线上取点  ,xy ,关于点 A(1,2)对称的点的坐标为  2 ,4 xy, 代入直线 210xy ,可得  22410xy 即 . 故填 . 14.若两平行直线 3x-y+m=0,6x+ny+7=0 之间的距离为 10 4 ,则 m 的值为______. 【答案】6 或 1 【解析】由两直线 3x-y+m=0,6x+ny+7=0 平行, 可得 31 67 m n ,∴n= 2 ,m≠ 7 2 ,故两平行直线方程为: 6x-2y+2m=0,6x-2y+7=0. 又它们之间的距离为 10 4 , ∴ | 27 |10 4364 m    ,求得 m=6 或 m=1, 故填 6 或 1. 15.点  ,P m n m 到直线 1xy mn的距离等于________. 【答案】 22mn 【解析】化直线方程为一般方程得 0n x m y m n   , 所以,点 P 到直线 的距离为   2 22 22 2222 mnnmmn mndnm nmnm    . 故填 22mn . 16.一条光线从点  1,1A  出发射向 x 轴,经过 轴上的点 反射后经过点  2 ,5B ,则点 的坐标为 ______. 【答案】 1 ,02  【解析】根据题意: 关于 轴的对称点为  1, 1 而反射光线直线又过 ∴其直线为:  51 2521yx 即: 21yx, 当 0y  时, 1 2x  ,即点 的坐标为 , 故填 . 17.点 ( 3 ,3 )P 到直线 :cossin20lxy 的距离的最大值等于_______. 【答案】 3 2 2  【解析】点 到直线 的距离为: 22 3cos3sin2 3 2 sin2 4cossin d       当sin 14    ,即 52,4kkZ 时, d 有最大值 故填 18.在平面直角坐标系 x O y 中,若动点  ,P a b 到两直线 1 :l y x  和 2 :1l y x    的距离之和为 22,则 22ab 的最大值是________. 【答案】18 【解析】动点  ,P a b 到两直线 1l 和 2l 的距离之和为 2 22 22 a b a b  , 即 24abab ,设 ,2a b m a b n     ,则 4mn,          222222222 111 2242410222abababnmnnnnn 2 2 2 10,0 4{ 6 10, 4 0 n n n n n n          ,若04n,当 4n  时, 22ab 取得最大值为 18,若 40n   , 当 0n  时, 22ab 取得最大值为 10,综上可知,当点 P 在  3 ,3 时, 22ab 取得最大值为 18. 故填 18 三、解答题 19.已知点  Mab, 在直线3410xy上,求 22ab 的最小值. 【解析】 22ab 可以理解为点  0 ,0 到点  ,ab 的距离, 又∵点  ,Mab 在直线 3410: xyl 上, ∴ 22ab 的最小值等于点  0 ,0 到直线3410xy的距离 d , 且 22 10 2 34 d   . 20.已知 ABC 的三个顶点分别为  1,2A ,  4,1B ,  3,6C . (1)求 BC 边上的中线所在直线的一般式方程. (2)求 的面积. 【解析】(1)因为 , . 则 边上的中点: 77,22D  . 可得中线所在直线的一般式方程:   7 22217 12 yx    . 化简得: 3 5 7 0xy- + = . 故 BC 边上的中线所在直线的一般式方程为 . (2) 22(1 4) (2 1) 10AB      , 直线 AB 的方程为:  212114yx  , 化为: 3 7 0xy   . 点 C 到直线 的距离 3 18 7 14 10 10 d . ∴ ABC 的面积 114 1072 10 S  . 21.已知直线 :120lkxyk . (1)若已知直线 l 不经过...第二象限,求 k 的取值范围; (2)已知点  0 ,1A ,  1 ,5B ,若点 A、B 到直线 l 的距离相等,求直线 l 的方程. 【解析】(1)  120210kxykxky 令 2x  ,则 1y  ,直线 l 恒过定点  2 ,1 ,即直线恒过第一象限, 由 1 2 0 1 2kx y k y kx k        且直线 不经过第二象限,可得 0 120 k k    , 解得 1 2k  . (2)根据可知点 A、B 在直线 外, 所以    2222 0 1 1 2 5 1 2 11 k k k kk           , 解得 4k  或 4 3k  , 所以直线 l 的方程为: 4 7 0xy   或 43110xy 22.直线 1 :1l y mx, 2 :1l x my   相交于点 P ,其中 1m  . (1)求证: 1l 、 2l 分别过定点 A 、 B ,并求点 、 的坐标; (2)求 ABP△ 的面积 S ; (3)问 m 为何值时, 最大? 【解析】(1)在直线 的方程中令 0x  可得 1y  ,则直线 过定点  0 ,1A , 在直线 的方程中令 0y  可得 1x  ,则直线 过定点  10B , ; (2)联立直线 、 的方程 1 1 y m x x m y      ,解得 2 2 1 1 1 1 mx m my m       ,即点 22 11,11 mmP mm   . 22 222 11101111 mmmAP mmm    , 22 222 11110111 mmmBP mmm    , 11m ,所以,     2 222 111112 1221 2121 mm mSAP BP mmm     ; (3) 2 12121S m  且 11m ,因此,当 0m  时, 取得最大值,即 max 1 2S  .