2020-2021学年高二数学上册同步练习：点到直线的距离、两条平行线间的距离 9页

2020-2021 学年高二数学上册同步练习：点到直线的距离、两条平行线间的距离 一、单选题 1．点 (1,2 ) 到直线 3 4 1 0xy   的距离为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 00 22 10 25 AxByCd AB   ， 故选 B 2．若点(2，k)到直线 5x-12y+6=0 的距离是 4，则 k 的值是（ ） A．1 B．-3 C．1 或 5 3 D．-3 或 17 3 【答案】D 【解析】由题得 22 25126 4 5(12) k   ，解方程即得 k=-3 或 17 3 . 故选 D 3．点  0,3A  关于直线 : 3 0l x y   的对称的点坐标为（ ） A．  5 ,2 B．  6,3 C．  3 ,6 D．  6 , 3 【答案】B 【解析】设点 关于直线 的对称的点为 ( , )B x y ，根据对称性的性质有： 0330 622 3 3(1)10 xy x y y x          ， 所以点 关于直线 的对称的点坐标为 . 故选 B 4．两条平行线 1 5:20 2lxy  与 2 : 2 4 3 5 0l x y   间的距离为（ ） A．3 B． 2 C． 2 D．1 【答案】B 【解析】 2l 的方程可化为 35202xy   ， 故 12,ll之间的距离为 22 535 222 12 d    ， 故选 B. 5．若光线从点 ( 3,3 )P  射到 y 轴上，经 y 轴反射后经过点 ( 1, 5 )Q  ，则光线从点 P 到点 Q 走过的路程为 （ ） A．10 B．5＋ 17 C．4 5 D．2 【答案】C 【解析】找到 Q 点关于 y 轴的对称点 1 (1, 5 )Q  ， 由对称性可知 P，Q 间距离等于 1,P Q 间的距离， 求得 22 1||4845PQPQ . 故选 C. 6．已知实数满足 250xy ,那么 22xy 的最小值为（ ） A． B． 5 C． 25 D． 5 5 【答案】A 【解析】依题意可知 表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小 值为 22 5 5 12   ， 故选 A. 7．两条平行直线3 4 12 0xy   与 8 11 0ax y   之间的距离为（ ） A． 23 5 B． 23 10 C． 7 D． 7 2 【答案】D 【解析】由已知有 34,68 aa ，所以直线 可化为6 8 24 0xy   ，利用两平行直线 距离公式有 22 2411 7 268 d   ， 故选 D. 8．若直线 1 : ( 4)l y k x与直线 l2 关于点(2,1)对称，则直线 l2 过定点（ ） A． (0 ,4 ) B． (0 ,2 ) C． ( 2 ,4 ) D． (4 , 2) 【答案】B 【解析】直线 恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线 与直线 l2 关于点(2,1)对称，故直线 l2 恒过定点(0,2). 故选 B 9．过点  2 ,1M  ，且与点  1,0A  ，  3 ,0B 距离相等的直线方程是（ ） A． 3 1 0xy   B． 1y  C． 或 D． 2x  或 【答案】C 【解析】由题意得：满足条件的直线斜率存在， 所以可设所求直线方程为 (2)1,210yk xkxyk 因为与点 ， 距离相等， 所以 22 |21|| 321| |1| | 51|0 11 kkkk kkk kk      或 1 3k  即 或 故选 C 10．若动点  11,A x y ，  22,B x y 分别在直线 1 :70lxy  和 2 :50lxy  上移动，则线段 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为（ ） A． 32 B． 22 C．33 D． 42 【答案】A 【解析】由题意知： 点的轨迹为平行于直线 1l 、 2l 且到 、 距离相等的直线l ， 故其方程为 60xy   ， ∴ M 到原点的距离的最小值为 6 32 2 d  . 故选 A 11．已知点  2 ,0A 、  0 , 2B  ．若点 P 在函数 yx 的图象上，则使得 PAB△ 的面积为 2 的点 的个 数为（ ） A． 1 B． C． 3 D． 4 【答案】C 【解析】设点 的坐标为 ,aa，直线 AB 的方程为 122 xy，即 20xy   ， 设点 到直线 的距离为 d ，则 1122222PABSABdd ，解得 2d  ， 另一方面，由点到直线的距离公式得 2 2 2 aa d  ， 整理得 0aa或 40aa   ， 0a  ，解得 0a  或 1a  或 917 2a  . 综上，满足条件的点 共有三个． 故选 C. 12．直线 1l ， 2l 分别过点 (1,4)M ， ( 3,1)N  ，它们分别绕点 和 N 旋转，但必须保持平行，那么它们之 间的距离 的最大值是（ ） A．5 B．4 C． 13 D．3 【答案】A 【解析】根据题意画出图像，如图所示： 根据图像可得：当 12ll// ，且 1l M N ， 2l M N 时， 1l 与 2l 之间的距离为 MN ； 当 ，但是 与 MN 不垂直， 与 不垂直时，过 M 点向 引垂线，垂足为 P ，则 与 之间的 距离为 MP ； 因为 MN MP ， 所以    2 2 max 13415dMN  . 故选 A . 二、填空题 13．直线 : 2 1 0l x y    关于点 A(1,2)的对称直线方程为_________________ 【答案】 2 9 0xy   【解析】在所求直线上取点  ,xy ，关于点 A(1,2)对称的点的坐标为  2 ,4 xy， 代入直线 210xy ，可得  22410xy 即 . 故填 . 14．若两平行直线 3x-y+m=0，6x+ny+7=0 之间的距离为 10 4 ，则 m 的值为______． 【答案】6 或 1 【解析】由两直线 3x-y+m=0，6x+ny+7=0 平行， 可得 31 67 m n ，∴n= 2 ，m≠ 7 2 ，故两平行直线方程为： 6x-2y+2m=0，6x-2y+7=0． 又它们之间的距离为 10 4 ， ∴ | 27 |10 4364 m    ，求得 m=6 或 m=1， 故填 6 或 1． 15．点  ,P m n m 到直线 1xy mn的距离等于________． 【答案】 22mn 【解析】化直线方程为一般方程得 0n x m y m n   ， 所以，点 P 到直线 的距离为   2 22 22 2222 mnnmmn mndnm nmnm    . 故填 22mn . 16．一条光线从点  1,1A  出发射向 x 轴，经过 轴上的点 反射后经过点  2 ,5B ，则点 的坐标为 ______. 【答案】 1 ,02  【解析】根据题意： 关于 轴的对称点为  1, 1 而反射光线直线又过 ∴其直线为：  51 2521yx 即： 21yx， 当 0y  时， 1 2x  ，即点 的坐标为 ， 故填 . 17．点 ( 3 ,3 )P 到直线 :cossin20lxy 的距离的最大值等于_______． 【答案】 3 2 2  【解析】点 到直线 的距离为： 22 3cos3sin2 3 2 sin2 4cossin d       当sin 14    ，即 52,4kkZ 时， d 有最大值 故填 18．在平面直角坐标系 x O y 中，若动点  ,P a b 到两直线 1 :l y x  和 2 :1l y x    的距离之和为 22，则 22ab 的最大值是________. 【答案】18 【解析】动点  ,P a b 到两直线 1l 和 2l 的距离之和为 2 22 22 a b a b  ， 即 24abab ，设 ,2a b m a b n     ，则 4mn，          222222222 111 2242410222abababnmnnnnn 2 2 2 10,0 4{ 6 10, 4 0 n n n n n n          ，若04n，当 4n  时， 22ab 取得最大值为 18，若 40n   ， 当 0n  时， 22ab 取得最大值为 10，综上可知，当点 P 在  3 ,3 时， 22ab 取得最大值为 18. 故填 18 三、解答题 19．已知点  Mab， 在直线3410xy上，求 22ab 的最小值. 【解析】 22ab 可以理解为点  0 ,0 到点  ,ab 的距离， 又∵点  ,Mab 在直线 3410: xyl 上， ∴ 22ab 的最小值等于点  0 ,0 到直线3410xy的距离 d ， 且 22 10 2 34 d   . 20．已知 ABC 的三个顶点分别为  1,2A ,  4,1B ,  3,6C ． （1）求 BC 边上的中线所在直线的一般式方程． （2）求 的面积． 【解析】（1）因为 , ． 则 边上的中点： 77,22D  . 可得中线所在直线的一般式方程：   7 22217 12 yx    ． 化简得： 3 5 7 0xy- + = ． 故 BC 边上的中线所在直线的一般式方程为 . （2） 22(1 4) (2 1) 10AB      , 直线 AB 的方程为：  212114yx  , 化为： 3 7 0xy   ． 点 C 到直线 的距离 3 18 7 14 10 10 d ． ∴ ABC 的面积 114 1072 10 S  . 21．已知直线 :120lkxyk . （1）若已知直线 l 不经过．．．第二象限，求 k 的取值范围； （2）已知点  0 ,1A ，  1 ,5B ，若点 A、B 到直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程. 【解析】（1）  120210kxykxky 令 2x  ，则 1y  ，直线 l 恒过定点  2 ,1 ，即直线恒过第一象限， 由 1 2 0 1 2kx y k y kx k        且直线 不经过第二象限，可得 0 120 k k    ， 解得 1 2k  . （2）根据可知点 A、B 在直线 外， 所以    2222 0 1 1 2 5 1 2 11 k k k kk           ， 解得 4k  或 4 3k  , 所以直线 l 的方程为： 4 7 0xy   或 43110xy 22．直线 1 :1l y mx， 2 :1l x my   相交于点 P ，其中 1m  . （1）求证： 1l 、 2l 分别过定点 A 、 B ，并求点 、 的坐标； （2）求 ABP△ 的面积 S ； （3）问 m 为何值时， 最大？ 【解析】（1）在直线 的方程中令 0x  可得 1y  ，则直线 过定点  0 ,1A ， 在直线 的方程中令 0y  可得 1x  ，则直线 过定点  10B , ； （2）联立直线 、 的方程 1 1 y m x x m y      ，解得 2 2 1 1 1 1 mx m my m       ，即点 22 11,11 mmP mm   . 22 222 11101111 mmmAP mmm    ， 22 222 11110111 mmmBP mmm    ， 11m ，所以，     2 222 111112 1221 2121 mm mSAP BP mmm     ； （3） 2 12121S m  且 11m ，因此，当 0m  时， 取得最大值，即 max 1 2S  .