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- 2021-06-16 发布
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课时作业18 三角函数的图象与性质
[基础达标]
一、选择题
1．下列函数中，周期为π的奇函数为( )
A．y＝sin xcos x B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
解析：y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确．
答案：A
2．函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：由kπ－<2x－－，故sin>sin.
答案：>
7．函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是________．
解析：由f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x，
2kπ＋≤2x≤2kπ＋得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
8．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝________.
解析：∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω>0)在[0，]上单调递增，
在[，]上单调递减知，＝，∴ω＝.
答案：
三、解答题
9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
解析：∵f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，φ＝＋kπ，k∈Z，
∴cosφ＝0，∵0<φ<，∴φ＝.
(2)f(x)的图象过点时，sin＝，
即sin＝.
又∵0<φ<，∴<＋φ<π.
∴＋φ＝，φ＝.∴f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
10．已知f(x)＝2sin＋a＋1.
(1)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(2)在(1)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的取值集合．
解析：(1)由x∈，得2x＋∈.
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值，f＝2sin＋a＋1＝a＋3＝4，
所以a＝1.
(2)由f(x)＝2sin＋2＝1
可得sin＝－，
则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
可解得x＝－，－，，，
所以x的取值集合为.
[能力挑战]
11．[2020·安徽芜湖一中月考]函数y＝cos2x＋sin x(－≤x≤)最大值与最小值之和为( )
A. B．2
C．0 D.
解析：y＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1，设t＝sin x，则y＝－t2＋t＋1，∵－≤x≤，∴－≤t≤，∵y＝－t2＋t＋1在区间[－，]上是增函数，∴当t＝－时，y最小为，当t＝时，y最大为，∴最大值与最小值的和为，故选A.
答案：A
12．[2020·辽宁瓦房店三中月考]函数y＝2sin (－2x)的单调递增区间是( )
A．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
B．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
C．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
D．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
解析：通解 由2nπ＋≤－2x≤2nπ＋(n∈Z)，得－nπ－≤x≤－nπ－(n∈Z)，令k＝－n，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，又区间[kπ－，kπ－](k∈Z)和区间[kπ＋，kπ＋](k∈Z)相差一个周期π，∴函数y
＝2sin(－2x)的单调递增区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，故选B.
解法一 ∵y＝2sin(－2x)＝－2sin(2x－)，∴求函数y＝2sin－2x的单调递增区间即求函数t＝sin(2x－)的单调递减区间，由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数y＝2sin(－2x)的单调递增区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，故选B.
解法二 函数y＝2sin(－2x)单调递增区间的左端点值对应的函数值是函数的最小值，区间长度为一个周期π，经验证每一个选项的区间长度均为一个周期π，只有区间左端点x＝kπ＋(k∈Z)的相应函数值是函数的最小值－2，∴函数y＝2sin(－2x)的单调递增区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，故选B.
答案：B
13．[2019·全国卷Ⅰ]关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间单调递增
③f(x)在[－π，π]有4个零点
④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
解析：通解 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当
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