【数学】2020届一轮复习人教B版平面向量的数量积及应用举例课时作业 7页

‎1．(2019·洛阳市第一次统一考试)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为(　　)‎ A．－7　　　　　　　　 B．－3‎ C．2 D．3‎ 解析：选D.依题意得a·b＝2×1×cos ＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，即2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0，－3λ＋9＝0，λ＝3.‎ ‎2．(2019·山西四校联考)向量a，b满足|a＋b|＝2|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为(　　)‎ A．0 B. C. D. 解析：选B.(a－b)·a＝0⇒a2＝b·a，|a＋b|＝2|a|⇒a2＋b2＋2a·b＝12a2⇒b2＝9a2，所以cos〈a，b〉＝＝＝.故选B.‎ ‎3．(2019·洛阳市第一次统一考试)已知向量a＝(1，0)，|b|＝，a与b的夹角为45°，若c＝a＋b，d＝a－b，则c在d方向上的投影为(　　)‎ A. B．－ C．1 D．－1‎ 解析：选D.依题意得|a|＝1，a·b＝1××cos 45°＝1，|d|＝＝＝1，c·d＝a2－b2＝－1，因此c在d方向上的投影等于＝－1，选D.‎ ‎4．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C.由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，‎ 所以2·＝0，所以⊥.‎ 所以∠A＝90°，又因为根据条件不能得到||＝||.故选C.‎ ‎5．(2019·福建漳州八校联考)在△ABC中，|＋|＝|－|，||＝||＝3，则·的值为(　　)‎ A．3 B．－3‎ C．－ D. 解析：选D.由|＋|＝|－|两边平方可得，2＋2＋2·＝3(2＋2－2·)，即2＋2＝4·，又||＝||＝3，所以·＝，又因为＝－，所以·＝(－)·(－)＝2－·＝9－＝，故选D.‎ ‎6．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2 b|＝ ________ .‎ 解析：易知|a＋2b|＝ ‎＝＝2.‎ 答案：2 ‎7．(2019·江西七校联考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为________．‎ 解析：因为b在a上的投影为－3，‎ 所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝1×3＋m，所以3＋m＝－6，解得m＝－3，则b＝(3，－3)，所以|b|＝＝6，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为π.‎ 答案：π ‎8．(2017·高考天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．‎ 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.又·＝3×2×＝3，所以·＝·(－＋λ)‎ ‎＝－2＋·＋λ2‎ ‎＝－3＋3＋λ×4＝λ－5＝－4，则λ＝.‎ 答案： ‎9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．‎ ‎(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；‎ ‎(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．‎ 解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．‎ 由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，‎ 解得x＝7，即b＝(1，7)，‎ 所以|b|＝＝5.‎ ‎(2)a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，‎ 故x＝－3，‎ 所以b＝(1，－3)，‎ 所以cos〈a，b〉＝＝＝，‎ 因为〈a，b〉∈[0，π]，‎ 所以a与b夹角是.‎ ‎10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)求|a＋b|；‎ ‎(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．‎ 解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.‎ 又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，‎ 所以a·b＝－6.所以cos θ＝＝＝－.‎ 又因为0≤θ≤π，所以θ＝.‎ ‎(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2‎ ‎＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.‎ ‎(3)因为与的夹角θ＝，‎ 所以∠ABC＝π－＝.‎ 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ 所以S△ABC＝||||sin ∠ABC＝×4×3×＝3.‎ ‎1．已知点G为△ABC的重心，∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.设BC的中点为M，则＝.‎ 又M为BC中点，‎ 所以＝(＋)，‎ 所以＝＝(＋)，‎ 所以||＝ .‎ 又因为·＝－2，∠A＝120°，‎ 所以||||＝4.‎ 所以||＝ ‎≥ ＝，‎ 当且仅当||＝||时取“＝”，‎ 所以||的最小值为，故选C.‎ ‎2．(2019·广东七校联考)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设M(a，2－a)，N(a＋1，1－a)(由题意可知0