【数学】2020届一轮复习（文）通用版5-3平面向量的数量积作业 4页

课时跟踪检测（三十四） 平面向量的数量积 ‎1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b·(2a－b)等于(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　 　B．－1‎ C．－6 D．－18‎ 解析：选D　∵a与b的夹角的余弦值为sin＝－，‎ ‎∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.‎ ‎2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选D　∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)，∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa＋b与b垂直，∴(λa＋b)·b＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－.‎ ‎3．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，则|a－b|＝(　　)‎ A. B. C．2 D. 解析：选A　因为|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，所以|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋5－0＝6，所以|a－b|＝.故选A.‎ ‎4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(a＋c)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　设c＝(m，n)，‎ 则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，‎ 因为(a＋c)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，‎ 即3m＋2n＝－7，又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，‎ 联立解得 所以c＝.‎ ‎5．(2018·襄阳调研)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(　　)‎ A.∪ B. C．(－∞，－2)∪ D. 解析：选C　不妨令i＝(1,0)，j＝(0,1)，则a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，因为它们的夹角为锐角，所以a·b＝1－2λ>0且a，b不共线，所以λ<且λ≠－2，故选C.‎ ‎6．(2019·石家庄质检)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，∴|a＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝|b|，cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝＝，故a＋b与a的夹角为.‎ ‎7．(2018·宝鸡质检)在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边上的一个三等分点，则·＋·＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C. D．－ 解析：选B　以点C为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C(0,0)，A(1，0)，B(0,1)，不妨设P，所以·＋·＝·(＋)＝＋＝1.故选B.‎ ‎8．(2019·武汉调研)已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b的最大值为(　　)‎ A．－1 B．－2‎ C．－ D．－ 解析：选D　不妨设e＝(1,0)，则a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)，则a＋b＝(－1，m＋n)，所以|a＋b|＝＝2，所以(m＋n)2＝3，即3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝4mn，当且仅当m＝n时等号成立，所以mn≤，所以a·b＝－2＋mn≤－，综上可得a·b 的最大值为－.‎ ‎9．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角的正弦值为________．‎ 解析：∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，‎ ‎∴sin〈a，b〉＝＝.‎ 答案： ‎10．(2018·湖北八校联考)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝2，若(λa＋b)⊥(a－2b)，则λ＝________.‎ 解析：∵|a|＝1，|b|＝2，且a，b的夹角为，∴a·b＝1×2×＝－1，又∵(λa＋b)⊥(a－2b)，∴(λa＋b)·(a－2b)＝0，即(λa＋b)·(a－2b)＝λa2－2b2＋(1－2λ)a·b＝λ－8－(1－2λ)＝0，解得λ＝3.‎ 答案：3‎ ‎11．(2018·合肥一检)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于________．‎ 解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，‎ ‎∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，‎ ‎∴a·b＝－1，‎ ‎∴a在b方向上的投影为＝－.‎ 答案：－ ‎12.如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________.‎ 解析：由已知得||＝，||＝，‎ 则·(－)＝(＋)·＝·＋·＝cos＋×＝ －.‎ 答案：－ ‎13．(2019·南昌质检)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|2a－b|＝.‎ ‎(1)求|2a－3b|的值；‎ ‎(2)求向量3a－b与a－2b的夹角θ.‎ 解：(1)∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4－4a·b＋1＝5，∴a·b＝0，‎ ‎∴|2a－3b|＝＝＝.‎ ‎(2)cos θ＝＝＝＝，‎ ‎∵θ∈[0，π]，∴θ＝.‎