【数学】2020届一轮复习人教A版第45课直线与圆的位置关系(2)作业（江苏专用） 5页

随堂巩固训练(45)‎ ‎ 1. 圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为__x－y＋2＝0__．‎ 解析：因为点(1，)在圆x2＋y2－4x＝0上，所以P为切点，从而圆心与点P的连线与切线垂直．设切线的斜率为k，因为圆心为(2，0)，所以·k＝－1，解得k＝，所以切线方程为x－y＋2＝0.‎ ‎ 2. 过已知直线l：y＝x＋1上的一点作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，切线长的最小值为__1__．‎ 解析：由圆心到直线的距离可知直线与圆相离．设切线长为d，直线上一点为P，则d2＝PC2－1，所以当圆心与直线上一点的连线距离最短时切线长最小，又最小值为圆心C到直线l的距离，则PCmin＝＝，所以切线长的最小值为1.‎ ‎ 3. 直线ax－2y－2a＋4＝0被圆x2＋y2－2x－8＝0所截得的弦长的范围是__[4，6]__．‎ 解析：由题意得(x－1)2＋y2＝9，所以圆心坐标为(1，0)，半径r＝3.直线ax－2y－2a＋4＝0变形为a(x－2)－2(y－2)＝0，所以该直线过定点B(2，2)．因为点B到圆心(1，0)的距离为＝<3，所以点B在圆内．当直线过圆心(1，0)和点B时，所得的弦为直径，此时弦长最大为6；当直线所截得的弦与过点B的直径垂直时，此时弦长最小，所以直线的方程为y－2＝－(x－2)，即x＋2y－6＝0，圆心到该直线的距离为＝，所以直线被圆所截得的弦长为2＝4.综上，所截得的弦长的范围是[4，6]．‎ ‎ 4. 圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是__4__．‎ 解析：因为圆心(0，0)到直线3x＋4y－25＝0的距离d＝＝5>1，所以圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0距离的最小值是5－1＝4.‎ ‎ 5. 已知圆O的半径为1，P为圆O外一点，PA，PB是该圆的两条切线，A，B为切点，那么·的最小值为__2－3__．‎ 解析：设OP＝x，则PA＝PB＝.设∠APO＝α，则∠APB＝2α，sinα＝，则·＝||||cos2α＝××(1－2sin2α)‎ ‎＝(x2－1)·＝x2＋－3≥2－3，当且仅当x2＝时取等号，故·的最小值为2－3.‎ ‎ 6. 已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝，则·＝__－__．‎ 解析：因为点A，B在圆x2＋y2＝1上，所以||＝||＝1.又因为AB＝，所以sin＝＝，所以∠AOB＝60°，所以∠AOB＝120°，所以·＝||||cos∠AOB＝1×1×cos120°＝－.‎ ‎ 7. 若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是__∪__．‎ 解析：由题意得＋(y＋1)2＝16－k2，所以16－k2>0，解得－0，即(k－2)(k＋3)>0，解得k>2或k<－3，则实数k的取值范围是(－，－3)∪(2，)．‎ ‎ 8. 已知P是直线l：kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为__2__．‎ 解析：由题意得圆C：x2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(0，1)，半径1.若四边形面积最小，则圆心C与点P的距离最小，即圆心到直线l的距离最小时，设圆心C到直线l的距离为d，2S△PAC＝2××1×＝＝2，解得d＝，所以＝，解得k＝±2.又因为k>0，所以k＝2.‎ ‎ 9. 已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且AB＝6，则圆C的方程为__x2＋(y＋1)2＝18__．‎ 解析：设圆心C的坐标为(x0，y0)，则由题意可得解得令圆C的半径为r，圆心C(0，－1)到3x＋4y－11＝0的距离d＝3，所以r2＝32＋32＝18，所以圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.‎ ‎10. 已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．‎ ‎(1) 求圆C的方程；‎ ‎(2) 设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．‎ 解析：(1) 设圆心C(a，b)，则解得 则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，‎ 故圆C的方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2) 设点Q(x，y)，则x2＋y2＝2，‎ ·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.‎ 令x＝cos θ，y＝sin θ，‎ 因为·＝x＋y－2，所以·＝(sin θ＋cos θ)－2＝2sin－2，‎ 所以·的最小值为－4.‎ ‎11. 已知圆C过点P(1，1)，且与圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋3＝0对称．‎ ‎(1) 求圆C的方程；‎ ‎(2) 过点P作两条直线分别与圆C相交于点A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，判断直线OP与AB是否平行，并请说明理由．‎ 解析：(1) 由题意设圆心C(a，b)，半径为R，则解得a＝b＝‎ ‎0.‎ 又因为点P(1，1)在圆C上，‎ 所以R2＝(1－0)2＋(1－0)2＝2，‎ 故圆C的方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2) 由题意可知，直线PA和直线PB的斜率存在且互为相反数．‎ 故可设PA所在的直线方程为y－1＝k(x－1)，‎ PB所在的直线方程为y－1＝－k(x－1)，‎ 由消去y整理得(k2＋1)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0.①‎ 设点A(x1，y1)，又已知点P(1，1)，‎ 则x1，1为方程①的两相异实数根，‎ 所以x1＝.　‎ 同理，设点B(x2，y2)，则x2＝.‎ 所以kAB＝＝＝＝1，‎ 而直线OP的斜率也是1，且两直线不重合，‎ 因此，直线OP与AB平行．‎ ‎12. 如图，在平面直角坐标系内，已知A(1，0)，B(－1，0)两点，且圆C的方程为x2＋y2－6x－8y＋21＝0，P为圆C上的动点．‎ ‎(1) 求过点A的圆C的切线方程；‎ ‎(2) 求AP2＋BP2的最大值及其对应的点P的坐标．‎ 解析：(1) 当k存在时，设过点A的切线的方程为y＝k(x－1)．‎ 因为圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝2，‎ 所以＝2，解得k＝，‎ 所以切线方程为3x－4y－3＝0；‎ 当k不存在时，方程x＝1也满足，‎ 综上所述，所求切线方程为3x－4y－3＝0或x＝1.‎ ‎(2) 设点P(x，y)，则由两点之间的距离公式知AP2＋BP2＝2(x2＋y2)＋2＝2OP2＋2，‎ 要使AP2＋BP2取得最大值，只要OP2最大．‎ 又P为圆上的点，‎ 所以OPmax＝OC＋r＝＋2＝7，‎ 所以(AP2＋BP2)max＝2×72＋2＝100，‎ 此时直线OC的方程为y＝x.‎ 由解得(舍去)或 所以点P的坐标为.‎ 分析与点评：(1)本题考查的是过圆外一点求圆的切线方程，需要经过分类讨论．分斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离等于半径，即可求出过点A的圆的切线方程．‎ ‎(2) 设P(x，y)，利用两点间的距离公式表示AP，BP，代入所求式子中化简，整理后得出所求式子最大，即为OP最大，而P为圆上的点，连结OC并延长，与圆的交点即为P点，OPmax＝OC＋r，求出OP的最大值，即可确定出所求式子的最大值．‎ ‎13. 已知圆C：x2＋(y－a)2＝4，点A的坐标为(1，0)．‎ ‎(1) 当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；‎ ‎(2) 设AM，AN为圆C的两条切线，切点分别为M，N，当MN＝时，求直线MN的方程．‎ 解析：(1) 因为过点A的圆C的切线存在，‎ 所以点A在圆上或圆外，‎ 所以1＋a2≥4，‎ 解得a≤－或a≥，‎ 故实数a的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．‎ ‎(2) 如图，设MN与AC的交点为D.‎ 因为MN＝，所以MD＝.‎ 又因为MC＝2，所以CD＝＝，‎ 所以cos∠MCA＝.‎ 因为AC＝＝＝，‎ 所以OC＝2，AM＝1，‎ 所以MN是以A为圆心，半径为1的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆C的方程为x2＋(y±2)2＝4，所以MN的方程为x±2y＝0.‎ 评注：第(2)问的处理充分利用了平面图形的性质，将求直线MN的方程转化为求两圆的公共弦可以简化运算．‎