【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第3章第3讲第2课时三角函数式的化简与求值作业 7页

对应学生用书[练案23理][练案22文]‎ 第二课时　三角函数式的化简与求值 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．(2020·安徽怀远一中月考)sin 10°sin 50°sin 70°＝(　C　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20°＝＝＝.‎ ‎2.(　C　)‎ A．－　 B．－　‎ C．　 D． ‎[解析]　sin 47°＝sin (30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°，∴原式＝＝sin 30°＝.‎ ‎3．(2020·东北四市联考)已知sin (－α)＝cos (＋α)，则cos 2α＝(　D　)‎ A．1　 B．－1　‎ C．　 D．0‎ ‎[解析]　因为sin (－α)＝cos (＋α)，所以cos α－sin α＝cos α－sin α，即(－)sin α＝－(－)cos α，所以tan α＝＝－1，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0，故选D． ‎ ‎4．(2019·湖南岳阳三校第一次联考)已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α的值为(　A　)‎ A．30°　 B．45°‎ C．60°　 D．30°或60°‎ ‎[解析]　由cos 2α＝sin α，得1－2sin2α＝sin α，即2sin2α＋sin α－1＝0，得sin α＝或sin α＝－1.因为α为锐角，所以sin α＝，所以α＝30°，故选A．‎ ‎5．(2019·内蒙古鄂尔多斯四校联考)已知sin θ＝－，则sin2(＋)＝(　D　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　sin2(＋)＝＝＝＝，故选D．‎ ‎6．(2020·河南郑州一中月考)若＝4，则tan (2α＋)＝(　C　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　∵＝＝＝4，∴tan (2α＋)＝＝.故选C．‎ ‎7．(2019·全国高考信息卷)若α为第二象限角，且sin 2α＝sin (α＋)cos (π－α)，则cos (2α－)的值为(　A　)‎ A．－　 B．　‎ C．　 D．－ ‎[解析]　∵sin 2α＝sin (α＋)cos (π－α)，‎ ‎∴2sin αcos α＝－cos2α，∵α是第二象限角，‎ ‎∴cos α≠0,2sin α＝－cos α，∴4sin2α＝cos2α＝1－sin2α，‎ ‎∴sin2α＝，∴cos (2α－)＝cos 2α＋sin 2α＝cos2α－sin2α＋2sin αcos α＝－sin2α＝－ ‎，故选A．‎ ‎8．(2019·江西九江两校第二次联考)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x，若α∈(，π)，且f(α)＝，则α的值为(　C　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　由题意知f(x)＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝sin 4x＋cos 4x＝sin (4x＋)，‎ 因为f(α)＝sin (4α＋)＝，‎ 所以4α＋＝＋2kπ，k∈Z，即α＝＋，k∈Z.‎ 因为α∈(，π)，所以α＝＋＝，故选C．‎ 二、填空题 ‎9．sin 15°＋sin 75°＝　.‎ ‎[解析]　sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin (15°＋45°)＝sin 60°＝.‎ 另解：原式＝sin (45°－30°)＋sin (45°＋30°)‎ ‎＝2sin 45°cos 30°＝2××＝.‎ ‎10．化简：＝2cos α　.‎ ‎[解析]　原式＝＝2cos α.‎ ‎11．(2019·福建龙岩第一次质量检测)化简：－sin 10°(－tan 5°)的值为　.‎ ‎[解析]　原式＝－sin 10°(－)＝－sin 10°×＝＝＝＝.‎ ‎12．(2019·河南濮阳一模)设0°<α<90°，若sin (75°＋2α)＝－，则sin (15°＋α)·sin (75°－α)＝　.‎ ‎[解析]　因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin (75°＋2α)＝－<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos (75°＋2α)＝－，所以sin (15°＋α)·sin (75°－α)＝sin (15°＋α)·cos (15°＋α)＝sin (30°＋2α)＝sin [(75°＋2α)－45°]＝[sin (75°＋2α)cos 45°－cos (75°＋2α)·sin 45°]＝×(－×＋×)＝.‎ 三、解答题 ‎13．(2020·江西临川一中月考)已知00，cos (α＋β)<0.‎ ‎∵cos (β－)＝，sin (α＋β)＝，‎ ‎∴sin (β－)＝，cos (α＋β)＝－.‎ ‎∴cos (α＋)＝cos [(α＋β)－(β－)]＝cos (α＋β)·cos (β－)＋sin (α＋β)sin(β－)＝－×＋×＝.‎ B组能力提升 ‎1．(2019·巴中模拟)化简(tan α＋)·sin 2α－2cos2α＝(　D　)‎ A．cos2α　 B．sin2α　‎ C．cos 2α　 D．－cos 2α ‎[解析]　原式＝(＋)·sin αcos α－2cos2α＝(sin2α＋cos2α)－2cos2α＝1－2cos2α＝－cos 2α.‎ ‎2．(2019·贵州遵义模拟)已知θ是第一象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝，则sin 2θ＝(　C　)‎ A．　 B．－　‎ C．　 D．－ ‎[解析]　∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴sin 4θ＋cos 4θ＋2sin2θcos2θ＝1，∵sin 4θ＋cos 4θ＝，∴‎ ‎2sin2θcos2θ＝sin22θ＝，∵θ是第一象限角，∴sin 2θ＝，故选C．‎ ‎3．(2019·湖北八校第一次联考)已知3π≤θ≤4π，且＋＝，则θ＝(　D　)‎ A．或　 B．或 C．或　 D．或 ‎[解析]　∵3π≤θ≤4π，∴≤≤2π，∴cos >0，sin <0，则＋＝＋＝cos －sin ＝cos (＋)＝，‎ ‎∴cos (＋)＝，∴＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.∵3π≤θ≤4π.∴θ＝或，故选D．‎ ‎4．已知方程x2＋3ax＋‎3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈(－，)，则α＋β＝－　.‎ ‎[解析]　由已知，得tan α＋tan β＝－‎3a，tan αtan β＝‎3a＋1，∴tan (α＋β)＝1.∵α，β∈(－，)，tan α＋tan β＝－‎3a<0，tan αtan β＝‎3a＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈(－，0)，‎ ‎∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.‎ ‎5．(2020·广东名校联考)已知向量m＝(2，sin α)，n＝(cos α，－1)，其中α∈(0，)，且m⊥n.‎ ‎(1)求sin 2α和cos 2α的值；‎ ‎(2)若sin (α－β)＝，且β∈(0，)，求角β.‎ ‎[解析]　∵m⊥n，∴2cos α－sin α＝0，即sin α＝2cos α.代入cos2α＋sin2α＝1中，得5cos2α＝1，且α∈(0，)，则cos α＝，sin α＝.则sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.‎ ‎(2)∵α∈(0，)，β∈(0，)，∴α－β∈(－，)．‎ 又sin (α－β)＝，∴cos (α－β)＝.‎ ‎∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝×－×＝.又由β∈(0，)，得β＝.‎