【数学】2020届一轮复习人教A版演绎推理作业 3页

‎2020届一轮复习人教A版 演绎推理 作业 ‎1.下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)‎ A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电 B.猜想数列‎1‎‎1×2‎‎,‎1‎‎2×3‎,‎‎1‎‎3×4‎,……的通项公式为an=‎1‎n(n+1)‎(n∈N*)‎ C.半径为r的圆的面积为πr2,则单位圆的面积为π D.由在平面直角坐标系中,圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐标系中球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2‎ 解析:选项A,B是归纳推理,选项D是类比推理,只有选项C是演绎推理.‎ 答案:C ‎2.在证明f(x)=2x+1为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是大前提;④函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是(　　)‎ A.①④ B.②④ C.①③ D.②③‎ 解析:根据三段论特点,过程应为:大前提是增函数的定义;小前提是f(x)=2x+1满足增函数的定义;结论是f(x)=2x+1为增函数,故①④正确.‎ 答案:A ‎3.推理“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边形,③所以三角形不是矩形”中的小前提是(　　)‎ A.① B.② C.③ D.①和②‎ 解析:大前提为①,小前提为②,结论为③.‎ 答案:B ‎4.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)<0.对任意正数a,b,若aF(b),即af(a)>bf(b).又f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,所以bf(a)>af(a)>bf(b)>af(b).故选B.‎ 答案:B ‎5.函数y=x2+2x+1的图象是一条抛物线,用三段论表示为:‎ 大前提　. ‎ 小前提　. ‎ 结论　. ‎ 答案:二次函数的图象是一条抛物线　函数y=x2+2x+1是二次函数　函数y=x2+2x+1的图象是一条抛物线 ‎6.三段论“平面内到两定点F1,F2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提),平面内动点M到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4(小前提),则M点的轨迹是椭圆(结论)”中的错误是　　　　　. ‎ 解析:大前提中到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆,概念出错,不严密.而因为F1(-2,0),F2(2,0)间距离为|F1F2|=4,所以平面内动点M到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是线段而不是椭圆.‎ 答案:大前提 ‎7.将下列演绎推理写成“三段论”的形式.‎ ‎(1)太阳系的大行星都沿椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中的大行星,所以海王星沿椭圆形轨道绕太阳运行;‎ ‎(2)菱形对角线互相平分;‎ ‎(3)函数f(x)=x2-cos x是偶函数.‎ 解:(1)太阳系的大行星都沿椭圆形轨道绕太阳运行,大前提 海王星是太阳系中的大行星,小前提 所以海王星沿椭圆形轨道绕太阳运行.结论 ‎(2)平行四边形对角线互相平分,大前提 菱形是平行四边形,小前提 所以菱形对角线互相平分.结论 ‎(3)若对函数f(x)定义域中的任意x,都有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数,大前提 对于函数f(x)=x2-cos x,当x∈R时,有f(-x)=f(x),小前提 所以函数f(x)=x2-cos x是偶函数.结论 ‎8.设a>0,f(x)=exa‎+‎aex是R上的偶函数.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)求证:f(x)在(0,+∞)内是增函数.‎ ‎(1)解:∵f(x)是R上的偶函数,‎ ‎∴对于一切x∈R,都有f(x)=f(-x),‎ ‎∴exa‎+aex=e‎-xa+ae‎-x=‎‎1‎aex+aex,‎ 即‎1‎a‎-aex‎-‎‎1‎ex=0对一切x∈R成立.‎ ‎∵ex-‎1‎ex不恒等于0,∴‎1‎a-a=0,即a2=1,∴a=±1,‎ 又∵a>0,∴a=1.‎ ‎(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x10,x2>0,且x10,x1+x2>0,‎ ‎∴ex‎2‎‎-‎x‎1‎-1>0,1-ex‎1‎‎+‎x‎2‎<0.‎ ‎∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y)”的是(　　)‎ A.幂函数 B.对数函数 C.指数函数 D.余弦函数 解析:对于指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),有f(x+y)=ax+y=ax·ay=f(x)·f(y).‎ 答案:C ‎4.若函数f(x)满足f(a+b)=f(a)·f(b)(a,b∈N*),且f(1)=2,则f(2)‎f(1)‎‎+‎f(3)‎f(2)‎+…+f(2 016)‎f(2 015)‎=　　　　　. ‎ 解析:因为f(a+b)=f(a)·f(b)(a,b∈N*),所以可令b=1,得f(a+1)=f(a)f(1),于是f(a+1)‎f(a)‎=2,故f(2)‎f(1)‎‎+‎f(3)‎f(2)‎+…+f(2 016)‎f(2 015)‎=2×2 015=4 030.‎ 答案:4 030‎ ‎5.如图,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,运用三段论证明BD⊥平面PAC.‎ 证明:如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线,大前提 PO⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,小前提 所以PO⊥BD.结论 正方形的对角线互相垂直,大前提 AC,BD是正方形ABCD的对角线,小前提 所以AC⊥BD.结论 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线与该平面垂直,大前提 PO⊥BD,AC⊥BD,PO∩AC=O,且PO⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,小前提 所以BD⊥平面PAC.结论 ‎6.导学号40294011蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看做是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规定,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.‎ ‎(1)试给出f(4),f(5)的值,并求f(n)的表达式(不要求证明);‎ ‎(2)求证:‎1‎f(1)‎‎+‎1‎f(2)‎+‎‎1‎f(3)‎+…+‎1‎f(n)‎‎<‎‎4‎‎3‎.‎ ‎(1)解:f(4)=37,f(5)=61.‎ 由于f(2)-f(1)=7-1=6,‎ f(3)-f(2)=19-7=2×6,‎ f(4)-f(3)=37-19=3×6,‎ f(5)-f(4)=61-37=4×6,‎ ‎……‎ 因此,当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),‎ 所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.‎ 又f(1)=1=3×12-3×1+1,‎ 所以f(n)=3n2-3n+1.‎ ‎(2)证明:当k≥2时,‎ ‎1‎f(k)‎‎=‎1‎‎3k‎2‎-3k+1‎<‎1‎‎3k‎2‎-3k=‎‎1‎‎3‎‎1‎k-1‎‎-‎‎1‎k‎,‎ 所以‎1‎f(1)‎‎+‎1‎f(2)‎+‎‎1‎f(3)‎+…+‎1‎f(n)‎<1+‎1‎‎3‎1-‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎+…+‎‎1‎n-1‎‎-‎‎1‎n ‎=1+‎1‎‎3‎1-‎1‎n<1+‎1‎‎3‎‎=‎‎4‎‎3‎.‎