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- 2021-06-16 发布
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A组 基础关
1．设不等式|2x－1|<1的解集为M.
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
解 (1)由|2x－1|<1，得－1<2x－1<1，
解得00，
故ab＋1>a＋b.
2．设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.
(1)证明：<；
(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．
解 (1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|
＝
由－2<－2x－1<0解得－0.
所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|.
3．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab>cd，则＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
证明 (1)因为(＋)2＝a＋b＋2，
(＋)2＝c＋d＋2，
由题设知a＋b＝c＋d，ab>cd，得
(＋)2>(＋)2.
因此＋>＋.
(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd；
由(1)得＋>＋，即必要性成立；
②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，
即a＋b＋2>c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，于是
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|<|c－d|，即充分性成立．
综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
4．已知函数f(x)＝|x－1|.
(1)求不等式f(x)≥3－2|x|的解集；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋|x＋3|的最小值为m，正数a，b满足a＋b＝m，求证：＋≥4.
解 (1)当x≥1时，得x－1≥3－2x⇒x≥，∴x≥；
当00，b>0，所以≥0，
当且仅当a＝b时等号成立．
所以＋≥a＋b.
(2)因为00，
由(1)的结论，函数y＝＋≥(1－x)＋x＝1.
当且仅当1－x＝x即x＝时等号成立．
所以函数y＝＋(06；
(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b，c都是正实数，且＋＋＝，求证：a＋2b＋3c≥9.
解 (1)f(x)＝|x－1|＋|x－5|>6，
或
或
解得x<0或x>6.
综上所述，不等式f(x)>6的解集为(－∞，0)∪(6，＋∞)．
(2)证明：由f(x)＝|x－1|＋|x－5|≥|x－1－(x－5)|＝4(x＝3时取等号)．
∴f(x)min＝4.即m＝4，从而＋＋＝1，
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
＝3＋＋＋≥9.
3．设a，b，c为三角形的三边长，求证：
(1)1<＋＋<2；
(2)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)≤abc.
证明 (1)∵a，b，c为三角形的三边长，
∴<<，<<，<<，
故1<＋＋<2.
(2)设a＝x＋y，b＝y＋z，c＝z＋x(x，y，z>0)，
要证明(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)≤abc，
只需证8xyz≤(x＋y)(y＋z)(z＋x)，
∵x＋y≥2，y＋z≥2，z＋x≥2，
∴(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz，
即(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)≤abc.
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