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- 2021-06-16 发布
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1.命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是正确的,下面命题中正确的是
A.方程f(x,y)=0的曲线是C
B.方程f(x,y)=0的曲线不一定是C
C.f(x,y)=0是曲线的方程
D.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线上
2.下列四组方程表示同一条曲线的是
A.y2=x与y= B.y=lg x2与y=2lg x
C.=1与lg(y+1)=lg(x-2) D.x2+y2=1与|y|=
3.方程表示的曲线是
A.半个圆 B.双曲线的一支
C.一个圆 D.双曲线
4.表示的曲线一定不是
A.抛物线 B.双曲线
C.椭圆 D.直线
5.当点在圆上运动时,它与定点相连,则线段的中点的轨迹方程是
A. B.
C. D.
6.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6,则P点的轨迹方程是
A. B.
C. D.
7.设为椭圆上任意一点,,,延长至点,使得,则点的轨迹方程为
A. B.
C. D.
8.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足,则点P的轨迹方程为__________.
9.由动点向圆引两条切线、,切点分别为、,若,则动点的轨迹方程为__________.
10.已知双曲线的一支C:y=和直线l:y=kx,若l与C有两个不同的交点A,B,则线段AB的中点的轨迹方程为__________.
11.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程.
12.如图所示,已知,两点分别在轴和轴上运动,点为延长线上一点,并且满足,,试求动点的轨迹方程.
13.已知圆,直线,.
(1)求证:对于,直线与圆总有两个不同的交点;
(2)求弦的中点的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线.
14.已知动点与,两点连线的斜率之积为,点的轨迹为曲线,过点的直线交曲线于,两点.
(1)求曲线的方程;
(2)若直线,的斜率分别为,,试判断是否为定值?若是,求出这个值;若不是,请说明理由.
15.已知椭圆的长轴长与短轴长之和为6,椭圆上任一点到两焦点,的距离之和为4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线:与椭圆交于,两点,,在椭圆上,且,两点关于直线对称,问:是否存在实数,使,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
16.已知动圆恒过且与直线相切,动圆圆心的轨迹记为;直线与轴的交点为,过点且斜率为的直线与轨迹有两个不同的公共点,,为坐标原点.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程,并求直线的斜率的取值范围;
(2)点是轨迹上异于,的任意一点,直线,分别与过且垂直于轴的直线交于,,证明:为定值,并求出该定值.
17.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为,短轴长为,为坐标原点,定点,点在已知椭圆上,动点满足.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点,求的面积的最大值.
1.(2011北京理科)曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:
①曲线C过坐标原点;
②曲线C关于坐标原点对称;
③若点P在曲线C上,则的面积不大于.
其中,所有正确结论的序号是______________.
2.(2017新课标全国II理科)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,过M作x
轴的垂线,垂足为N,点P满足.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线上,且.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
变式拓展
1.【答案】A
【解析】由题意得,
则,
∴方程表示的图形是点.故选A.
2.【答案】A
【解析】设动点P的坐标为,
则由条件得,即.
所以动点P的轨迹方程为.故选A.
3.【答案】D
4.【答案】B
【解析】本题主要考查轨迹方程的求解.结合线段的中垂线的性质可知,|MA|=|MQ|,且|MC|+|MQ|=5,故有|MA|+|MC|=5,则可知动点到两个定点的距离和为定值5>|AC|=2,则可知点M的轨迹就是椭圆,且2a=5,2c=2,结合椭圆的性质可知b=,故其方程为.
5.【解析】(1)可表示与的距离之和等于常数,
由椭圆的定义可知:此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且,
故轨迹方程为.
(2)由消去y,得,
∵,∴,
,
,
令,则,
∴,
当且仅当,即时,S取得最大值.
故面积的最大值为.
6.【答案】B
7.【解析】设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在中,|AR|=|PR|,
又因为R是弦AB的中点,依垂径定理,在中,,
又,所以有,即,
因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动.
设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以,代入方程,得,整理得x2+y2=56,这就是所求的点Q的轨迹方程.
8.【答案】12x+15y-74=0
【解析】设过点P2的直线方程为y-7=k(x-2)(k≠0),则过点P1的直线方程为y-5=-(x-1),所以A(5k+1,0),B(0,-2k+7).设M(x,y),则由|BM|∶|MA|=1∶2,得,消去k,整理得12x+15y-74=0.当k=0时,易得A(1,0),B(0,7),则M(,),也满足上述方程.故点M的轨迹方程为12x+15y-74=0.
9.【解析】(1)结合椭圆的几何特征,可得、、在椭圆上,
将代入,得.
故直线的方程为.
(3)设,联立,
消去y,得,
设,则.
考点冲关
1.【答案】B
【解析】由题意,曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解只满足点在曲线上,不能说明曲线上的点都是方程的解,即方程f(x,y)=0的曲线不一定是C,所以答案B正确.
2.【答案】D
【解析】根据每一组曲线方程中x和y的取值范围,不难发现A,B,C中各组曲线对应的x或y的取值范围不一致;而D中两曲线的x与y的取值范围都是[-1,1],且化简后的解析式相同,所以D正确.故选D.
又点在圆上,所以,
故选择
6.【答案】D
【解析】由题意得动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6,知轨迹是双曲线的一支,根据定义得到:c=5,a=3,∴b=4,∴点P的轨迹方程是.故选D.
∴点P的轨迹方程为.
10.【答案】(x-)2-y2=(x>2)
【解析】设AB的中点为M(x0,y0),联立,得(k2-1)y2+2ky-2k2=0,则y0=,x0=,消去k得-=x0,因为,所以2,所以AB的中点的轨迹方程是(x-)2-y2=(x>2).
11.【解析】(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,
12.【解析】设,,,则,,
由,得,即,,∴,.
又,∴,.
由,得,∴,得,
故动点的轨迹方程为.
13.【解析】(1)圆的圆心为,半径为,
所以圆心到直线的距离为.
所以直线与圆相交,即直线与圆总有两个不同的交点.
(2)设中点为,
14.【解析】(1)设点,由题知,,
整理,得,
故曲线的方程为.
(2)由题意,知直线的斜率不为0,故可设:,,,
设直线的斜率为,由题知,,,
由,消去,得,所以,
所以 .
又因为点在椭圆上,所以,所以,为定值.
15.【解析】(1)由题意,得,,
又点也在直线上,则,∴,
∵,∴.
则.
同理.
∵,∴,
∴,∴,
∴存在实数,使,此时的值为.
16.【解析】(1)因为动圆恒过且与直线相切,
所以点到与到直线的距离相等,所以圆心的轨迹的方程为,
17.【解析】(1)设椭圆的标准方程为,
由题意可知,即,解得
故椭圆的标准方程为.
设,
因为,所以,所以.
又∵点在已知椭圆上,故为动点的轨迹方程.
(2)椭圆的右焦点,设直线的方程是,与联立,可得,
当且仅当,即时取到等号.
故的面积的最大值是.
直通高考
1.【答案】②③
【解析】因为原点O到两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积是1,而a>1,所以曲线C不过原点,即①错误;
因为F1(-1,0),F2(1,0)关于原点对称,所以|PF1||PF2|=a2对应的轨迹关于原点对称,即②正确;
因为,即面积不大于,所以③正确.
故填②③.
2.【解析】(1)设,,则.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法:
(1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0.
(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程.
(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.
(4)代入(相关点)法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而运动,常利用代入法求动点P(x,y)的轨迹方程.